2022年河北省石家庄市中考模拟状元卷一数学试题（含答案）

数学试卷（状元卷一）

一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1~10小题各3分，11~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）

A．钝角三角形   B．直角三角形  C．等腰三角形   D．等边三角形

2．已知，下列等式不成立的是（ ）

A．  B．  C．  D．

3．请仔细观察运算过程：，其中第一步运算的依据为（ ）

A．完全平方公式   B．积的乘方法则  C．幂的乘方法则  D．同底数幂相乘法则

4．下列等式不成立的是（ ）

A．  B．  C．  D．

5．一个整数x用科学记数法表示为，则x的位数为（ ）

A．27     B．28     C．29     D．30

6．如图是几个相同小正方体粘合而成的几何体的主视图和左视图，则其俯视图可能为（ ）

A．  B．  C．  D．

7．如图，数轴上的点B表示实数b，若实数a满足不等式，则a可能为（ ）

A．    B．    C．2     D．3

8．如图，射线DM的端点D在直线AB上，点C是射线DM上不与点D重合的一点，根据尺规作图痕迹，下列结论中不能体现的是（ ）

A．作一条线段等于已知线段    B．作的平分线

C．过点C作AB的平行线     D．过点C作DM的垂线

9．右图是一道分式化简正确的解题过程，则下列说法正确的是（ ）

A．   B．   C．△△△表示“－”号   D．

10．如图，等腰直角三角形ABC的顶点都在上，点M为上一点，连接OM，CM，若，则的度数为（ ）

A．18°    B．9°    C．6°    D．3°

11．如图，点，，，为一个正十二边形相邻的四个顶点，则为（ ）

A．15°   B．20°   C．25°   D．30°

12．中，EF经过两条对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，在C上通过作图得到点M，N如图1，图2，下面关于以点F，M，E，N为顶点的四边形的形状说法正确的是（ ）

A．都为矩形  B．都为菱形  C．图1为矩形，图2为平行四边形  D．图1为矩形，图2为菱形

13．根据方差的计算公式得：，下列结论判断不正确的是（ ）

A．   B．    C．平均数为7    D．众数为7

14．如图，与中，，，则的外心与的内心之间的距离为（ ）

A．2     B．    C．    D．3

15．探讨关于x的一元一次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ）

A．甲，乙，丙都正确  B．只有甲不正确  C．甲，乙，丙都不正确   D．只有乙正确

16．对于题目“如图，在四边形ABCD中，，，，，点E是BC上一个动点，过点E作直线，交AD（或其延长线）于点F．以EF为折线，将四边形ABCD折叠，若重叠的部分的面积为4，确定满足条件的所有BE的长”，甲的结果是：，乙的结果是：，则（ ）

A．甲的结果正确      B．乙的结果正确

C．甲、乙的结果合在一起才正确  D．甲、乙的结果合在一起也不正确，因为还有其他的取值

二、填空题（本大题有3个小题，共11分．17小题3分；18~19小题各有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上）

17．_______．

18．有一处斜坡如图所示，分为的两段，MO段的坡度为，NO段的坡度为，则_______°．若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过，则这一处斜坡最少可以建造的台阶数为_______级．（参考数据：，）

19．如图，反比例函数，与分别交于点A，B．

（1）当时，点B的坐标为_______；

（2）若的区域内（包括边界）共有10个整点（横纵坐标都为整数），k的取值范围为_______．

三、解答题（本大题有7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20．（本小题满分8分）琪琪和佳佳计算算式“”．

（1）琪琪不小心把运算符号“+”错看成了“－”，求此时的运算结果；

（2）佳佳只将数字“11”抄错了，所得结果不超过7，求佳佳所抄数字的最小值．

21．（本小题满分9分）如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a，b（）．

（1）观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为__________，还可以用两边的乘积表示为__________，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式______________________________；

（2）若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为，每个丙种矩形纸板的面积为，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．

22．（本小题满分9分）如图，在甲、乙两个不透明的口袋内，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲袋内的小球上分别标有数字，，4，6，乙袋内的小球上分别标有数字，，6．把小华从甲袋内任意摸出的一个小球上的数字记作a，把小强从乙袋内任意摸出的一个小球上的数字记作b．

（1）设，求a使代数式的值小于0的概率；

（2）若a，b都是方程的解，则小华获胜；若a，b都不是方程的解，则小强获胜．通过列表或画树状图的方法，说明小华和小强谁获胜的概率大．

23．（本小题满分9分）如图，已知的半径为2，四边形ABCD内接于，，点A平分，延长OD至点M，使得，连接AM．

（1）当点C在优弧BD上移动时，AM的位置_______；（选填“改变”或“不变”）

（2）判断AM与的位置关系，并说明理由；

（3）当点C在优弧BD上移动时，若，求的长．

24．（本小题满分10分）如图，甲容器已装满水，高为的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定．设注水时间为t（分），甲容器水面高度为（），乙容器水面高度为（），其中与t成正比例，且当时，；与t成一次函数关系，部分对应值如下表，当两个容器的水面高度相同时，这个高度称为平衡高度．

（1）分别写出，与t的函数关系式，并求未注水时乙容器原有水的高度；

（2）求甲、乙两个容器的平衡高度；

（3）为使甲容器无水可注时，乙容器恰好注满，需要调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度．

25．（本小题满分10分）如图，抛物线，点Q为顶点．

（1）无论a为何值，抛物线L总过一个定点为________；

（2）若抛物线的对称轴为直线．

①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标；

②将抛物线L向下平移k（）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若，求k的值；

（3）当时，点为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围．

26．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD的边长为3，点P是射线DA上的一点，连接CP，将CP绕点P顺时针旋转90°，得到PQ，连接CQ，AQ，设．

（1）当时，PQ交AB于点E，求AE的长；

（2）当点P在边DA上时（可与点D，A重合），求点Q经过的路径的长；

（3）若，求x的值；

（4）当时，经过AD的中点且垂直于AD的直线被截出一条线段，设这条线段的长为l，直接写出l的长．

2022年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试

数学试卷（状元卷一）参考答案

1．D【解析】等边三角形的每一个内角均为60°，由图可知该三角形有一个内角为30°，因此不可能为等边三角形，故选D．

2．D【解析】由，得；；；，故选D．

3．B【解析】第一步运算运用了法则：是积的乘方法则，故选B．

4．C【解析】根据二次根式的除法法则和二次根式商的算术平方根的性质解决问题，故选C．

5．C【解析】x的整数数位少1位为28，则x的位数为29，故选C．

6．C【解析】选项B与主视图不符合，选项D与左视图不符合，选项A与主视图、左视图不能同时符合，C选项对应的立体图如图，符合主视图和左视图，故选C．

7．A【解析】由数轴上点B的位置，可判断，则，因此，故选A．

8．D【解析】由作图痕迹可知作了的平分线并截取了，所以选项A，B可以体现，由，得，所以，所以选项C可以体现，故选D．

9．C【解析】，∴选项A，B，D不正确，C正确，故选C．

10．B【解析】∵等腰直角三角形ABC的顶点都在上，∴点O为AB的中点，，．设AB，CM交于点G，则．，

，∴，故选B．

11．D【解析】在正十二边形中，，，∴，又∵，∴，∴故选D．

12．C【解析】在中，由EF经过两条对角线的交点O，可得，在图1中由作图可得，所以图1为矩形，在图2中由作图可得，则，所以图2为平行用边形，故选C．

13．B【解析】由方差公式可知平均数为7，选项C正确，化简方差公式可得，选项A正确，∴，得，众数为7∴选项D正确，B不正确，故选B．

14．A【解析】如图，中，，∴是等边三角形，过点D作于点G，并延长交AB于点F，点G为AC中点，过点A作AE平分交DG于点E，则点E为的内心，，∵中，，∴，，，∴，，∴，点F为AB中点，点F为的外心，∴是等边三角形，∵，∴在中，，∴，故选A．

15．B【解析】关于x的一元二次方程，根的判别式为：，a，b同号时不能确保的符号为正；当时，，总有实数根；当时，，总有实数根，综上，乙和丙的条件满足，故选B．

16．C【解析】设，重叠部分的面积为y，当时，如图1，点A落在FD上，重叠的部分为长为4，宽为x的矩形AFEB，∴，当时，，即符合题意；当时，如图2，点A落在FD的延长线上，重叠的部分为五边形FEBHD，此时，，，过点D作于点G，∵，，∴，，∴，当时，或，∵，∴不符合题意，当时，如图3，点F与点D重合，点B与点C重合，重叠的部分为，，，重叠部分的面积为4，符合题意，当时，如图4，重叠的部分为，∴重叠部分的面积总小于的面积，即重叠部分的面积总小于4，不符合题意，综上所述，只有或2时，重叠部分的面积等于4，故选C．

17．．【解析】解：．

18．165°，65．【解析】（1）MO段的坡度为，，NO段的坡度为，，∴（2）如图，在中，，，∴，在中，，，∴，∴，，则这一阶梯的台阶数最少为65．

19．（1），（2）．【解析】（1）当时，，当，，∴；（2）分别交两条反比例函数图象于点A，B，的区域内（包括边界）整点有10个，只能是在AB上和原点O，∴AB上有9个整点，，，若，．

20．解：（1）（2）设佳佳所抄数字为x，根据题意可得：，解不等式得．∴佳佳所抄数字的最小值为1．

21．解：（1）， ，

．

（2）根据题意可得：，，∴，，则，∴，∵，，∴，∴矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和为．

22．解：（1）当时，；当时，；当时，；当时，；∴．

（2）列表如下：

由表知共有12种等可能结果，其中a，b都是方程的解，共有，，，这4种结果，∴P（小华获胜）．

a，b都不是方程的解，共有，这2种结果，∴P（小强获胜）．∴P（小华获胜）（小强获胜），即小华获胜的概率大．

23．解：（1）不变．（2）AM与相切．

理由：连接OA，∵四边形ABCD内接于，，

∴，∴

∵点A平分弧BD，∴，

又∵在中，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴∴∴与相切．

（3）情况一（如图），连接OG，∵在中，，

∴，∴在中，，∵，，弧CD的长为．

情况二（如图），连接OC，∵在中，，

∴，∴在中，，∵，，弧CD的长头为．

24．解：（1）∵与t成正比例，设，当时，，代入得，解得，∴．∵与t成一次函数对应关系，设，当时，，当时，，∴，解得，∴．

当时，，未注水时乙容器原有水的高度为．

（2）当时，．求得．此时的平衡高度为．∴两个容器的平衡高度为．

（3）设乙容器原有水的高度为，．当甲容器无水可注时，，可求得，将，代入中，求得．符合条件的乙容器原有水的高度为．

25．解：（1）．

【解析】因为过定点时，与a值无关，所以把，代入，得．

（2）①∵抛物线L的对称轴为直线，∴，∴抛物线的表达式为．

∵时，，∴顶点Q的坐标为；

②∵将抛物线L向下平移个单位长度，使顶点Q落在点A处，∴，，

∵，，∴，∴，∴；

（3）．【解析】当时，，开口向上，对称轴为，又∵，∴n随着m的增大而增大，∴．

26．解：（1）在正方形ABCD中，当时，，，∴．∵，∴．∴，∴．

∴，即，∴．

（2）如图1，过Q作于H，∴．∵，，

∴（AAS）．∴，∵，，∴，即，∴．∴为等腰三角形．．当点P在边DA上时（可与点D，A重合），点Q经过的路径是的平分线上的一段线段，起点为点A，终点为AQ与CB的延长线的交点．长度为．

（3）若，分两种情况：情况一：如图2，点P在点A的左侧时，由（2）可知，∴．∴．

在中，；

情况二：如图3，点P在点A的右侧时，∴．

∴．在中，；

综上所述，若，则x的值为，．

（4）．

【解析】如图4，当时，由∴，即，∴．

构造，使．∴，

∴，设，，，，

∵在中，由勾股定理得，，解得．

∵MR为的中位线，∴．

∴．