初中数学苏科版八年级上册6.5 一次函数与二元一次方程教学设计

苏科版初中数学八年级上

一次函数与二元一次方程  

教材简解：

前面已经学习了二元一次方程和一次函数，本节课研究二元一次方程（数）和一次函数（形）的关系，是两章知识的综合运用，强化了部分与整体的内在联系，知识与知识间内在联系，为今后的学习奠定基础。

目标预设：

学生通过操作思考，综合新旧知识的联系，自主探索出方程与图像间的对应关系以引出二元一次方程组的图像解法，同时也建立“数” 与“形”  间的对应关系，培养学生数形结合的意识与能力。

重点：

1. 知道一次函数与二元一次方程的关系，掌握二元一次方程组的图像解法；

2. 感受一次函数在数学内部的应用，探索函数与方程之间的关系，进一步体会数形结合的数学思想。

难点：

用函数的观点探究问题，画函数图像。

设计理念：

架构知识体系，通过自主探索，小组合作掌握二元一次方程组的图像解法。

设计思路：

本节课通过研究一次函数在数学内部的应用引导学生建立一次函数与二元一次方程组的内在联系，主动构建认知结构，从中感受数形结合的思想，感悟引入研究一次函数是数学知识和方法的自然延伸。

教学过程：

一、前置研学：

1．请写出几个二元一次方程和一次函数．

2．请把其中的一次函数转化为二元一次方程kx－y＋b＝0的形式．

3．请把其中的二元一次方程转化为一次函数y＝kx＋b的形式．

设计意图：遵循本环节的教学目标，一方面引导学生复习原有的旧知；一方面自然地引出新知．在5分钟的时间里，学生既动脑思考，又动手实践；既通过认知上的冲突，激发了学习兴趣，又在解决具体问题的过程中不知不觉地进入了主动学习的状态．

二、合作交流：

活动一：

1．请把二元一次方程2x－y－3＝0转化为一次函数 y＝      ，并画出图像.

2．在（1）中所得的图像上任取一点，它的坐标是方程y＝2x－3的解吗？其他的点呢？为什么？

3．二元一次方程2x－y－3＝0的解有多少个？请写出其中的几个．

4．在(1)中的直角坐标系中描出这些以方程2x－y－3＝0的解为坐标的点，你有什么发现？其他的解呢？为什么？

归纳：一般地，一次函数y＝kx＋b图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的一个解；以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上．

设计意图：

1．与将“二元一次方程和一次函数的相互转化”一样，准确、快速地画出一次函数的图像也是本节课知识的生长点，故开始就设计了活动一．

2．在探索一次函数与二元一次方程的关系时，没有仅仅停留在形式上的转化，而是通过问题串的设置，引导学生直观感受“方程的解与函数图像上点的坐标”之间的关系，从而自然实现了方程与函数的相互转化，突出了数形结合的思想.

活动二：

在同一平面直角坐标系中画出y＝2x－3和y＝x－的图像.

（1）根据图像解方程组

（2）二元一次方程组的解与一次函数

y＝2x－3和y＝x－的图像有怎样的关系？

设计意图：学生通过用画函数图像的方法得出二元一次方程组的解，进一步体会数形结合的数学思想．

三：归纳总结：一般地，如果两个一次函数的图像有一个交

点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．

活动三：利用一次函数的图像解二元一次方程组

用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法．解题的一般步骤是什么？

变函数——画图像——找交点——写结论．

活动四：展示交流：用图像法解下列二元一次方程组．

 （1）                 （2）

设计意图：1.通过学生的合作交流，教师的巡视、个别辅导和统一讲评，培养学生规范的解题过程和严谨的科学态度．

2.本节课学生要掌握的知识点是“如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解” .

四、巩固测试：

1.把下列二元一次方程写成一次函数的形式．

（1）3x＋y＝7；    （2）3x＋4y＝13．

2．若方程x－y＝1有一个解为则一次函数y＝x－1的图像上必有点     .

3．若一次函数y＝2x－4上有一点的坐标是（3，2）.则方程2x－y＝4必有一个解为     .

4．若二元一次方程组的解为，则一次函数y＝－x＋12与y＝－2x＋20的图像的交点坐标为     .

中考链接5．如图，一次函数y＝2x＋3和y＝x－的图像交于点A(－3，－3)，则方程组的解是       .

五、课后分层作业：

A组题1.已知直线l1:y=k1x+b1和直线l2:y=k2x+b2

（1）当______时，l1与l2相交于一点，这个点的坐标是________.

（2）当______时，l1∥l2，此时方程组的解的情况是________.

（3）当_______时，l1与l2重合，此时方程组的解的情况是________.

2.无论m取何实数，直线y=x+3m与y=－x+1的交点不可能在第__________象限.

3.一次函数的图象过点A（5，3）且平行于直线y=3x－,则这个函数的解析式为________.

4.函数y=ax－3的图象与y=bx+4的图象交于x轴上一点，那么a∶b等于（    ）

A.－4∶3  B.4∶3  C.（－3）∶（－4） D.3∶（－4）

5.如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（    ）

A.y=－x+2   B.y=x－2    C.y=－x－2   D.y=x+2

6.若直线y=3x－1与y=x－k的交点在第四象限，则k的取值范围是（    ）

A.k＜    B.＜k＜1   C.k＞1    D.k＞1或k＜

B组题7.已知y1=－x－4,y2=2ax+4a+b

（1）求a、b为何值时，两函数的图象重合？

（2）如果两直线相交于点（－1，3），求a、b的值.

C组题8.已知两直线y1=2x－3,y2=6－x（1）在同一坐标系中作出它们的图象.

（2）求它们的交点A的坐标.（3）根据图象指出x为何值时，y1＞y2;x为何值时，y1＜y2.（4）求这两条直线与x轴所围成的△ABC的面积.

设计意图：1．学生在理解了二元一次方程和一次函数的关系后，通过解决一系列的问题，自然的得出二元一次方程组和一次函数的关系．

2．随着题目的层层深入，自然的得出二元一次方程组与一次函数的关系和二元一次方程组的图像解法．