2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．已知角的终边与角终边关于轴对称，则的关系是_____．

【答案】##

【分析】利用角与终边关于y轴对称的关系及周期性求解

【详解】因为角的终边与角的终边关于y轴对称，在一个周期中，

，即，所以由周期性知，．

故答案为：，．

2．若，则______.

【答案】

【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..

【详解】因为，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力.

3．已知，，若在方向上的数量投影是2，则与的夹角的余弦值是______.

【答案】

【分析】写出数量投影的定义，以及向量夹角公式，即可计算结果.

【详解】由条件可知，

设与的夹角为，则.

故答案为：

4．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动______次.

【答案】

【分析】求正弦型函数的频率.

【详解】函数，的周期，故频率为.

所以每秒钟小球能振动次.

故答案为：.

5．在中，若，则的最大值是____．

【答案】

【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解

【详解】结合正弦定理得，即，

所以，

因为，所以，则的最大值是．

故答案为：

6．已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为________

【答案】

【详解】由题意可知：

∴

又对任意的实数，都有成立，

∴为的最小值， 为的最大值

∴，，，

∴的最小值为

二、单选题

7．设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义，求出角的三角函数值，再根据确定正负性.

选项A可根据进行判定；选项C可由正切的范围进行判定；选项B，D可由三角函数值的正负性进行判定.

【详解】由题知，，，，.

其中为点到原点的距离.

，

因为，所以的取值可正可负可为0，故的取值可正可负可为0.

故选项A错误；

，

因为，，所以恒成立.

故选项B正确；

因为，当时，有.

又时，，.

故选项C错误；

因为，，所以.

故选项D错误.

故选：B.

8．函数的图像可以由的图像（    ）个单位得到.

A．向左平移 B．向右平移

C．向左平移 D．向右平移

【答案】D

【分析】由，可以确定函数图象之间的变换，即可求解.

【详解】因为，

所以只需由的图像向右平移个单位得到.

故选：D

【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，关键要找到两个函数解析式的差异，确定图象的变换方式，属于容易题.

9．若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.

【详解】依题意，

,

，

所以，所以三角形是等腰三角形.

故选：A

10．设函数，则（    ）

A．它的定义域是[-1，1] B．它是偶函数

C．它的值域是 D．它不是周期函数

【答案】B

【分析】根据三角函数的性质和复合函数的定义得到定义域，根据偶函数的定义结合三角函数的性质判定为偶函数，根据正弦函数的值域和余弦函数的单调性对称性求得值域；根据正弦函数的周期性得到函数的周期性.

【详解】记，定义域为R,故A错误；

,

∴是偶函数，故B正确；

∵,∴,故C错误；

,

∴是函数的周期，故D错误.

故选：B.

11．给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴方程；函数的图象关于点成中心对称图形其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】对于①，先化简，再判断厅偶性；对于②，利用辅助解公式化简后判断；对于③，举例判断；对于④，代入验证即可

【详解】解：对于①，因为（），，所以此函数是奇函数，所以①正确；

对于②，因为，所以②错误；

对于③，若，此时，所以③错误；

对于④，当时，，所以是函数的一条对称轴方程；当时，，所以函数的图象不关于点成中心对称图形，所以④错误，

故选：A

12．已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定.

【详解】由题意得，所以，

所以，即，A正确；

因为，所以，B不正确；

当时，，C不正确；

由，所以，所以，

所以，D不正确.

故选：．

三、解答题

13．已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为.

（1）求，；

（2）求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算求解；

（2）利用数量积的运算求得，结合（1）中求得的模，利用向量的夹角余弦值公式计算即得.

【详解】（1），

；

（2），

所以.

14．如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．

（1）若，求的边长；

（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．

【答案】（1）千米；（2）当时，的边长取得最小值为千米.

【分析】（1）由题意易得为等边三角形，从而可求；

（2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解．

【详解】解：（1）设的边长为千米，由得，，

中，，，

为等边三角形，，

故，

即的边长为；

（2）设的边长为千米，

所以，，

中，，，，

由正弦定理得，，

故，

当时取得最小值，即的边长最小值．

【点睛】方法点睛：解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

15．已知函数的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的解析式；

（3）在（2）的条件下，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得．

（2）由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．

（3）令，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，

【详解】解：（1）

所以

因为函数的最小正周期为且，所以，解得，所以的值为1.

（2）因为图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像

又，所以

所以的解析式为

（3）令

因为对于任意的，，当时，恒成立，

所以在严格单调递增，

由，整理可得，

所以严格单调递增区间是，

所以，解得

所以的取值范围是.

16．对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．

(1)求证：函数在上是“1跃点”函数；

(2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；

(3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，或或

【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明；

（2）由题意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可；

（3）根据题意可得到，然后分，，或三种情况进行讨论即可

【详解】（1），

所以，，

令，

因为，，所以由零点存在定理可得在有解，

所以存在，使得，

即函数在是“1跃点”函数．

（2）由题意得

，

因为，

所以，当且仅当取等号，

所以的取值范围为．

（3），即，

化简得，的最小正周期为，

当，；当（为正整数），；

所以从在上的值可得

①当时，在有个“跃点”，

故，所以；

②当时，在有个“跃点”，故，无解；

③当或时，在上有个“跃点”，故，

综上，或或．

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.