2022潍坊四中高二上学期收心考试数学试题含答案

数学试题

               (满分：150分　时间：120分钟)

一、     单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.（    ）

A.     B.        C.         D.

2．tan600°的值是（     ）

A．　       B．　　        C．　　        D． 

3．已知平面向量与的夹角等于，若||=2，||=3，则|2﹣3|=（　　）

A．         B．          C．57            D．61

4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（　　）

A．          B．

C．       D．

5.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（    ）

A.          B.        C.       D.

6.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD1的中点，设三棱锥O－ABD的体积为V1，四棱锥O－ADD1A1的体积为V2，则的值为(　　)

A．1           B.            C.            D.

7.已知函数的最小正周期为.将的图象向左平移｜｜个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（   ）

A.          B.          C.           D.

8．已知在中，点M为上的点，且，若，则（    ）

A．1 B． C． D．

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9. 已知复数，其共轭复数为，则（  ）

A．的实部与虚部之和为          B．      

C．是纯虚数         D．

10.设  的内角 ，， 所对的边分别为 ，，,则下列选项中正确的有 

1. 若 ，则 

B．  若 ，则 ；

C. 若 ，则 

D. 若 ，则  为锐角三角形

11．已知向量，则（    ）

A．                

  B．向量在向量上的投影向量是；

C．

D．与向量同向的单位向量是

12．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为 

B．的最大值为

C．的单调递减区间为

D．的一个对称中心为

三．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13. 已知sinα=,则=________.

14．已知，，那么=　           　．

15．直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且．若球O的表面积为，则这个三棱柱的体积是_________．

16. 已知 的内角，，所对的边分别为，，，且，，则___________.

四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题10分）

已知是同一平面的三个向量，其中．

（1）若，且，求的坐标；

（2）若与的夹角的余弦值为，且，求．

18．（本小题12分）

记的内角的对边分别为，已知，点D在边AC上，．

（1）证明：；  （2）若，求

19．（本小题12分）

如图，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为，求：

（1）              求该最短路线的长及的值；（2）三棱锥体积.

20．  （本小题12分）

已知函数

（1）求函数的单调减区间；（2）求当时函数的最大值和最小值．

21．  （本小题12分）

在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，设  的面积为 ，已知 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求  与  的值．

条件①：；条件 ②：；条件 ③：．

22．  （本小题12分）

已知向量  ，  ，函数  ．   

（1）求函数  的解析式和单调递增区间；   

（2）若  ，  ，  分别为  三个内角  ，  ，  的对边，

  ，  ，  ，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；   

（2）    若  时，关于  的方程  恰有三个不同的实根  ，  ，  ，求实数  的取值范围及  的值．

答案

二、     单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．)

BDBB  ABDB

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.AD  10.BC  11.ACD  12.ABC

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.   14. 15. 16.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.)

17．（10分） 解：（1）∵，∴存在实数使得，

∵，∴，解得，

∴或.

（2）∵，与的夹角的余弦值为

∴，

∵，∴，

∴ ，解得.

18. （12分）（1）略（2）

19. （12分）

（1）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，

点运动到点的位置，连接交于，

则是由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线，

其长为，

∵≌，∴，故；

（2）∵平面，∴，

.

20. （12分）

令，可得

所以函数的单调减区间为

（2）当时，，

所以

即

21. （12分）（一）选择条件①：；条件②：．

因为 ，，，所以 ，即 ．

所以 ．

因为  是锐角三角形，所以 ．

由余弦定理可得 ．所以 ．（负值舍去），

由正弦定理可得 ．所以 ．

所以 ，．

（二）选择条件①：；条件③：．

因为 ，所以 ．

由正弦定理可得 ，所以 ．

由余弦定理可得 ．

所以 ．（负值舍去），所以 ，．

（三）选择条件②：；条件③：．

因为 ，所以 ．因为 ，，

所以 ，即 ．所以 ．

由余弦定理可得 ．所以 ．（负值舍去），

由正弦定理可得 ．所以 ．

所以 ，．

22.（12分） （1）解：由题意知，

 ， 

令  ，解得：  ，

∴  的单调递增区间为  ．

（2）∵  ，∴  ，  ，

即  ，  ，  又∵  ，∴  ．

假设三角形存在，由正弦定理可得，  ，∴  ，

①当  时，  ，∵  ，∴三角形无解．

②当  时，  ，∴  ，三角形有唯一解．

③当  时，  ，此时  ，

∵  ，∴  有两个不同的值，故三角形有两解．

④当  时，  ，∴  ，故三角形有唯一解．

综上所述，当  时，三角形无解；当  或  时，三角形有唯一解；

当  时，三角形有两解．

（3）∵  ， 

∴方程  可化为  ，

即  ，

化简得：  （*），即  ，

∴  或  ，

又  时，方程（*）有三个不同的实根，且当  时，  ，

∴  在  上有两个不同的实根为  ，  ，

又∵  ，∴  ，∴  ，

解得：  ，

易知  ，  关于  对称，∴  ，即  ，

∴  ．

综上所述，  的取值范围为  ，  的值为  ．