2021-2022学年河南省南阳市六校高二下学期第一次联考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省南阳市六校高二下学期第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．如图是某公司的组织结构图，则生产部的直接上位领导是（       ）

A．董事会 B．总经理 C．副总经理一 D．副总经理二

【答案】C

【分析】从组织结构图直接判断即可；

【详解】解：从组织结构图可知生产部的直接领导是副总经理一；

故选：C

2．利用独立性检验来考察两个分类变量和是否有关系时，通过查列联表计算得的观测值，那么认为与有关系，这个结论错误的可能性不超过（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据的观测值，与临界值表对照求解.

【详解】解：因为得的观测值，

所以通过对照表中数据得：在犯错误的可能性不超过0.050的前提下认为与有关系，

故选：B

3．在一组样本数据不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样木相关系数为（       ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】A

【分析】根据样本数据的所有样本点都在一条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据直线的斜率得出是正相关还是负相关即可.

【详解】这组样本数据的所有样本点都在直线上，

这组样本数据完全相关，

即说明这组数据的样本完全负相关，其相关系数是

故选：A.

4．为了调查中学生近视情况，某校160名男生中有90名近视，150名女生中有75名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（       ）

A．平均数 B．方差 C．回归分析 D．独立性检验

【答案】D

【分析】近视与性别时两类变量，根据分类变量的研究方法即可确定答案.

【详解】解：近视与性别时两类变量，

在检验两个随机事件是否相关时，最有说服力的方法时独立性检验.

故选：D.

5．相关变量，的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为.则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题中散点图可知两变量负相关，所以，，再根据线性相关性可得答案.

【详解】由题中散点图可知两变量负相关，所以，，因为剔除点后，剩下的数据线性相关性更强，更接近1，所以.

故选D.

6．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是（       ）

A．0.56 B．0.92

C．0.94 D．0.96

【答案】C

【分析】利用独立事件和对立事件的概率求解即可．

【详解】设事件A表示：“甲击中”，事件B表示：“乙击中”．由题意知A，B互相独立．故目标被击中的概率为P＝1－P()＝1－P()P()＝1－0.2×0.3＝0.94．

故选：C

7．随着社会的发展，移动支付越来越普及，给人们带来了很大的方便，调研机构对移动支付使用情况与年龄的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有90%的把握但没有95%的把握认为使用移动支付与年龄有关，则的观测值可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据独立性检验得原理，求出的观测值得范围，即可得出答案

【详解】解：因为有90%的把握但没有95%的把握认为使用移动支付与年龄有关，

所以.

故选：A.

8．下列说法错误的是（       ）

A．用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于1，相关性越强

B．当相关系数时，表明变量x和y正相关

C．独立性检验得到的结论一定正确

D．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

【答案】C

【分析】根据相关系数的意义即可判断AB；根据独立性检验的原理及独立性检验取决于样本，独立性检验时依据小概率原理，从而可判断CD.

【详解】解：对于A，用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于1，相关性越强，故A正确；

对于B，当相关系数时，表明变量x和y正相关，故B正确；

对于C，利用独立性原理检验时与样本的选取有关，得到的结论也可能错误，故C错误；

对于D，样本不同，计算所得观测值可能不同，故结论可能有差异，故D正确.

故选：C.

9．执行如图所示的程序框图，则输出的值为(　　)

A．7 B．9 C．11 D．13

【答案】C

【分析】模拟程序运行，确定变量值的变化，结合循环条件可得．

【详解】程序运行时，

第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，第五次循环：，此时不满足条件，所以输出k=11．

故选：C．

10．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男、女乘客晕机的情况，调查结果如下表所示（单位：人）：

则约为（       ）A．0.775 B．1.118 C．4.225 D．6.786

【答案】A

【分析】根据列联表求出表中的数据，再由公式计算的值即可求解.

【详解】由列联表数据，知，得补充得到列联表（单位：人）如下：

所以.

故选：A．

11．已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示，若，则（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】给两边同时取对数，得到，令，则，再根据线性回归方程过样本中心点求得，从而可得出答案.

【详解】解：由，得，

令，则，

，

因为满足，

所以，解得，

所以，

当，则，解得.

故选：C.

12．已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，,已领已知条件判断其导数的正负，进而判断函数的单调性，将不等式变形为，即，即可得出答案．

【详解】构造函数，,

则，故为R上的单调减函数，

不等式，即，即，

，

故选：

二、填空题

13．小明每天起床后要做如下事情：洗漱4分钟，收拾床裖2分钟，听广播20分钟，吃早饭10分钟，洗碗3分钟.要完成这些事情，小明要花费的最少时间为__________分钟.

【答案】20

【分析】小明洗漱、收拾床裖、吃早饭、洗碗时，可以同时听广播，节省时间，即得解.

【详解】解：小明洗漱、收拾床裖、吃早饭、洗碗时，可以同时听广播，

因为小明洗漱、收拾床裖、吃早饭、洗碗的总时间为，

所以小明要花费的最少时间为20分钟.

故答案为：20

14．设抛物线：的焦点为为拋物线上一点且在第一象限，.现将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则__________.

【答案】2

【分析】求出点的坐标，从而可求得直线的斜率，从而可得直线的倾斜角，再根据题意可得直线的倾斜角，即可得直线的方程，从而可求得答案.

【详解】解：抛物线：的焦点，

设，

因为，所以，

则有，所以，则，

所以直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为，

直线绕点逆时针旋转得到直线，

故直线的倾斜角为，

所以直线为，

将代入得，所以，

所以.

故答案为：2.

15．甲乙两位游客慕名到南阳旅游，准备分别从武侯祠､南阳府衙､卧龙岗和人民公园4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择武侯祠，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率__________.

【答案】

【分析】分别求出甲和乙至少一人选择武侯祠和甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择武侯祠对应的基本事件的个数，从而可得出答案.

【详解】解：甲和乙至少一人选择武侯祠对应的基本事件有：个，

即，

甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择武侯祠对应的基本事件有：，

即，

所以.

故答案为：.

16．已知程序框图如图所示，其功能是求一个数列的前10项和，则数列的前项和为__________.

【答案】

【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的，，的值，观察数列的前项和的变化规律，即可求出的一个通项公式，再利用裂项相消法求和即可．

【详解】解：执行程序框图，有，，

不满足第1次执行循环体，，，

不满足第2次执行循环体，，，

不满足第3次执行循环体，，，

不满足第4次执行循环体，，，

综上可知，程序框图的功能是求一个数列的前10项和，

故数列的一个通项公式．

所以，

则数列的前2022项和．

故答案为：．

三、解答题

17．某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：

（1）根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程；

（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

参考公式：回归直线方程，其中，，．

【答案】（1）；（2）可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

【分析】（1）根据表中数据，先求得，，进而得到，，写出回归直线方程；

（2）由，求得，再由与0.5比较下结论.

【详解】（1）因为，，

所以，

则，

所以关于的回归直线方程为；

（2）当时，，

则，

所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

18．在中，角的对边分别为，且.

(1)求角；

(2)若的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式和余弦定理可得，整理可得，再用余弦定理即可得解；

（2）由面积公式可得，所以，再代入，可得，即可得解.

【详解】(1)根据余弦定理，由可得到：

，

所以，

所以，

由，所以.

(2)由（1）知，

，所以，

由，所以，

所以，

所以，

所以的周长为.

19．已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据得到是以3为首项，3为公比的等比数列，即可得到的通项公式．

（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；

【详解】(1)解：因为，①

当时，，得；

当时，，②

①②可得，即，即，

所以是以3为首项，3为公比的等比数列，所以．

(2)解：由（1）可得，

所以，①

，②

①②得：

，

．

20．在新高考改革中，打破了文理分科的“”模式，不少省份采用了“”，“”，“”等模式.其中“”模式的操作又更受欢迎，即语数外三门为必考科目，然后在物理和历史中选考一门，最后从剩余的四门中选考两门.某校为了了解学生的选科情况，从高二年级的2000名学生（其中男生1100人，女生900人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查.

（1）已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人数；

（2）在（1）的情况下对抽取到的n名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查，得到下列2×2列联表.请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选科目与性别有关？

（3）在（2）的条件下，从抽取的“选历史”的学生中按性别分层抽样再抽取5名，再从这5名学生中抽取2人了解选政治、地理、化学、生物的情况，求2人至少有1名男生的概率.

参考公式：.

【答案】（1）；90人；（2）详见解析；（3）.

【分析】（1）根据题意列出方程求n，再求出女生人数；（2）根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；（3）利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算所求的概率值。

【详解】解：（1）由题意得，解得，则女生人数为（人）.

（2）

∴没有99%的把握认为选科与性别有关.

（3）从选历史的学生中按性别分层抽5名学生，则由（2）可知，有2名男生，3名女生，设男生编号为1，2，女生编号为3，4，5，5名学生中再选取2人，则所有等可能的结果为34，35，31，32，45，41，42，51，52，12共10种，至少1名男生的结果为31，32，41，42，51，52共7种，∴2人中至少1名男生的概率为.

【点睛】本题考查分层抽样，填写列联表和求的值，以及古典概型，是常考题型。

21．已知椭圆的离心率是，直线被椭圆截得线段长度为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点为椭圆的上顶点，过定点）且斜率存在的直线（不经过点）与椭圆交于两点，求证：直线的斜率之和为定值.

【答案】(1)

(2)定值为，证明见解析

【分析】（1）运用椭圆中，，三者之间的关系以及离心率的定义和椭圆上点的坐标求解即可得到答案

（2）通过联立椭圆与直线方程，利用韦达定理写出直线的斜率之和即可得到结果

【详解】(1)由题意可知当时所以

又因为，所以可得，，

所以椭圆C的标准方程为

(2)由题意可知，因为直线过定点且斜率存在

所以可设直线的方程为，即

由可得

由可得或

设，

由韦达定理可得

，

因为直线不经过点

所以，不与重合

所以

进而可得

所以为定值

【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定值问题，计算量较大，求解此类问题基本步骤如下

（1）设直线方程，设交点坐标为，

（2）联立直线方程与椭圆方程，得到关于或的一元二次方程，必要时计算

（3）写出韦达定理

（4）将所求问题转化为，（或，）得形式

（5）代入韦达定理求解

22．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图：

（I）根据散点图判断在推广期内，与（c，d为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（I）的判断结果求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.

参考数据：

其中，

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

【答案】（I）适合（Ⅱ）， 预测第8天人次347.

【分析】（I）通过散点图，判断适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型（Ⅱ）通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第8天使用扫码支付的人次.

【详解】

【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法及应用，数学期望的应用，考查计算能力，是中档题．