2021-2022学年江苏省苏州市高新区第一中学高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省苏州市高新区第一中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当t=1秒时，该质点的瞬时速度为（       ）

A．16米/秒 B．40米/秒 C．9米/秒 D．36米/秒

【答案】B

【分析】对关于位移与时间的关系式求导，然后将代入可求出该质点的瞬时速度

【详解】，

当时，，

故该质点的瞬时速度为40米/秒.

故选：B

2．在的二项展开式中，第二项的系数为（       ）

A．4 B．  C．6 D．

【答案】B

【分析】由二项式展开式的通项公式直接计算即可

【详解】的二项展开式的第二项为，

所以第二项的系数为，

故选：B

3．若存在过点（0，－2）的直线与曲线和曲线都相切，则实数a的值是（       ）

A．2 B．1 C．0 D．－2

【答案】A

【分析】在两曲线上设切点，得到切线，又因为（0，－2）在两条切线上,列方程即可.

【详解】的导函数为，的导函数为，

若直线与和的切点分别为（，），，

∴过（0，－2）的直线为、，

则有，可得．

故选：A.

4．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（       ）

A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38

【答案】A

【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，

“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，

根据题意得：，，，

则.

故选：A.

5．设为奇数，那么除以13的余数是（       ）

A． B．2 C．10 D．11

【答案】C

【分析】用二项式定理将原式化为，进而化为，再用二项式定理展开，即可得到答案.

【详解】

因为为奇数，则上式=.

所以除以13的余数是10.

故选：C.

6．下列等式不正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】按照排列数和组合数的运算依次判断4个选项即可.

【详解】，故A错误；

，C正确；

，B正确；

，D正确.

故选：A.

7．若 ， 则 的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先通过二项展开式判断系数的正负，再通过赋值法求得结果即可.

【详解】由题意得：，故当时，，当时，，

故，令可得

，

故.

故选：C.

8．直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题，线段平行于轴，直线倾斜角固定，到直线的距离为，则，故求最小转为求最小，即为当过点处的切线与直线平行时最小；

求出曲线的导函数，当导函数的函数值等于时，可求得切点，进而求得切点到直线的距离，此即为最小的，则最小值可求.

【详解】由题，设到直线的距离为，直线的倾斜角为，则 ，

又，，故最小即最小，即为当过点处的切线与直线平行时最小，

由曲线，得，所以切点为，

可求得点到直线的距离最小值为

故，

故选：C

二、多选题

9．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（       ）

附：随机变量服从正态分布，则，，.

A．该校学生的体能检测结果的期望为

B．该校学生的体能检测结果的标准差为

C．该校学生的体能达标率超过

D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等

【答案】AD

【分析】求出、的值，可判断AB选项；利用原则可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项.

【详解】对于A选项，该校学生的体能检测结果的期望为，A对；

对于B选项，该校学生的体能检测结果的标准差为，B错；

对于C选项，，

所以，，C错；

对于D选项，，所以，，

所以，该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等，D对.

故选：AD.

10．为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则下列选项正确的是(       )

A．共有625种分配方法

B．共有1024种分配方法

C．每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法

D．每个小区至少分配一名志愿者，则有480种分配方法

【答案】BC

【分析】选项AB：根据题意并结合乘法原理即可求解；选项CD：利用部分均匀分组消序的方法进行分组，然后进行全排列即可求解.

【详解】对于选项AB:若需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则每个志愿者都有4种可能，根据计数原理之乘法原理，则有45=1024种不同的方法，故A错误，B正确，

对于选项CD：若每个小区至少分配一名志愿者，则有一个小区有两名志愿者，其余小区均有1名志愿者，由部分均匀分组消序和全排列可知，

把5名志愿者分成4组，有种不同的分配方法，

故C正确，D错误.

故选：BC.

11．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（       ）

A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点

C．函数必有2个零点 D．

【答案】BD

【解析】对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．

【详解】函数，则，

当时，，故在上为增函数，A错误；

当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；

若，则有两个零点，

若，则有一个零点，

若，则没有零点，故C错误；

在上为增函数，则，即，化简得，D正确；

故选：BD

【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．

12．甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】分别就，2，3计算概率得出数学期望，憨厚逐一分析各选项即可得出结论．

【详解】解：X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，

当时，则，

，

，

∴，

，故A正确，C正确；

当时，，

，

，

∴，

，故B正确；

当时，，

，

，

∴，

∴，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知随机变量 服从正态分布 ， 且 ， 则    _______________．

【答案】0.8

【分析】由正态分布对称性得，结合解得，即可求解.

【详解】由题意知：，故，即，解得，

故.

故答案为：0.8.

14．现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是__________．

【答案】24

【详解】第一步：先排2名男生有种，

第二步：排女生，3名女生全排形成了4个空有种，

第三步，将这1个老师插入3名女生形成的2空（不含3名女生两端的空）中，

根据分步计数原理可得，共有种，故答案为.

15．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.

【答案】0.6

【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.

【详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，

所以，

所以或．

由，得，

即，

所以，

所以，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．

四、双空题

16．已知：若函数在上可导，，则.又英国数学家泰勒发现了一个恒等式，则___________，___________.

【答案】     1    

【分析】令，即可求出，再将两边求导数，即可得到，即可得到，从而得到，再用裂项相消法求和即可；

【详解】解：因为，令，即，所以；

又，

所以，所以，所以

所以

故答案为：；

五、解答题

17．已知（n为正整数）.

(1)若，求n的值；

(2)若，，，求和的值（结果用指数幂的形式表示）.

【答案】(1)

(2)，，

【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由列方程可求出n的值，

（2）分别令，求出，，进而可求出的值，

【详解】(1)二项式展开式的通项公式为，则

，

因为，

所以，化简得，

，

得或（舍去），

(2)当时，，

令，得，

令，得，

因为，，

所以，

，

所以，

18．已知函数，.

(1)证明函数为偶函数，并求出其最大值；

(2)求函数在上单调递增区间.

【答案】(1)证明见解析，最大值为；

(2)、.

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可证得结论成立，再利用二倍角公式结合二次函数的基本性质可求得函数的最大值；

（2）求导得出，然后求出不等式在上的解集，即可得出结论.

【详解】(1)解：函数的定义域，

又，所以函数为偶函数，

当时，，，

所以当时，函数的最大值为.

(2)解：当时，，

对其求导得，

当时，，只需，解得，

当时，，只需，解得，

综上函数在上的单调递增区间有、.

19．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；

（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．

附参考数据：若，则①；②；③．

【答案】（1）74；（2）；（3）分布列见解析；期望为．

【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可.

（2）依据，按公式计算即可.

（3）先得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.

【详解】解：（1）根据频率分布直方图得：

．

（2）由题意知，

．

（3）由于，和的频率之比为：，

故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，

随机变量的取值可以为0、1、2、3，

，，

，，

的分布列为：

20．已知函数 的图象在点 ( 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ．

(1)求实数 的值;

(2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值．

【答案】(1)1

(2)4

【分析】（1）先求导，再利用解出即可；

（2）先参变分离得到，再构造函数，求导确定单调性后求出的范围，

即可求出 的最小值.

【详解】(1)由题意知：，，解得；

(2)由（1）知：，存在 使 成立等价于，令，

则，令，则，所以在上单增，

又，故存在使，即，

故当时，单减，故当时，单增，

故，故，

又且，故 的最小值为4.

21．某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰.比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果.在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立.

(1)求甲恰好经过三局进入复赛的概率；

(2)记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）前两局和棋最后一局甲胜，按照乘法公式计算概率即可；

（2）的所有可能取值为，依次计算出概率，列出分布列，再计算期望即可.

【详解】(1)前两局和棋最后一局甲胜，.

(2)的所有可能取值为，乙慢棋比赛胜概率，乙快棋比赛胜概率，

乙超快棋比赛胜概率.

，

的分布列为

.

22．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.

试题解析：（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.