2021-2022学年山东省德州市高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省德州市高二下学期期中考试

数学试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1. 已知函数，则（    ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数的导数，将代入即可求得答案.

【详解】由题意得，，

故，

故选：A

2. 在数列中，，，若，则（    ）

A. 508 B. 507 C. 506 D. 505

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得到数列是等差数列，求得其通项公式，即可求得答案.

【详解】由题意可得，，即，

故数列为等差数列，则 ，

故令 ，

故选：C

3. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，随机选取了4天的用电量与当天气温，由散点图可知用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间具有相关关系，已知，，由数据得线性回归方程：，并预测当气温是5℃的时候用电量为（    ）

A. 40 B. 50 C. 60 D. 70

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知样本中心为，又回归方程必过样本中心可知，，再将代入回归方程，即可求出结果.

【详解】因为，，

所以，，所以样本中心为，

由回归方程必过样本中心可知，所以，得，

所以，

当时，.

故选：B.

4. 设为等比数列的前n项和，若，，则（    ）

A.  B. 2 C. 9 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出.

【详解】设等比数列的公比为，

则，解得，

则，，

所以.

故选：C.

5. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A. 3 B. 2 C. -2 D. -3

【答案】A

【解析】

【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率,再列方程可得所求值.

【详解】的导数为，可得f(x)在x=1处的切线的斜率为4+a.

因为直线的斜率为，所以4+a=7，解得：a=3.

故选：A

6. 以下四个命题错误的为（    ）

A. 在一个列联表中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量有关的把握就越大

B. 以模型去拟合一组数据时，了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，

C. 在回归直线方程中，变量x每增加1个单位时，y平均增加2个单位

D. 若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关，而且是负相关

【答案】C

【解析】

【分析】根据独立性检验的思想判断A，对拟合曲线两边取对数，再根据指数与对数的关系计算即可判断B，根据回归方程的意义及相关系数的概念判断C、D；

【详解】解：对于A：分类变量与的随机变量越大，

说明“与有关系”的可信度越大，则两个变量有关的把握就越大，故A正确；

对于B：，

两边取对数，可得，

令，可得，

，

，，

．故B正确；

对于C：在回归直线方程中，变量每增加个单位时，平均减少个单位，故C错误；

对于D：相关系数，说明变量y和x之间具有很强的线性相关，而且是负相关，故D正确；

故选：C

7. 在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，，知，得最大值是，从而判断结果．

【详解】∵等差数列前n项和，

由，，得，

∴，

故为递减数列，当时，；当时，，所以最大值是，

则当时，且单调递增，当时，，∴最大．

故选：B．

8. 已知函数，，若有两个零点，则k的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得，即与有两个交点．

【详解】令，则

与有两个交点，

则

设直线与相切时，切点坐标为，则斜率

则切线方程为

∵切线过原点，代入得，解得

∴，因为与有两个交点，所以

故选：D．

二、多选题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分）

9. 下列结论正确的是（    ）

A. 若数列是等差数列，则为等比数列

B. 若数列是等比数列，则为等差数列

C. 若数列满足，则为等比数列

D. 若数列是等差数列，，则为等差数列

【答案】AD

【解析】

【分析】根据等比数列定义可判断AC，对于B当不恒成立时根据对数意义即可判断结果，由等差定义可判断D．

【详解】对于A，设数列的公差为，则，首项为

所以为等比数列，故A正确；

对于B，当恒成立时，设公比为，有

则为等差数列，当不恒成立时，设则无意义，故B不成立；

对于C，若或时，不是等比数列，故C不成立；

对于D，设数列的公差为，由

所以为等差数列，故D正确；

故选：AD

10. 下列求函数的导数正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误.

【详解】，，，

，

故选：AC.

11. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为万元．（取，），则下列叙述正确的是（    ）

A.

B. 数列的递推关系是

C. 数列为等比数列

D. 至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意可得，，利用数列分析运算．

【详解】根据题意：经过1年之后，该项目的资金为万元，A正确；

，B不正确；

∵，则

即数列以首项为1200，公比为1.2的等比数列，C正确；

，即

令，则

至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍），D正确；

故选：ACD．

12. 函数，下列说法正确的有（    ）

A. 最小值为

B.

C. 当时，方程无实根

D. 当时，若的两根为，，则

【答案】BD

【解析】

【分析】求出函数的导函数，即可得其单调性，画出函数图象，进而判断出ABC的正误．对于D，当时，若的两根为，，则，下面给出证明构造函数，．利用导数研究函数的单调性及其与最值即可得出结论．

【详解】解：，定义域，

，

或时，；当时．

和时，函数单调递减；，函数单调递增．

画出函数图象如下所示：

对于A．可得时，，因此函数无最小值；

对于B．，函数单调递增，， ），，因此B正确；

对于C．当时，方程有一个实根，因此C不正确；

对于D．当时，若的两根为，，则，下面给出证明：不妨设，

要证明，即证明，即证明，

构造函数，，．

，

，，，

，

，即成立，因此当时，若的两根为，，则，故D正确．

故选：BD．

第Ⅱ卷（共90分）

三、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）

13. 已知数列的递推公式，且首项，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】利用递推公式逐项计算可得出的值.

【详解】因为数列的递推公式，且首项，

则，，.

故答案为：.

14. 若函数在区间上的最大值和最小值分别记为M，N，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用导数求出单调性，即可得出最值.

【详解】，令，解得，

当，，单调递增，当，，单调递减，

因为，，，

所以，，所以.

故答案为：.

15. 若函数在区间内不单调，则k的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】求解出，采用分类讨论的方法分析的单调性，从而求解出满足题意要求的的取值范围.

【详解】因为，且，

当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合；

当时，恒成立，所以在上单调递减，不符合；

当时，若，则，若，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，

综上可知：.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，其中涉及到根据单调性求解参数范围，难度一般.本例中的“不单调”问题也可以先转化为“单调”问题，求出结果后再取其补集也能得到对应结果.

16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】先由题设得到：，进而求得，从而有，即可得数列数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的前项和公式求得结果．

【详解】∵，∴，

又∵，

∴，，

∴，

又

∴，

又，且，

所以，

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴的前项和为，则.

故答案：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，推理证明或演算步骤）

17. 已知数列的前项和为．

（1）求的通项公式；

（2）设，其前项和为，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由可求得数列的通项公式；

（2）求得，利用裂项相消法可求得.

【小问1详解】

解：由题意可知，，

当时，有，

又因为，所以时，也成立,

所以的通项公式为.

【小问2详解】

由（1）知，所以

所以.

18. 今年两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣．某中学体育组对高二的名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数记为整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．

（1）第一小组决定从单次完成个引体向上的男生中，按照分层抽样抽取人进行全面的体能测试，从这人中抽取人进行个别访谈，求恰有一人单次能完成个引体向上的概率；

（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，发现这人中，体育优秀的学生占总人数的，双优学生（体育与学业都优秀）占总人数的，体育成绩不优秀的学生中，学业优秀与学业不优秀之比为．请你完成联表并判断是否有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？

参考公式：独立性检验统计量，其中．

下面的临界值表供参考：

【答案】（1）   

（2）填表见解析，有把握认为体育锻炼与学业成绩有关

【解析】

【分析】（1）在所抽取的人中，分别求出抽取的单次完成个、个、个引体向上的人数，利用古典概型的概率公式以及组合计数原理可求得所求事件的概率；

（2）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.

【小问1详解】

解：，

按照分层抽样抽取人进行全面的体能测试，

其中抽取单次完成个引体向上的人数为，

抽取的单次完成个引体向上的人数为，

抽取的单次完成个的引体向上的人数为，

记“恰有一人单次能完成个引体向上”为事件，则.

【小问2详解】

解：列联表如下表所示：

因为，

所以有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关.

19. 已知函数．

（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）当时，若函数的图像与直线有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意可得在恒成立，分离参数即可求解；

（2）先求得，得出函数的单调性，数形结合即可求出.

【小问1详解】

由题可知：在恒成立．

即在恒成立．

因为，当且仅当时等号成立，所以，

所以实数a的取值范围是；

【小问2详解】

由，解得，所以．

则，

令得或，令得，

所以函数在上是增函数，上是减函数，上是增函数，

当时，取得极大值，故的极大值为．

当时，取得极小值，故的极小值为．

因为函数的图像与直线有3个不同的交点，则．

20. 自公安部交通管理局部署全国公安交管部门开展“一盔一带”安全守护行动以来，德州市电动自行车安全头盔平均佩戴率大幅提升．下表是德州市一主干路段对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数统计数据：

附：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，．

相关系数，．

（1）请利用相关系数说明“不佩戴安全头盔”与月份有很强的线性相关关系（系数精确到0.01）；

（2）求y关于x的回归方程．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）计算 的值，根据相关系数的公式求得相关系数，即可说明“不佩戴安全头盔”与月份有很强的线性相关关系；

（2）利用最小二乘法估计公式求得回归方程的系数，即得答案.

【小问1详解】

由题意得，

，

，

，

，

，

则，

故不佩戴头盔与月份有很强的线性相关关系．

【小问2详解】

，

，

所以y与x之间线性回归方程.

21. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等差数列，等比数列代入计算；

（2）利用错位相减法可得，讨论n的奇偶结合恒成立问题运算处理．

【小问1详解】

因为数列是等比数列，则可得，解得

所以．

因为数列是等差数列，且，，则公差，

所以．

故，

【小问2详解】

由（1）得：，

数列的前n项和为①

所以②

由①-②得：，

所以．

不等式恒成立，化为成立，

令且为递增数列，即转化为

当时，恒成立，取，所以．

当时，恒成立，取，，所以．

综上可得：实数的取值范围是．

22. 设函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围．

【答案】（1）答案见详解；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）对函数求导，讨论与即可分析其单调性；

（2）法一：令，求导得，根据的单调性分析单调性，再求出的最小值，从而得b的取值范围；法二，令，则在R上恒成立，分离参数求函数最值即可．

【小问1详解】

的定义域为，

当时，，故在R上递减．

当时，令得，令得

综上可知：时，在上单调递减

时，在上单调递减，在单调递增

【小问2详解】

当时，，所以

因为在恒成立，即在恒成立

法一：令，

令，，

所以在单调递增，又

所以当时，，单调递减，当时，，单调递增

所以当时，，所以

法二：式化为

令，

则在R上恒成立，所以

令，，令

所以在单调递减，在单调递增，

所以

所以．