2022长春高三上学期质量监测（一）数学（文）试题含答案

这是一份2022长春高三上学期质量监测（一）数学（文）试题含答案，共9页。
长春市2022届高三质量监测（一）文科数学本试卷共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。                                            注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。      2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。      3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。      4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。      5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.  已知集合，，则A.   B.    C.   D. 在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限  B. 第二象限   C. 第三象限  D. 第四象限 △中，已知分别是角的对边，若，，则△外接圆的直径为 A.    B.   C.    D. 已知函数，若，则 A.    B.    C.    D. 右图是某市2020年6月与2021年6月空气质量等级的频率分布条形图，根据此统计图，有下列结论：①2021年6月的空气等级为优、良的天数和多于2020年6月的天数；②2020年6月没有出现重度污染天气和严重污染天气；③2021年6月份出现污染天数多于2020年6月的天数；④2020年6月份约有半个月空气质量为良. 其中正确结论的个数是A. 1    B.  2   C. 3    D.  4下列关于函数的说法中，正确的是 A. 函数是奇函数   B. 其图象关于直线对称    C. 其图象关于点对称  D. 函数在区间上单调递增长方体中，，，，则异面直线与成角余弦值为 A.    B.    C.    D. 已知，，，则A.   B.  C.   D. 若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是A.   B.   C.    D. 已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为，则=A.    B.    C.    D. 已知，，则A.  B.   C.   D. 已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为A.    B.    C.    D.  二、填空题：本题共4小题，每小题5分.  已知向量，，，则实数__________.  已知公比大于1的等比数列满足，，则公比等于________. 某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的表面积为________.  曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为_______. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.  第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.  第22~23题为选考题，考生根据要求作答.  （一）必考题：共60分.  （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥与四棱锥的体积比.   （本小题满分12分）设等差数列的前项和为，若，. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.   （本小题满分12分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时，若该校初中学生课外阅读时间低于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间. 根据以上抽样调查数据（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？（Ⅱ）从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人，求至少有2名初中生的概率.  （本小题满分12分）已知函数.  （Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.    （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.   （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.  （本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （Ⅰ）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点，求的值.   （本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数. （Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若，，求实数的取值范围.  
长春市普通高中2022届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A   2. C   3. A   4. D   5. C   6. C7. D    8. B   9. A   10. C  11. B  12. C集合，故选A. ，对应点在第三象限，故选C. 由知，，由，所以，故选A. ，所以，故选D. 由图中数据易知，故选C. 由知，，C正确，故选C.  由长方体可知，等于异面直线与所成的角，，故选D. ，，，故，故选B. 由函数在其定义域内单调递增，有，解得，故选A. 直线的斜率为，，令，则，故选C. 由，，所以，，故选B. 过作垂直准线，为垂足，，所以（当且仅当纵坐标相等时取等号），故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.     14.    15.  16. .，解得或，由等比数列的各项均大于1，故，，.由题意知，表面积为.由题意知，切线方程为，有，整理有，所以切线与曲线有2个公共点. 三、解答题(本题满分12分)（Ⅰ）因为平面平面，底面为正方形，，所以平面，所以，又因为△是正三角形，是的中点所以，所以平面.（6分）（Ⅱ）设，，，所以. （12分）(本题满分12分)（Ⅰ），解得，所以.  （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故①①，②①②得，所以.（12分）(本题满分12分)（Ⅰ）由图可求出初中生在内的频率为，故样本中初中生阅读时间的平均数为，故按国家标准，该校需要增加初中学生课外阅读时间. （6分）（Ⅱ）由图可求出初中生和高中生课外阅读时间不足10小时的人数分别为3人和2人，记初中生3人为，高中生2人为，从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为其中至少2名初中生包括7种情况，所以所求事件的概率为. （12分）(本题满分12分)（Ⅰ）①当时，，在上单调递增；②当时，令，令.所以在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，而不成立. 当时，的最大值为，有，即，所以.综上. （12分）(本小题满分12分)（Ⅰ）在△中，，，解得，所以，则椭圆的方程为：.（6分）（Ⅱ）当直线斜率为0时，易知成立，当直线斜率不为0时，设直线方程为，，消去有，，所以，综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.（12分）(本小题满分10分)（Ⅰ）；（5分）（Ⅱ）为参数，将其代入椭圆方程，有，对应的参数分别为，有，所以. （10分）(本小题满分10分)（Ⅰ），等价于或，解得或，所以不等式解集为或；（5分）（Ⅱ），等价于，等价于，，即，或，从而或. （10分）