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2021-2022学年黑龙江省绥化市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
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这是一份2021-2022学年黑龙江省绥化市九年级（上）期末数学试卷（五四学制），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省绥化市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每题3分，共30分）
1．（3分）方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣5 B．x＝5 C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0
2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
4．（3分）⊙O的半径为6，线段OP的长度为8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O内 D．无法确定
5．（3分）二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）
6．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．28°
7．（3分）某商品原价200元，连续两次降价的百分率为a后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a）2＝148 B．200（1﹣a）2＝148
C．200（1﹣2a）＝148 D．200（1﹣a2）＝148
8．（3分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．（3分）三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（ ）
A．32π B．433π C．2π D．3π
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）已知2是一元二次方程x2﹣3kx+2＝0的根，则k的值是 ．
12．（3分）正八边形的每个内角为 ．
13．（3分）已知点P（﹣7，5）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b＝ ．
14．（3分）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
15．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．
16．（3分）将二次函数y＝6x2的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数解析式是 ．
17．（3分）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是 ．
18．（3分）⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A＝ ．
19．（3分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝ 度．
20．（3分）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 cm2．
三、解答题（共60分）
21．（6分）解方程：
（1）x2﹣7x+12＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0；
22．（7分）我区的数学爱好者申请了一项省级课题﹣﹣《中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“理解”所占扇形的圆心角是多少度？
（3）我区七年级大约8000名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？
23．（7分）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是 ．
24．（7分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
25．（6分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为13．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B＝2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF＝FC．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．
27．（9分）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个10元．某商场试销发现：销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个．
（1）求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯300个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？
28．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年黑龙江省绥化市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每题3分，共30分）
1．（3分）方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣5 B．x＝5 C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0
【分析】在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法．
【解答】解：直接因式分解得x（x﹣5）＝0，
解得x1＝0，x2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【解答】解：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；
C、“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；
D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）⊙O的半径为6，线段OP的长度为8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O内 D．无法确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵OP＝8，r＝6，则OP＞r，
∴点P在圆外．
故选：B．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
5．（3分）二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）
【分析】根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1是顶点式，
∴顶点坐标为（3，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），考查了学生的应用能力，是中考中考查重点注意必须熟练掌握其性质．
6．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．28°
【分析】连接OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．
【解答】解：连接OB，如图，∠BOC＝2∠A＝2×72°＝144°，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO，
∴∠BCO=12（180°﹣∠BOC）=12×（180°﹣144°）＝18°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
7．（3分）某商品原价200元，连续两次降价的百分率为a后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a）2＝148 B．200（1﹣a）2＝148
C．200（1﹣2a）＝148 D．200（1﹣a2）＝148
【分析】设平均每次降价的百分率为a，根据某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，可列出方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为a，根据题意得
200（1﹣a）2＝148．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，降价两次，关键知道降价前和降价后的价格，列出方程即可求解．
8．（3分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′＝∠ACA′＝20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．
【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°
∵AC⊥A′B′，
∴∠BAC＝∠A′＝90°﹣20°＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
9．（3分）三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（ ）
A．32π B．433π C．2π D．3π
【分析】首先根据勾股定理计算出BC长，再根据等边三角形的判定和性质计算出∠ACA′＝60°，进而可得∠BCB′＝60°，然后再根据弧长公式可得答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，AC＝23，
∴BA＝43，∠A＝60°，
∴CB＝6，
∵AC＝A′C，
∴∠AA′C是等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴弧长l=nπr180=60π×6180=2π，
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，以及弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：抛物线与y轴交于原点，
c＝0，（故①正确）；
该抛物线的对称轴是：-2+02=-1，
直线x＝﹣1，（故②正确）；
当x＝1时，y＝a+b+c
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣b/2a＝﹣1，b＝2a，
又∵c＝0，
∴y＝3a，（故③错误）；
x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝﹣1对应的函数值为y＝a﹣b+c，
又∵x＝﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b＝2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）已知2是一元二次方程x2﹣3kx+2＝0的根，则k的值是 1 ．
【分析】2是方程的根，把2代入方程就可求出k值．
【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3kx+2＝0的根，
∴把2代入此方程有：
4﹣6k+2＝0
k＝1
故本题的答案是1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，只须把解代入方程就可求出k值．
12．（3分）正八边形的每个内角为 135° ．
【分析】根据多边形的内角和和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后再除以边数即可；
或：先求出多边形的每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是平角，等于180°列式计算．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝1080°，
1080°÷8＝135°；
或：360°÷8＝45°，
180°﹣45°＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角和360°除以边数求外角的度数是常用的方法，一定要熟练掌握．
13．（3分）已知点P（﹣7，5）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b＝ 2 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值．
【解答】解：点P（﹣7，5）关于原点的对称点为M（a，b），则a＝7，b＝﹣5，
a+b＝7﹣5＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．（3分）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 42 cm．
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝4π，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长=120⋅π⋅6180=4π，
∴圆锥的底面圆的周长为4π，
∴圆锥的底面圆的半径为2，
∴这个纸帽的高=62-22=42（cm）．
故答案为42．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
15．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 x＜﹣1或x＞5 ．
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便，求出函数图象与x轴的另一交点坐标是解题的关键．
16．（3分）将二次函数y＝6x2的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数解析式是 y＝6（x﹣2）2﹣3 ．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【解答】解：y＝6x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得y＝6（x﹣2）2﹣3．
故答案为：y＝6（x﹣2）2﹣3．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
17．（3分）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是 316 ．
【分析】先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．
【解答】解：如图，
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，
所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率=316．
故答案为：316．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率=mn．
18．（3分）⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A＝ 50°或130° ．
【分析】分为两种情况：当O在△ABC内部时，根据圆周角定理求出∠A＝50°；当O在△A′BC外部时，根据圆内接四边形性质求出∠A′＝180°﹣∠A即可．
【解答】解：分为两种情况：当O在△ABC内部时，
根据圆周角定理得：∠A=12∠BOC=12×100°＝50°；
当O在△A′BC外部时，如图在A′时，
∵A、B、A′、C四点共圆，
∴∠A+∠A′＝180°，
∴∠A′＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：50°或130°．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，圆内接四边形等知识点，注意：本题分为圆心O在△ABC内部和外部两种情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
19．（3分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝ 20 度．
【分析】根据旋转的性质可得AB＝AB′，∠BAB′＝40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝40°，
在△ABB′中，∠ABB′=12（180°﹣∠BAB′）=12（180°﹣40°）＝70°，
∵∠AC′B′＝∠C＝90°，
∴B′C′⊥AB，
∴∠BB′C′＝90°﹣∠ABB′＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．
20．（3分）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 n-14 cm2．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14×（n﹣1）=n-14cm2．
故答案为：n-14．
【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
三、解答题（共60分）
21．（6分）解方程：
（1）x2﹣7x+12＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0；
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣4）（x﹣3）＝0，
x﹣4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝4，x2＝3；
（2）（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0，
所以x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
22．（7分）我区的数学爱好者申请了一项省级课题﹣﹣《中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“理解”所占扇形的圆心角是多少度？
（3）我区七年级大约8000名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次抽取的学生数；补全条形统计图即可；
（2）根据统计图中的数据可以求得“理解”所占扇形的圆心角为120400×360°＝108°；
（3）由8000×（40%+120400）＝5600（名）即可．
【解答】解：（1）本次调查共抽取学生为：205%=400（名），
∴不太了解的学生为：400﹣120﹣160﹣20＝100（名），
补全条形统计图如下：
（2）“理解”所占扇形的圆心角是：120400×360°＝108°；
（3）8000×（40%+120400）＝5600（名），
所以“理解”和“了解”的共有学生5600名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．（7分）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是 9π2 ．
【分析】（1）如图，画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）如图，画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC扫过的面积即为扇形AOA2的面积减去扇形COC2的面积，求出即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；
（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积S=90π×(25)2360-90π×(2)2360=5π-π2=9π2．
故答案为：9π2．
【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，以及扇形面积公式，作出正确的图形是解本题的关键．
24．（7分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（a﹣2）＝12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
1+x1=-21⋅x1=a-2，
解得：a=-1x1=-3，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
25．（6分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为13．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
【分析】（1）根据摸得黑球的概率为13，假设出白球个数直接得出答案；
（2）利用先随机从口袋中摸出一球，不放回，得出树状图即可．
【解答】解：（1）∵一个口袋中有1个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为13．
∴假设白球有x个，
∴11+x=13，
∴x＝2．
∴口袋中白球的个数为2个；
（2）∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．
∴两次都摸到白球的概率为：13．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，根据已知得出树状图注意按要求从口袋中摸出一球，不放回，容易在这个地方犯错．
26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B＝2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF＝FC．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．
【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用∠B＝2∠A可计算出∠B＝60°，∠A＝30°，易得∠E＝30°，接着由EF＝FC得到∠ECF＝∠E＝30°，所以∠FCA＝60°，加上∠OCA＝∠A＝30°，所以∠FCO＝∠FCA+∠ACO＝90°，于是可根据切线的判定得到FC是⊙O的切线；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△ABC中可计算出BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，则CE＝23，所以BE＝BC+CE＝2+23，然后在Rt△BEM中计算出BM=12BE＝1+3，
再计算AB﹣BM的值即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝60°，∠A＝30°，
∵EM⊥AB，
∴∠EMB＝90°，
在Rt△EMB中，∠B＝60°，
∴∠E＝30°，
又∵EF＝FC，
∴∠ECF＝∠E＝30°，
又∵∠ECA＝90°，
∴∠FCA＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠FCO＝∠FCA+∠ACO＝90°，
∴OC⊥CF，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，
∵AC＝CE，
∴CE＝23，
∴BE＝BC+CE＝2+23，
在Rt△BEM中，∠BME＝90°，∠E＝30°
∴BM=12BE＝1+3，
∴AM＝AB﹣BM＝4﹣1-3=3-3．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
27．（9分）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个10元．某商场试销发现：销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个．
（1）求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯300个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？
【分析】（1）首先表示出销售单价x元时涨价（x﹣10）元，每涨价1元，每月少卖10个，则少买10（x﹣15），表示出y即可；
（2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）由每月商场最多可销售这种节能灯300个可得﹣10x+500≤300，又因为销售单价不得高于25元可得x取值范围，根据二次函数的性质得最值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝350﹣10（x﹣15）＝﹣10x+500（15≤x≤50）；
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣10x+500）
＝﹣10（x﹣30）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值＝4000．
答：当定价定为30元时，每月可获得最大利润4000元；
（3）依题意得：﹣10x+500≤300，
∴x≥20，
∵x≤25，
∴20≤x≤25，
由（2）得w＝﹣10（x﹣30）2+4000，
∵﹣10＜0，当x≤30时，
w随x的增大而增大，
∴当x＝25时，w有最大值＝﹣10（25﹣30）2+4000＝3750（元）．
答：当定价为25元每个时，商场每月可获得最大利润3750元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
28．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
方法二：
（1）略．
（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．
（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．
（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．
【解答】方法一：
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：
a-b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得：a=-1b=2c=3
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA＝PB，
∴BC＝PC+PB＝PC+PA
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
3k+b=0b=3，解得：k=-1b=3
∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；
当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．
（3）抛物线的对称轴为：x=-b2a=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：
MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：
m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：
m2+4＝10，得：m＝±6；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：
m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，6）（1，-6）（1，1）（1，0）．
方法二：
（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，
∵l为对称轴，
∴PB＝PA，
∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x＝1代入lBC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．
（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），
∵△MAC为等腰三角形，
∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±6，
（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，
经检验，t＝6时，M、A、C三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，6），M2（1，-6），M3（1，1），M4（1，0）．
追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．
（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，
∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，
∴∠GHO＝∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2＝GO•GA，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴lAC：y＝3x+3，H（-910，310），
∵H为OO′的中点，
∴O′（-95，35），
∵D（1，4），
∴lO′D：y=1714x+3914，lAC：y＝3x+3，
∴x=-325，y=6625，
∴Q（-325，6625）．
【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/17 17:30:20；用户：呵呵；邮箱：nietongtong@126.com；学号：166288
2021-2022学年黑龙江省绥化市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每题3分，共30分）
1．（3分）方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣5 B．x＝5 C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0
2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
4．（3分）⊙O的半径为6，线段OP的长度为8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O内 D．无法确定
5．（3分）二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）
6．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．28°
7．（3分）某商品原价200元，连续两次降价的百分率为a后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a）2＝148 B．200（1﹣a）2＝148
C．200（1﹣2a）＝148 D．200（1﹣a2）＝148
8．（3分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．（3分）三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（ ）
A．32π B．433π C．2π D．3π
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）已知2是一元二次方程x2﹣3kx+2＝0的根，则k的值是 ．
12．（3分）正八边形的每个内角为 ．
13．（3分）已知点P（﹣7，5）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b＝ ．
14．（3分）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
15．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．
16．（3分）将二次函数y＝6x2的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数解析式是 ．
17．（3分）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是 ．
18．（3分）⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A＝ ．
19．（3分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝ 度．
20．（3分）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 cm2．
三、解答题（共60分）
21．（6分）解方程：
（1）x2﹣7x+12＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0；
22．（7分）我区的数学爱好者申请了一项省级课题﹣﹣《中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“理解”所占扇形的圆心角是多少度？
（3）我区七年级大约8000名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？
23．（7分）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是 ．
24．（7分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
25．（6分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为13．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B＝2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF＝FC．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．
27．（9分）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个10元．某商场试销发现：销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个．
（1）求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯300个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？
28．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年黑龙江省绥化市九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每题3分，共30分）
1．（3分）方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣5 B．x＝5 C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0
【分析】在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法．
【解答】解：直接因式分解得x（x﹣5）＝0，
解得x1＝0，x2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【解答】解：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；
C、“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；
D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）⊙O的半径为6，线段OP的长度为8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O内 D．无法确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵OP＝8，r＝6，则OP＞r，
∴点P在圆外．
故选：B．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
5．（3分）二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）
【分析】根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1是顶点式，
∴顶点坐标为（3，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），考查了学生的应用能力，是中考中考查重点注意必须熟练掌握其性质．
6．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．28°
【分析】连接OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．
【解答】解：连接OB，如图，∠BOC＝2∠A＝2×72°＝144°，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO，
∴∠BCO=12（180°﹣∠BOC）=12×（180°﹣144°）＝18°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
7．（3分）某商品原价200元，连续两次降价的百分率为a后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a）2＝148 B．200（1﹣a）2＝148
C．200（1﹣2a）＝148 D．200（1﹣a2）＝148
【分析】设平均每次降价的百分率为a，根据某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，可列出方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为a，根据题意得
200（1﹣a）2＝148．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，降价两次，关键知道降价前和降价后的价格，列出方程即可求解．
8．（3分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′＝∠ACA′＝20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．
【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置
∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°
∵AC⊥A′B′，
∴∠BAC＝∠A′＝90°﹣20°＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
9．（3分）三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（ ）
A．32π B．433π C．2π D．3π
【分析】首先根据勾股定理计算出BC长，再根据等边三角形的判定和性质计算出∠ACA′＝60°，进而可得∠BCB′＝60°，然后再根据弧长公式可得答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，AC＝23，
∴BA＝43，∠A＝60°，
∴CB＝6，
∵AC＝A′C，
∴∠AA′C是等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴弧长l=nπr180=60π×6180=2π，
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，以及弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：抛物线与y轴交于原点，
c＝0，（故①正确）；
该抛物线的对称轴是：-2+02=-1，
直线x＝﹣1，（故②正确）；
当x＝1时，y＝a+b+c
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣b/2a＝﹣1，b＝2a，
又∵c＝0，
∴y＝3a，（故③错误）；
x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝﹣1对应的函数值为y＝a﹣b+c，
又∵x＝﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b＝2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）已知2是一元二次方程x2﹣3kx+2＝0的根，则k的值是 1 ．
【分析】2是方程的根，把2代入方程就可求出k值．
【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3kx+2＝0的根，
∴把2代入此方程有：
4﹣6k+2＝0
k＝1
故本题的答案是1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，只须把解代入方程就可求出k值．
12．（3分）正八边形的每个内角为 135° ．
【分析】根据多边形的内角和和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后再除以边数即可；
或：先求出多边形的每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是平角，等于180°列式计算．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝1080°，
1080°÷8＝135°；
或：360°÷8＝45°，
180°﹣45°＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角和360°除以边数求外角的度数是常用的方法，一定要熟练掌握．
13．（3分）已知点P（﹣7，5）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b＝ 2 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值．
【解答】解：点P（﹣7，5）关于原点的对称点为M（a，b），则a＝7，b＝﹣5，
a+b＝7﹣5＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．（3分）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 42 cm．
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝4π，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长=120⋅π⋅6180=4π，
∴圆锥的底面圆的周长为4π，
∴圆锥的底面圆的半径为2，
∴这个纸帽的高=62-22=42（cm）．
故答案为42．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
15．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 x＜﹣1或x＞5 ．
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便，求出函数图象与x轴的另一交点坐标是解题的关键．
16．（3分）将二次函数y＝6x2的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数解析式是 y＝6（x﹣2）2﹣3 ．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【解答】解：y＝6x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得y＝6（x﹣2）2﹣3．
故答案为：y＝6（x﹣2）2﹣3．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
17．（3分）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是 316 ．
【分析】先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．
【解答】解：如图，
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，
所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率=316．
故答案为：316．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率=mn．
18．（3分）⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A＝ 50°或130° ．
【分析】分为两种情况：当O在△ABC内部时，根据圆周角定理求出∠A＝50°；当O在△A′BC外部时，根据圆内接四边形性质求出∠A′＝180°﹣∠A即可．
【解答】解：分为两种情况：当O在△ABC内部时，
根据圆周角定理得：∠A=12∠BOC=12×100°＝50°；
当O在△A′BC外部时，如图在A′时，
∵A、B、A′、C四点共圆，
∴∠A+∠A′＝180°，
∴∠A′＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：50°或130°．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，圆内接四边形等知识点，注意：本题分为圆心O在△ABC内部和外部两种情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
19．（3分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝ 20 度．
【分析】根据旋转的性质可得AB＝AB′，∠BAB′＝40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝40°，
在△ABB′中，∠ABB′=12（180°﹣∠BAB′）=12（180°﹣40°）＝70°，
∵∠AC′B′＝∠C＝90°，
∴B′C′⊥AB，
∴∠BB′C′＝90°﹣∠ABB′＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．
20．（3分）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 n-14 cm2．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14×（n﹣1）=n-14cm2．
故答案为：n-14．
【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
三、解答题（共60分）
21．（6分）解方程：
（1）x2﹣7x+12＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0；
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣4）（x﹣3）＝0，
x﹣4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝4，x2＝3；
（2）（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0，
所以x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
22．（7分）我区的数学爱好者申请了一项省级课题﹣﹣《中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“理解”所占扇形的圆心角是多少度？
（3）我区七年级大约8000名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次抽取的学生数；补全条形统计图即可；
（2）根据统计图中的数据可以求得“理解”所占扇形的圆心角为120400×360°＝108°；
（3）由8000×（40%+120400）＝5600（名）即可．
【解答】解：（1）本次调查共抽取学生为：205%=400（名），
∴不太了解的学生为：400﹣120﹣160﹣20＝100（名），
补全条形统计图如下：
（2）“理解”所占扇形的圆心角是：120400×360°＝108°；
（3）8000×（40%+120400）＝5600（名），
所以“理解”和“了解”的共有学生5600名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．（7分）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是 9π2 ．
【分析】（1）如图，画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）如图，画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC扫过的面积即为扇形AOA2的面积减去扇形COC2的面积，求出即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；
（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积S=90π×(25)2360-90π×(2)2360=5π-π2=9π2．
故答案为：9π2．
【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，以及扇形面积公式，作出正确的图形是解本题的关键．
24．（7分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（a﹣2）＝12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
1+x1=-21⋅x1=a-2，
解得：a=-1x1=-3，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
25．（6分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为13．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
【分析】（1）根据摸得黑球的概率为13，假设出白球个数直接得出答案；
（2）利用先随机从口袋中摸出一球，不放回，得出树状图即可．
【解答】解：（1）∵一个口袋中有1个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为13．
∴假设白球有x个，
∴11+x=13，
∴x＝2．
∴口袋中白球的个数为2个；
（2）∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．
∴两次都摸到白球的概率为：13．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，根据已知得出树状图注意按要求从口袋中摸出一球，不放回，容易在这个地方犯错．
26．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B＝2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF＝FC．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．
【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用∠B＝2∠A可计算出∠B＝60°，∠A＝30°，易得∠E＝30°，接着由EF＝FC得到∠ECF＝∠E＝30°，所以∠FCA＝60°，加上∠OCA＝∠A＝30°，所以∠FCO＝∠FCA+∠ACO＝90°，于是可根据切线的判定得到FC是⊙O的切线；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△ABC中可计算出BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，则CE＝23，所以BE＝BC+CE＝2+23，然后在Rt△BEM中计算出BM=12BE＝1+3，
再计算AB﹣BM的值即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝60°，∠A＝30°，
∵EM⊥AB，
∴∠EMB＝90°，
在Rt△EMB中，∠B＝60°，
∴∠E＝30°，
又∵EF＝FC，
∴∠ECF＝∠E＝30°，
又∵∠ECA＝90°，
∴∠FCA＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠FCO＝∠FCA+∠ACO＝90°，
∴OC⊥CF，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴BC=12AB＝2，AC=3BC＝23，
∵AC＝CE，
∴CE＝23，
∴BE＝BC+CE＝2+23，
在Rt△BEM中，∠BME＝90°，∠E＝30°
∴BM=12BE＝1+3，
∴AM＝AB﹣BM＝4﹣1-3=3-3．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
27．（9分）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个10元．某商场试销发现：销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个．
（1）求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯300个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？
【分析】（1）首先表示出销售单价x元时涨价（x﹣10）元，每涨价1元，每月少卖10个，则少买10（x﹣15），表示出y即可；
（2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）由每月商场最多可销售这种节能灯300个可得﹣10x+500≤300，又因为销售单价不得高于25元可得x取值范围，根据二次函数的性质得最值．
【解答】解：（1）由题意得：y＝350﹣10（x﹣15）＝﹣10x+500（15≤x≤50）；
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣10x+500）
＝﹣10（x﹣30）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值＝4000．
答：当定价定为30元时，每月可获得最大利润4000元；
（3）依题意得：﹣10x+500≤300，
∴x≥20，
∵x≤25，
∴20≤x≤25，
由（2）得w＝﹣10（x﹣30）2+4000，
∵﹣10＜0，当x≤30时，
w随x的增大而增大，
∴当x＝25时，w有最大值＝﹣10（25﹣30）2+4000＝3750（元）．
答：当定价为25元每个时，商场每月可获得最大利润3750元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
28．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
方法二：
（1）略．
（2）找出A点的对称点点B，根据C，P，B三点共线求出BC与对称轴的交点P．
（3）用参数表示的点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．
（4）先求出AC的直线方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直线方程，并求出H点坐标，进而求出O’坐标，求出DO’直线方程后再与AC的直线方程联立，求出Q点坐标．
【解答】方法一：
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：
a-b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得：a=-1b=2c=3
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA＝PB，
∴BC＝PC+PB＝PC+PA
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
3k+b=0b=3，解得：k=-1b=3
∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；
当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．
（3）抛物线的对称轴为：x=-b2a=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：
MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：
m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：
m2+4＝10，得：m＝±6；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：
m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，6）（1，-6）（1，1）（1，0）．
方法二：
（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，
∵l为对称轴，
∴PB＝PA，
∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x＝1代入lBC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．
（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），
∵△MAC为等腰三角形，
∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±6，
（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，
经检验，t＝6时，M、A、C三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，6），M2（1，-6），M3（1，1），M4（1，0）．
追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．
（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，
∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，
∴∠GHO＝∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2＝GO•GA，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴lAC：y＝3x+3，H（-910，310），
∵H为OO′的中点，
∴O′（-95，35），
∵D（1，4），
∴lO′D：y=1714x+3914，lAC：y＝3x+3，
∴x=-325，y=6625，
∴Q（-325，6625）．
【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
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