2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高二下学期期中数学（文）试题（解析版）

2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，则等于（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】利用虚数单位的幂的周期性即可得解.

【详解】，

故选A.

【点睛】本题考查虚数单位的幂的运算，一般地，.

2．若复数的实部为a，虚部为b，则（       ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出与的值，则答案可求．

【详解】，

，，

则,

故选：．

3．在建立与的回归模型时，选择了4种不同模型，其中拟合效果最好的是（       ）

A．模型1的相关指数为0.75 B．模型2的相关指数为0.90

C．模型3的相关指数为0.25 D．模型4的相关指数为0.55

【答案】B

【分析】根据相关指数越大，拟合效果越好判断即可.

【详解】解：根据回归模型中，相关指数越大，拟合效果越好，

由于，

所以模型2的拟合效果最好.

故选：B

4．把直角坐标化为极坐标，则极坐标可以为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用直角坐标和极坐标互换公式，将直角坐标转化为极坐标．

【详解】对于点，，且在第二象限，则， 则点的极坐标为；

故选：C.

【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．

5．在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，分析要求直线的直角坐标方程，据此结合极坐标方程的求法分析可得答案．

【详解】解：根据题意，过点且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为，

则其极坐标方程为：，

故选：．

【点睛】本题考查极坐标系下直线方程的求法，属于基础题．

6．若，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取特殊值，否定A、B、C三个选项，对于D利用不等式的可乘性直接证明.

【详解】对于A：取特殊值，符合，但是，不满足，故A不成立;

对于B：取特殊值，符合，但是，不满足，故B不成立;

对于C：取特殊值，符合，但是，不满足，故C不成立;

对于D：因为，由不等式的可乘性，成立.故D成立.

故选：D

7．直线（为参数）的倾斜角是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由直线的参数方程，可得（为参数）进而得到，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，直线（为参数），可得（为参数）

设直线的倾斜角为，

则，所以，

即直线的倾斜角为，故选D．

【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的计算，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记直线的斜率与倾斜角的关系，合理消去参数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

8．气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB，由题得，化简即得解.

【详解】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB，

由题得,

所以,

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

9．已知抛物线C的参数方程为（t为参数），焦点为F，则抛物线C上的点到焦点F的距离为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】把参数方程化为普通方程，然后，利用抛物线的性质求解即可

【详解】，得焦点，所以，到焦点F的距离为

故选：C

10．直线：与曲线：（为参数）有且只有一个公共点，则的值是（       ）

A． B． C．3 D．-3

【答案】A

【分析】先将曲线的参数方程（为参数），转化为直角坐标方程，再利用直线与圆相切求解.

【详解】因为曲线：（为参数）

所以直角坐标方程为，

因为直线：与曲线：（为参数）有且只有一个公共点，

所以直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，

即，

解得

故选：A

【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，属于基础题.

11．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内可以填写的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】模拟运行程序，当输出时，确定退出循环体的条件即可.

【详解】运行程序：，进行循环体，因为，一定不满足判断条件，进行循环体，所以

，因为，一定不满足判断条件，进行循环体，所以，

因为，一定不满足判断条件，进行循环体，所以，

因为，一定不满足判断条件，进行循环体，所以，

这时，所以应该退出循环体，所以判断框内可以填写的是，

故选：C

12．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，当且仅当与异号时等号成立．

∵关于的不等式的解集为空集，

∴，即，

解得.

∴实数的取值范围为．选D．

二、填空题

13．已知是虚数单位，复数，则z的共轭复数___________.

【答案】

【分析】先求出复数z，再求z的共轭复数.

【详解】因为，所以z的共轭复数.

故答案为：.

14．若椭圆的参数方程为（为参数），则该椭圆的离心率为___________.

【答案】

【分析】考虑到，得到的等量关系即为椭圆的普通方程，再求离心力即可.

【详解】解：因为，所以，则，

所以椭圆的普通方程为：.

所以，所以

所以该椭圆的离心率为

故答案为：.

15．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球的概率是___________.

【答案】

【分析】设甲袋中摸出一个红球为事件，乙袋中摸出一个红球为事件，从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球为事件，进而根据独立事件的概率乘法公式求解即可.

【详解】解：设甲袋中摸出一个红球为事件，乙袋中摸出一个红球为事件，

则，，

设从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球为事件，

则.

故从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球的概率是.

故答案为：

16．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，将曲线绕极点O顺时针旋转得到曲线，射线与曲线和曲线分别交于A，B两点（均异于极点O），则等于___________.

【答案】

【分析】根据题意得曲线的极坐标方程为，进而得，再根据求解即可.

【详解】解：因为曲线绕极点O顺时针旋转得到曲线，

所以曲线的极坐标方程为，

因为，射线与曲线和曲线分别交于A，B两点，

所以，

所以

故答案为：

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求直线的直角坐标方程；

(2)求曲线的普通方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，直角坐标系中，直线过坐标原点，倾斜角为，进而得直角坐标方程；

（2）结合消参即可得答案.

【详解】(1)解：直线的极坐标方程，故直线过极点，

所以，在直角坐标系中，直线过坐标原点，倾斜角为，

所以，直线的直角坐标方程为

(2)解：曲线的参数方程为（为参数），

所以，由于，

所以，曲线的参数方程化为普通方程为.

18．设复数.

（1）若z为纯虚数，求；

（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2） .

【分析】（1）由z为纯虚数，可得实部为0，虚部不为0，可得z的值，可得的值；

（2）由实部大于0且虚部小于0，列出不等式组可得答案.

【详解】解：（1）若z为纯虚数，则 ,

所以，故   ,

所以 ；

（2）若2在复平面内对应的点在第四象限，则 ,

解得 .

【点睛】本题主要考查复数的几何意义及复数的有关概念，比较基础.

19．已知，

（1）求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集；

(2)由题意分类讨论求解绝对值不等式的解集即可.

【详解】（1）由题意可得：，故或，

据此可得不等式的解集为

（2）不等式等价于：

或或，

求解不等式可得：或或.

综上可得，不等式的解集为：，即.

【点睛】绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

20．为了加快恢复疫情过后的经济，各地旅游景点相继推出各种优惠政策，刺激旅游消费.去年8月份，某景区一纪念品超市随机调查了180名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到下表：

(1)补全下面的列联表；

(2)通过计算判断能否有的把握认为购买纪念品的消费金额与年龄有关.

附：，其中.

【答案】(1)答案见解析

(2)有的把握认为购买纪念品的消费金额与年龄有关

【分析】（1）根据题意，分析数据，补全列联表即可；

（2）结合列联表计算，并根据独立性检验的思想判断即可.

【详解】(1)解：（1）根据表中数据，消费金额不少于120元的有：人，

消费金额少于元有：人.

所以，补全的列联表如下：

(2)解：结合（1）中的列联表，

计算，

有的把握认为购买纪念品的消费金额与年龄有关.

21．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.直线l与曲线C交于M､N两点.

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据参数方程消参可得l的普通方程，再根据极坐标和直角坐标的关系进行转化可得C的直角坐标方程；

（2）根据参数的几何意义进行计算即可.

【详解】(1)直线l的参数方程（t为参数），

转化为普通方程为.

由曲线C的极坐标方程为，得，

根据转化为直角坐标方程为

(2)将直线l的参数方程（t为参数），

代入中，得，

由根与系数的关系得，

在直线l上，

.

22．下图是2017年至2021年政府对某社区基础设施的投入金额y（单位：万元）的折线图，年份代码1~5表示对应的年份2017~2021

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数r加以说明；

(2)求y与t的线性回归方程，并预测2022年政府对该社区基础设施的投入金额.

参考数据：.参考公式：，线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：.

【答案】(1)答案见解析

(2)，28.2万元

【分析】（1）根据所给数据代入相关系数公式即可；

（2）根据所给数据求得线性回归方程，代入年份即可得解.

【详解】(1)由题中的数据可知，，

，

，

与t的线性相关程度很高，

故可以用线性回归模型拟合y与t的关系.

(2)由（1）中的数据结合公式可得.

，

，

与t的线性回归方程为，

当时，（万元），

故预测2022年政府对该社区基础设施的投入金额为28.2万元.