2022届吉林省长春市东北师大附中、黑龙江省大庆实验中学高三模拟模拟联合考试数学（文）试题含解析

2022届吉林省长春市东北师大附中、黑龙江省大庆实验中学高三模拟模拟联合考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】根据题意先表示出复数的代数形式，再用模长公式计算即可.

【详解】由已知得，所以，

故选：B

2．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；

【详解】命题“，”为特称量词命题，其否定为，；

故选：D

3．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式化简集合A，再求函数的值域得集合B，然后利用交集的定义计算作答.

【详解】解不等式得：，于是得，，

所以.

故选：C

4．我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌.现将1992年以来我国冬奥会获得奖牌数量统计如下表：

则1992年以来我国获得奖牌数的中位数为（       ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】把数表中的奖牌数从小到大排列即可求出中位数.

【详解】将自1992年以来我国冬奥会获得奖牌数从小到大排列为：3，3，8，8，9，9，11，11，15，

所以1992年以来我国获得奖牌数的中位数为9.

故选：B

5．下列函数是偶函数，且在区间上为增函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据奇偶性与单调性分别判断各选项.

【详解】A选项：，，为偶函数，在上单调递增，故A选项正确；

B选项：，，为偶函数，时，，在上单调递减，故B选项错误；

C选项：，，为偶函数，时，，在上单调递减，故C选项错误；

D选项：，，且，为非奇非偶函数，且在上单调递增，故D选项错误；

故选：A.

6．已知数列是等比数列，是等差数列，若，，则（       ）

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】D

【分析】运用等比数列和等差数列的下标性质进行求解即可.

【详解】因为数列是等比数列，所以，

由，即，

因为是等差数列，

所以，

故选：D

7．函数，则（       ）

A． B．0 C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数解析式计算即可；

【详解】解：因为，则，所以；

故选：C

8．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（       ）

A．10 B．13 C．16 D．20

【答案】B

【分析】由题意，直线与直线互相垂直且垂足为点，又直线过定点，直线过定点，在中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.

【详解】解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，

又因为直线过定点，直线，即过定点，

所以在中，，

故选：B.

9．已知，则在曲线上一点处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由点在函数的图像上，求出的值，再求出，由导数的几何意义可得切线的斜率，从而得出切线方程.

【详解】因为点在曲线上，所以，于是，

所以，，，

故切线方程为，即.

故选：A

10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线右支上一点，点的坐标为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义，将转化为，再通过最小值得到等式后可求解.

【详解】

由于点为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义，

有，

所以，

所以有.

故选：A

11．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设截面圆半径为，球的半径为，根据截面圆的周长求得，再利用求解.

【详解】设截面圆半径为，球的半径为，

则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2，

根据截面圆的周长可得，则，

由题意知，即，

∴该球的表面积为．

故选：A

12．已知，，，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对于A，作出方程的图形，结合圆心到直线的距离即可判断；

对于B，利用重要不等式（当且仅当等号成立）即可判断；

对于C，利用重要不等式及对数运算即可判断；

对于D，根据（当且仅当等号成立）即可判断.

【详解】对于A，令，则直线，如图所示，

当直线与圆相切或相交时，，此时满足题意，

圆心到直线距离为，即，

于是有，，，故A不正确；

对于B，由，得，故B不正确；

对于C，由，得 ，故C正确；

对于D，由，得，故D不正确；

故选：C.

【点睛】本题解决的关键对于A选项，作出图形利用数形结合即可解决，对于BCD三个选项，记住不等式链

（当且仅当时等号成立）即可解决该问题.

二、填空题

13．已知向量，，则______.

【答案】5

【分析】由平面向量数量积的坐标表示即可求解.

【详解】解：因为向量，，所以，

所以，

故答案为：5.

14．已知实数，满足约束条件，则的最小值是______.

【答案】

【分析】作出，满足的约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.

【详解】作出实数，满足的约束条件表示的平面区域，如图中阴影及内部，

其中，

令，即表示斜率为-1，纵截距为z的平行直线系，

作出直线，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，即z最小，，

所以的最小值是.

故答案为：

15．已知、为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上第一象限内的点，且，则______.

【答案】

【分析】根据椭圆的定义及，列出关于和方程组求解即可.

【详解】由椭圆的定义，①，又，②，

①②联立得，解得，又点是椭圆上第一象限内的点，

有，.

故答案为：.

16．已知数列的通项公式为，，则其前项的和为______.

【答案】

【分析】利用分组求和直接计算.

【详解】由，

当时，，

当时，，

所以

，

故答案为：.

三、解答题

17．从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.

(1)若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高；试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？

(2)若将上述样本的频率视为概率，现从该地区所有高二学生中随机抽取100人，设抽取到的数学得分在120分以上（含120分）且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的人数为随机变量，求的数学期望.

（，其中）

【答案】(1)有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关；

(2).

【分析】（1）根据表格中的数据，代入求观测值公式，求出观测值同临界值进行比较即可得出结论；

（2）根据二项分布期望计算公式，计算出数学期望.

【详解】(1)由列联表中数据计算可得，的观测值为

所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关.

(2)从列联表可知，数学得分在分以上(含分)

且注意力集中水平得分在分以上(含分)的频率为，

由题意知，所以.

18．在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，.

(1)求的面积；

(2)若是边上一点，且，求的长.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件结合正余定理计算出边a的值，再利用面积公式计算作答.

（2）由（1）结合余弦定理求出角A，再利用余弦定理计算作答.

【详解】(1)在中，由正弦定理及得：

，由余弦定理得：，即，

则，而，解得，，，

所以的面积是.

(2)由（1）及余弦定理得，而，则，

在中，由余弦定理得，解得，

所以的长为.

19．直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．

(1)求证：平面；

(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取BC中点为，连接，，由面面平行的判断定理证明平面平面，从而即可证明平面；

（2）证明平面，即平面，从而有，根据三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】(1)证明：取BC中点为，连接，，

因为点、分别为，的中点，所以，，

因为平面，平面，所以平面，

同理可得平面，又，平面，

所以平面平面，

因为平面，

所以平面；

(2)因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，

所以，

又为正方形，，，

所以，且，，，又，

所以平面，即平面，

所以当点为中点时，三棱锥的体积.

20．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，设，若对于任意、，均有，求的取值范围.

【答案】(1)当时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）问题转化为，根据函数的单调性分别求出函数的最大值和最小值，得到关于的不等式，解出即可．

【详解】(1)解：函数的定义域为，所以，

①当时，恒成立，函数的单调递减区间为；

②当时，由，解得；

当时，，当时，，

函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

综上可得：当时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．

(2)解：由已知，转化为．

由（1）知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

故的极大值即为最大值，，

因为，则，当时，当时，

函数在上单调递减，在上单调递增．

故的极小值即为最小值，

，即，解得．

的取值范围为

21．已知圆过点，且与直线相切.

(1)求圆心的轨迹的方程；

(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为.问是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线的定义计算可得；

（2）设直线的方程为，、，则，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再表示出直线的方程，将、代入整理即可得解；

【详解】(1)解：由题意知动点的轨迹是以为顶点，为焦点，为准线的抛物线，所以动圆圆心的轨迹方程为：；

(2)解：设直线的方程为，、不妨令，则，联立直线与抛物线方程得消去得，则、，则直线的方程为，即，则，，即，

所以，即，令解得，所以直线恒过定点；

22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数），.

(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；

(2)已知点，设曲线与曲线的交点为、，当时，求的值.

【答案】(1)；椭圆；

(2).

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求出的直角坐标方程，再由方程确定曲线作答.

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，利用几何意义计算作答.

【详解】(1)把代入得：，即，

所以曲线的直角坐标方程是，它是焦点在x轴上的椭圆.

(2)由（1）知，把方程代入并整理得：，

设点、所对参数分别为，于是得，，

由直线参数方程的几何意义知：

，

解得，而，于是得，

所以的值是.

23．设函数，.

(1)解关于的不等式；

(2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用分类讨论法解含绝对值的不等式作答.

（2）分段讨论去绝对值符号，再结合不等式恒成立列式计算作答.

【详解】(1)因函数，，则，

当时，，解得，无解，

当时，，解得，则有，

当时，，解得，则有，

综上得：，

所以不等式的解集是.

(2)依题意，，，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，

当时，，则有，解得，

当时，，而在上单调递增，

当时，，于是得，于是得，

综上得，

所以实数的取值范围.