2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市松北区美加外国语学校九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市松北区美加外国语学校九年级（上）开学数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列选项中的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 平面直角坐标系内一点关于原点对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为，，则这两棵树之间的坡面的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，内接于，为的直径，连接，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，点、、分别是边、、边上的点，且，，连结交于点，则下列说法错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 已知，是锐角，则______．
12. 已知点和关于原点对称，则______．
13. 如图，在中，为直径，弦于点，若，则的半径长为______．

14. 如图，已知：和为的两条直径，弦，弧的度数为，则______度．

15. 如图，内接于，，，于点，若的半径为，则的长为________．

16. 如图，内接于，，，为的直径，，交于点，则的长度是______．

17. 一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的半径是______．
18. 若正六边形的边长为，则此正六边形的边心距为______．
19. 在中，，，，点在直线上，点到直线的距离为，则的长为______．
20. 如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    先化简，再求代数式的值，其中．
22. 本小题分
    如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段、点、、、都在小正方形的顶点上．
    在方格纸中画出钝角，为最长边，且的面积为．
    在方格纸中画出等腰直角且的面积为，连接，直接写出线段的长．

23. 本小题分
    随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已成为人们的一种生活时尚，洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动，围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中，你最喜欢哪一个？必选且只选一个”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
    本次调查共抽取了多少名学生？
    通过计算补全条形统计图；
    若洪祥中学共有名学生，请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名．
     

24. 本小题分
    如图，在正方形中，是上任意一点，于点，，且交于点．
    如图，求证：；
    如图，延长交于点，延长交于点，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中个面积等于面积的图形．
     

25. 本小题分
    某中学为了奖励在校园艺术节表现突出的学生，准备在商店购买、两种文具作为奖品，已知种文具的单价比种文具的单价少元，而用元购买种文具的数量是用元购买种文具的数量的倍．
    求种文具的单价；
    根据需要，学校准备在该商店购买、两种文具共件，学校购买两种奖品的总费用不超过元，求学校购买种文具数量至少多少件？
26. 本小题分
    如图，是的直径，、为上不同于、两点，并且、位于直径的两侧，．
    如图，求证：；
    如图，、交于点，过点作于点，延长交于点，求证：；
    在的条件下，若，，求线段的长．
     

27. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点．
    求点的坐标；
    点的坐标为且，连接，过点作，连接，且轴，设线段的长为，求与之间的函数解析式；
    在的条件下，在线段上取点，连接，，使得，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，若，求点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
将其绕点逆时针旋转得到，
．
故选：．
首先利用直角三角形的性质求出，然后利用旋转的性质可以求出的度数．
本题考查了旋转的性质，也利用了直角三角形的性质，题目比较简单．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
关于原点对称点的坐标是，
故选：．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，即点关于原点的对称点是可以直接得到答案．
此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，
由勾股定理得：，
故选：．
根据正切的定义求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记正切的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，
．
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理求出的度数，再由直角三角形的性质得出的度数，根据圆周角定理可得，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理及直角三角形的性质是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

中，，，，
．
．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，再运用三角函数定义解答．
本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．同时考查了勾股定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：；
，．
．
故选D．
根据三角函数分别求，的长，从而得到的长．再利用勾股定理求的长即可．
解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

8.【答案】 

【解析】解：与相切于点，，
，
，
，
，
故选：．
根据切线的性质得出，进而得出的度数，再利用等腰三角形的性质得出的度数即可．
本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，则是正三角形．
，
则，
则正六边形的面积为．
故选：．
设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，则是正三角形，的面积的六倍就是正六边形的面积．
本题考查了正多边形的计算，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
选项A不符合题意；
，
，
选项B不符合题意；
，
∽，∽，
，，
，
选项C不符合题意；
，
∽，
，
，
选项D符合题意；
故选：．
利用平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，且是锐角，
，
，
故答案为：．
根据平方关系：，且是锐角，即可求解．
本题考查了三角函数值的计算，解题关键在于熟记并根据角的范围求函数值．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得，，
则．
故答案为．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点．
根据关于原点对称的点的坐标特点可得，，再解方程即可得到、的值，进而得到答案．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

为直径，弦于点，
，
，
，
设的半径长为，
，
，
在中，，
，
，
即的半径长为，
故答案为：．
连接，根据垂径定理即勾股定理求解即可．
此题考查了垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：和为的两条直径，弧的度数为，
连接，则，
，
故，
弦，
．
故填．
利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求出．
本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，比较简单．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，，则，得到是等边三角形，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：连接，，

则，
，
是等边三角形，
的半径为，
，
，，
，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
．
故答案为．
证明是等边三角形，即可推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：设扇形的半径为，
则根据题意得：，
解得：，
即扇形的半径为，
故答案为：．
扇形的半径为，则根据题意得出，再求出即可．
本题考查了扇形的面积计算和弧长公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积，圆心角为，半径为的弧长是．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接、、、、、，
正六边形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
根据正六边形的性质求出，得出等边三角形，求出、的长，根据勾股定理求出即可．
本题主要考查正多边形的性质，能求出、的长是解此题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：过点作，垂足为，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
分两种情况：
当点在线段上，如图，

，
，
，
∽，
，
，
，
，
当点在的延长线上，如图，

，
，
，
∽，
，
，
，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数求出，从而求出，，，然后分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，利用字模型相似三角形和字模型相似三角形进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离，熟练掌握字模型相似三角形和字模型相似三角形是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：过作，交于，则，
平分，
，
，
，
同理可得，，
，，
，，
∽，
，，，
，
：：：：：：，
设，则，，
，
，
，
．
故答案为：．
过作，交于，易得，，依据∽，即可得到：：：：，故设，则，，根据，可得，即，进而得出．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及造等腰三角形．
 

21.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值把化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示：

如图所示：
． 

【解析】根据题意画出为最长边，且面积为的图形即可；
根据题意可以画出相应的图形，再根据勾股定理求出线段的长即可．
本题考查作图、勾股定理、三角形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是画出相应的图形，找出所求问题需要的条件．
 

23.【答案】解：名，
答：本次调查共抽取了名学生；
名，
补全条形统计图如图所示，
名，
答：估计最喜欢太阳岛风景区的学生有名． 

【解析】根据条形统计图与扇形统计图求出总人数即可；
根据题意作出图形即可；
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：如图，四边形是正方形，
，，

，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，

由知：≌，
，
，
，，
四边形是正方形，
，，，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，即，，，
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即，
同理可得，
综上所述，． 

【解析】由正方形性质可得：，，进而推出，利用可证得≌，即可得出；
由知：≌，可得，再证明≌，可得，再证得≌，≌，故，可得，即，同理可得．
本题考查正方形性质，全等三角形的性质与判定，涉及平行线的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形面积等，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质．
 

25.【答案】解：设种文具单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是方程的根，且符合题意，
种文具单价为元；
设购买种文具件，
种文具的单价为元，
根据题意，得，
解得，
学校购买种文具至少件． 

【解析】设种文具单价为元，根据“用元购买种文具的数量是用元购买种文具的数量的倍”列分式方程，求解即可；
设购买种文具件，根据“购买两种奖品的总费用不超过元”列一元一次不等式，求解即可．
本题考查了分式方程的应用题，理解题意并根据等量关系列分式方程是解题的关键．
 

26.【答案】证明：如图中，连接、．

在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

证明：如图中，连接．

，
，
是直径，
，
，
，
，，
，
，
，
．

解：如图中，连接、，延长交于则，．

易知，
，设，
则，，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，，
，，
，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】如图中，连接、由≌，想办法证明，可得，由此即可解决问题．
如图中，连接只要证明，即可推出，，由，推出，即可证明，推出．
如图中，连接、，延长交于则，易知，推出，设，则，，，，推出，推出，由，推出，推出，由，推出，，由，推出，，，推出，，推出，由∽，可得，由此即可解决问题．
本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，第三个问题的突破点是求出，题目比较难，属于中考压轴题．
 

27.【答案】解：把代入得：
，
，
，
令得，
；

如图，过点作轴于点，则，
，，，
，，
轴，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
设线段的长为，则，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
；

如图中，过点，分别作轴，轴于点，过点作轴于点，直线分别交，于点，．
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
值中，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
讨论四边形是矩形，，，
，，
，
，，
≌，
，，
，
在中，，
，，，
≌，
，
过点作于点，过点作于点．
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
 

【解析】求出直线的解析式可得结论；
如图，过点作轴于点，则，证明≌，推出，可得结论；
如图中，过点，分别作轴，轴于点，过点作轴于点，直线分别交，于点，证明≌，推出，，推出，在中，，推出，推出，，再证明≌，推出，，推出，构建方程求出可得结论．
本题属于一次函数综合题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．