2021-2022学年山西省怀仁市第一中学校云东校区高二下学期第三次月考数学（理）试题含答案

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山西省怀仁市第一中学校云东校区2021-2022学年高二下学期第三次月考数学（理）试题

试卷总分：150分；考试时间：120分钟

一、选择题（共12小题，每小题5.0分，共60分）

1．直线的倾斜角为（    ）

A．              B．                C．             D．

2．某地有四个信箱，现有三封信需要邮寄出去，所有邮寄方式一共有（    ）

A．               B．                C．                D．

3．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教，若每个村的小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村的小学的概率为（    ）

A．               B．                 C．                D．

4．如图，，分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为（    ）

A．              B．                C．             D．

5．的展开式中，的系数（    ）

A．              B．5                  C．35                D．50

6．过点且与原点相距为1的直线共有（    ）

A．0条               B．1条               C．2条               D．3条

7．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据求得回归直线方程为．根据该回归方程，预测当时，，则（    ）

A．9.4                B．9.5                C．9.6                D．9.8

8．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（    ）

A．240种             B．192种             C．96种              D．48种

9．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（    ）

A．               B．                 C．                D．

10．某次数学小测一共7道题，其中选择题4道，填空题3道，从中任意选3道题，下列事件中概率等于的是（    ）

A．有1道或2道填空题                      B．有2道或3道填空题

C．至少有1道填空题                        D．恰有2道填空题

11．已知，两点以及圆，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ）

A．             B．               C．             D．

12．（    ）

A．          B．            C．        D．

二、填空题（共4小题，每小题5.0分，共20分）

13．若随机变量，则________．

14．如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点．若，则________．

15．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量________次（若，则）．

16．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下面四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面．

其中正确结论的序号是________．（写出所有你认为正确结论的序号）

三、解答题（共6小题共70分，17题10分，其余各题每题12分）

17．已知的三个顶点、、．

（1）求边所在直线的方程；

（2）边上中线的方程为，边上高线过原点，求点的坐标．

18．2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：

（1）请用相关系数说明与之间的关系可用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程；

（2）假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴．

（ⅰ）若该市区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给区就地过年的人员发放的补贴总金额；

（ⅱ）若区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为，，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求的取值范围．

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为与的交点．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．

20．有一名高中学生盼望2021年进入某大学学习，假设具备以下条件之一均可被该大学录取：①2021年年初通过M考试进入国家数学奥赛集训队（考试资格需要通过参加比赛获得）；②2021年3月参加自主招生考试，考试通过，参加2021年6月高考且高考分数达到本科一批分数线；③2021年6月参加高考且分数达到该校录取分数线（该校录取分数线高于本科一批分数线）．已知该学生具备参加比赛、自主招生考试和高考的资格，且该学生估计自己通过各种考试的概率如下表：

若该学生获得考试资格，则该学生估计自己进入国家数学奥赛集训队的概率是0.2，若进入国家数学奥赛集训队，则提前录取，若未被录取，则按②③的顺序依次尝试．若该学生因具备某一条件被录取后，不再考虑是否具备后面的条件．

（1）求该学生参加自主招生考试的概率；

（2）求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望；

（3）求该学生被该校录取的概率．

21．已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．

（1）求圆的方程；

（2）若点，求过点的圆的切线方程．

22．“碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告．碳达峰就是二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．2020年9月，中国向世界宣布了2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标．某城市计划通过绿色能源（光伏、风电、核能）替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和．该城市某研究机构统计了若干汽车5年内所行驶的里程数（万千米）的频率分布直方图，如图．

（1）求的值及汽车5年内所行驶里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收．根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”？

（3）该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素，对300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占10%．根据以上统计情况，补全下面列联表，并回答是否有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关．

附：，其中．

高二理科数学月考三答案解析

一、选择题

DDCBA    CBBBA    DD

二、填空题

13．10    14．    15．32    16．（1）（2）（4）

三、解答题

17．答案：（1）；（2）点坐标

解析：解：（1）由、得边所在直线方程为，

即          4分

（2）∵在上，，

又∵高过原点，

∴，∴，

综上．          6分

18．答案：（1）

（2）（ⅰ）估计该市政府需要给区就地过年的人员发放的补贴总金额为1750万元

（ⅱ）

解析：（1）由题，，，

，

，

，

所以相关系数，

因为与之间的相关系数近似为0.99，说明与之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合与之间的关系

，

，

故关于的线性回归方程为．          5分

（2）（ⅰ）将代入，得，

故估计该市政府需要给区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）          2分

（ⅱ）设甲、乙两人中选择就地过年的人数为，

则的所有可能取值为0，1，2，

，

，

．

所以，

所以，

由，得，

又，所以，

故的取值范围为．          5分

19．答案：（1）见解析；（2）

解析：（1）因为四边形为菱形，所以，

因为平面，平面，所以．

又，所以平面．

又平面，所以平面平面．          4分

（2）解法一  设，在菱形中，由，可得，．

因为，所以在中可得．由平面，得为直角三角形，则，得．

如图，过点作直线，因为平面，

所以平面，

又，

所以建立空间直角坐标系．

，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，

由，得，取，则，，

所以平面的一个法向量为．

设直线与平面所成的角为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．          8分

解法二  设，则，，．

设点到平面的距离为，与平面所成角的大小为．

因为平面，平面，所以．

因为，所以为等腰直角三角形．

因为，所以，．

因为，所以，

所以．

在中，，，则．

在中．

．

由，得．

所以．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．答案：（1）0.9；（2）；（3）0.838

解析：（1）设该学生获得考试资格为事件，该学生获得考试资格后，进入国家数学奥赛集训队为事件，则，，该学生参加自主招生考试的概率．          4分

（2）该学生参加考试的次数的所有可能取值为2，3，4，

，

，

．

所以的分布列为

．          4分

（3）设该学生通过自主招生考试并且高考分数达到本科一批分数线被录取、未通过自主招生考试但高考分数达到该校的录取分数线被录取分别为事件、事件．

则，，

，

所以该学生被该校录取的概率          4分

21．答案：（1）；（2）或

解析：（1）由题意，设圆的标准方程为：，，

∵圆关于直线对称，∴

∵圆与轴相切：∴①

点到的距离为：，

∵圆被直线截得的弦长为，∴，

结合①有：，∴，

又，∴，，

∴圆的标准方程为：．          6分

（2）当直线的斜率不存在时，满足题意

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为．

又圆的圆心为，半径，

由，

解得．

所以直线方程为，即

即直线的方程为或．          6分

22．答案：（1）由，解得．

设为汽车5年内所行驶里程的平均值，则

（万千米）        3分

（2）由（1）可知，一辆汽车1年内所行驶里程的平均值为（万千米）．

因为一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收，

所以每一辆汽车平均需要（棵）树才能够达到“碳中和”．          4分

（3）补全的列联表如下：

所以．

因为，

所以没有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关．          5分