江苏省13市2021年九年级中考数学真题按题型难易度分层分类汇编：12解答题基础题二

这是一份江苏省13市2021年九年级中考数学真题按题型难易度分层分类汇编：12解答题基础题二，共32页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
12解答题基础题二
（真题来源于苏州卷，南京卷，南通卷，镇江卷，无锡卷，常州卷，盐城卷，淮安卷，徐州卷，宿迁卷，扬州卷，泰州卷，连云港卷）

一十五．菱形的判定（共2小题）
28．（2021•镇江）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝　 　°时，四边形BFDE是菱形．

29．（2021•淮安）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．

一十六．菱形的判定与性质（共1小题）
30．（2021•盐城）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件 　 　后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．

一十七．矩形的判定（共1小题）
31．（2021•连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．

一十八．圆周角定理（共1小题）
32．（2021•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

一十九．圆内接四边形的性质（共1小题）
33．（2021•苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．

二十．直线与圆的位置关系（共1小题）
34．（2021•宿迁）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD＝BD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知tan∠ODC＝，AB＝40，求⊙O的半径．

二十一．切线的判定与性质（共1小题）
35．（2021•连云港）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，连接AD、CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD是⊙C的切线；
（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．

二十二．扇形面积的计算（共1小题）
36．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．

二十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
37．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．

二十四．相似三角形的应用（共1小题）
38．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？

二十五．解直角三角形的应用（共2小题）
39．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

40．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）

二十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
41．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）

二十七．扇形统计图（共3小题）
42．（2021•无锡）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高．为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x（代号）
0＜x≤5
（A）
5＜x≤10
（B）
10＜x≤15
（C）
15＜x≤20
（D）
20＜x≤25
（E）
25＜x≤30
（F）
频数
10
a
68
c
24
6
频率
0.05
b
0.34
d
0.12
0.03

（1）表格中a＝　 　；
（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？
43．（2021•宿迁）某机构为了解宿迁市人口年龄结构情况，对宿迁市的人口数据进行随机抽样分析，绘制了尚不完整的统计图表：
人口年龄结构统计表
类别
A
B
C
D
年龄（t岁）
0≤t＜15
15≤t＜60
60≤t＜65
t≥65
人数（万人）
4.7
11.6
m
2.7
根据以上信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查，共调查了 　 　万人；
（2）请计算统计表中m的值以及扇形统计图中“C”对应的圆心角度数；
（3）宿迁市现有人口约500万人，请根据此次抽查结果，试估计宿迁市现有60岁及以上的人口数量．

44．（2021•扬州）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：

抽样调查各类喜欢程度人数统计表
喜欢程度
人数
A．非常喜欢
50人
B．比较喜欢
m人
C．无所谓
n人
D．不喜欢
16人
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 　 　；
（2）扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为 　 　°，统计表中m＝　 　；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）．
二十八．条形统计图（共3小题）
45．（2021•常州）为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．
（1）本次调查的样本容量是 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．

46．（2021•苏州）某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 　 　名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占 　 　%；
（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？
47．（2021•连云港）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是　 　°；
（3）这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为　 　．
二十九．折线统计图（共1小题）
48．（2021•泰州）近5年，我省家电业的发展发生了新变化．以甲、乙、丙3种家电为例，将这3种家电2016～2020年的产量（单位：万台）绘制成如图所示的折线统计图，图中只标注了甲种家电产量的数据．

观察统计图回答下列问题：
（1）这5年甲种家电产量的中位数为 　 　万台；
（2）若将这5年家电产量按年份绘制成5个扇形统计图，每个统计图只反映该年这3种家电产量占比，其中有一个扇形统计图的某种家电产量占比对应的圆心角大于180°，这个扇形统计图对应的年份是 　 　年；
（3）小明认为：某种家电产量的方差越小，说明该家电发展趋势越好．你同意他的观点吗？请结合图中乙、丙两种家电产量变化情况说明理由．
三十．中位数（共1小题）
49．（2021•南京）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表：
序号
1
2
…
25
26
…
50
51
…
75
76
…
99
100
月均用水量/t
1.3
1.3
…
4.5
4.5
…
6.4
6.8
…
11
13
…
25.6
28
（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？
三十一．方差（共1小题）
50．（2021•南通）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号
1
2
3
4
5
6
7
甲种西瓜（分）
75
85
86
88
90
96
96
乙种西瓜（分）
80
83
87
90
90
92
94

甲、乙两种西瓜得分统计表

平均数
中位数
众数
甲种西瓜
88
a
96
乙种西瓜
88
90
b
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）从方差的角度看，　 　种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
三十二．列表法与树状图法（共3小题）
51．（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
52．（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是 　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．

53．（2021•连云港）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 　 　；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
三十三．游戏公平性（共1小题）
54．（2021•苏州）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 　 　；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）




【参考答案】
一十五．菱形的判定（共2小题）
28．（2021•镇江）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝　10　°时，四边形BFDE是菱形．

【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，
理由如下：∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1＝30°，∠2＝20°，
∴∠ABD＝∠1﹣∠2＝10°，
∵∠ABE＝10°，
∴∠DBE＝20°，
∴∠DBE＝∠2＝20°，
∴BE＝DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为10．
29．（2021•淮安）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．

【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
一十六．菱形的判定与性质（共1小题）
30．（2021•盐城）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件 　②　后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．

【解析】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，
∴DE∥AC，且DE＝＝AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）证明：选②AE平分∠BAC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF为平行四边形，
∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③AB＝AC，
∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
一十七．矩形的判定（共1小题）
31．（2021•连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
一十八．圆周角定理（共1小题）
32．（2021•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

【解析】证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．

一十九．圆内接四边形的性质（共1小题）
33．（2021•苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴AD＝DC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：过点D作DM⊥BE于M，
∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，
∴BE＝BC+EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME＝BE＝5，
∴CM＝BC﹣BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，
∴∠2＝30°，
∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，
∴tan∠DCB＝＝．

二十．直线与圆的位置关系（共1小题）
34．（2021•宿迁）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD＝BD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知tan∠ODC＝，AB＝40，求⊙O的半径．

【解析】解：（1）直线CD与⊙O相切，
理由如下：如图，连接OC，

∵OA＝OC，CD＝BD，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACO+∠DCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）∵tan∠ODC＝＝，
∴设CD＝7x＝DB，OC＝24x＝OA，
∵∠OCD＝90°，
∴OD＝＝＝25x，
∴OB＝32x，
∵∠AOB＝90°，
∴AB2＝AO2+OB2，
∴1600＝576x2+1024x2，
∴x＝1，
∴OA＝OC＝24，
∴⊙O的半径为24．
二十一．切线的判定与性质（共1小题）
35．（2021•连云港）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，连接AD、CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD是⊙C的切线；
（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．

【解析】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△BAC≌△DAC（SAS），
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴CD⊥AD，
即AD是⊙C的切线；
（2）解：由（1）可知，∠EDC＝∠ABC＝90°，
又∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA．
∵S△EDC＝2S△ABC，且△BAC≌△DAC，
∴S△EDC：S△EBA＝1：2，
∴DC：BA＝1：．
∵DC＝CB，
∴CB：BA＝1：．
∴tan∠BAC＝＝．
二十二．扇形面积的计算（共1小题）
36．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．

【解析】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；


（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF＝，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE
＝
＝．
二十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
37．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．

【解析】（1）证明：连接OC，

∵PC2＝PA•PB，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，PO＝2.5PA，
∵OC⊥PC，
∴PC＝＝2PA，
∵△PAC∽△PCB，
∴＝＝＝．
二十四．相似三角形的应用（共1小题）
38．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？

【解析】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
二十五．解直角三角形的应用（共2小题）
39．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【解析】解：（1）过点D作DF⊥BC于F，

∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，
∴FC＝CD×cos60°＝50×＝25（cm），
∴FA＝AB+BC﹣CF＝84+54﹣25＝113（cm），
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm；
（2）如图3，过点C作CG垂直于地面于点G，过点B作BN⊥CG于N，过点D作DM⊥CG于M，

∵BC＝54cm，
∴CN＝BC×cos20°＝54×0.94＝50.76（cm），
∴MN＝CN+MG﹣CG＝50.76+90﹣50.76﹣84＝6（cm），
∴CM＝CN﹣MN＝44.76（cm），
∴CD＝＝≈58（cm），
答：CD的长为58cm．
40．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）

【解析】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：

∵∠BCD＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
设CE＝x，则BE＝x，
∵CD＝80m，
∴DE＝（80﹣x）m，
Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'＝，即＝1.5，
解得x＝48（m），
∴BE＝CE＝48m，
Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，
∴tan19°17'＝，即＝0.35，
解得AC＝28m，
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，
∴BF＝BE﹣EF＝20m，
Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m），
答：A，B两点之间的距离是52m．
二十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
41．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）

【解析】解：如图，过点C、B分别作CE⊥DG，BF⊥DG垂足为E、F，延长CB交AG于点H，
由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，
在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，
∴BH＝AB＝25（m）＝FG，
在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，
∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），
∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4≈114（m），
答：山顶D的高度约为114m．

二十七．扇形统计图（共3小题）
42．（2021•无锡）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高．为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x（代号）
0＜x≤5
（A）
5＜x≤10
（B）
10＜x≤15
（C）
15＜x≤20
（D）
20＜x≤25
（E）
25＜x≤30
（F）
频数
10
a
68
c
24
6
频率
0.05
b
0.34
d
0.12
0.03

（1）表格中a＝　42　；
（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？
【解析】解：（1）a＝200×21%＝42（人），
故答案为：42；
（2）b＝21%＝0.21，
C组所占的百分比：0.34＝34%，
D组所占的百分比是：d＝1﹣0.05﹣0.21﹣0.34﹣0.12﹣0.03＝0.25＝25%，
扇形统计图补充完整如图：
；
（3）估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1500×（0.34+0.25+0.12+0.03）＝1110（人）．
答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人．
43．（2021•宿迁）某机构为了解宿迁市人口年龄结构情况，对宿迁市的人口数据进行随机抽样分析，绘制了尚不完整的统计图表：
人口年龄结构统计表
类别
A
B
C
D
年龄（t岁）
0≤t＜15
15≤t＜60
60≤t＜65
t≥65
人数（万人）
4.7
11.6
m
2.7
根据以上信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查，共调查了 　20　万人；
（2）请计算统计表中m的值以及扇形统计图中“C”对应的圆心角度数；
（3）宿迁市现有人口约500万人，请根据此次抽查结果，试估计宿迁市现有60岁及以上的人口数量．

【解析】解：（1）本次抽样调查，共调查的人数是：11.6÷58%＝20（万人），
故答案为：20；
（2）“C”的人数有：20﹣4.7﹣11.6﹣2.7＝1（万人），
∴m＝1，
扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为×360°＝18°．
答：统计表中m的值是1，扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为18°；
（3）500×＝92.5（万人）．
答：估计宿迁市现有60岁及以上的人口数量约92.5万人．
44．（2021•扬州）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：

抽样调查各类喜欢程度人数统计表
喜欢程度
人数
A．非常喜欢
50人
B．比较喜欢
m人
C．无所谓
n人
D．不喜欢
16人
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 　200　；
（2）扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为 　90　°，统计表中m＝　94　；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）．
【解析】解：（1）16÷8%＝200，
则样本容量是200；
故答案为：200．
（2）×360°＝90°，
则表示A程度的扇形圆心角为90°；
200×（1﹣8%﹣20%﹣×100%）＝94，
则m＝94；
故答案为：90；94．
（3）＝1440（名），
∴该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动．
二十八．条形统计图（共3小题）
45．（2021•常州）为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．
（1）本次调查的样本容量是 　100　；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．

【解析】解：（1）55÷55%＝100，
故答案为：100；
（2）完全了解的人数为：100×30%＝30（人），
较少了解的人数为：100﹣30﹣55﹣5＝10（人），
补全条形统计图如下：

（3）估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为：2000×30%＝600（人），
答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为600人．
46．（2021•苏州）某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 　50　名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占 　10　%；
（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？
【解析】解：（1）参加问卷调查的学生人数为＝50（名），
剪纸的人数有：50﹣15﹣10﹣5＝20（名），补全统计图如下：
故答案为：50；

（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生所占的百分比是：×100%＝10%．
故答案为：10；

（3）1000×＝200（名），
答：估计选择“刺绣”课程的学生有200名．
47．（2021•连云港）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是　108　°；
（3）这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为　500　．
【解析】解：（1）抽样调查的总人数：240÷40%＝600（人），
喜欢B种粽子的人数为：600﹣240﹣60﹣180＝120（人），
补全条形统计图，如图所示；
（2）×100%＝30%，
360°×30%＝108°，
故答案为：108；
（3）1﹣40%﹣10%﹣30%＝20%，
2500×20%＝500（人），
故答案为：500．

二十九．折线统计图（共1小题）
48．（2021•泰州）近5年，我省家电业的发展发生了新变化．以甲、乙、丙3种家电为例，将这3种家电2016～2020年的产量（单位：万台）绘制成如图所示的折线统计图，图中只标注了甲种家电产量的数据．

观察统计图回答下列问题：
（1）这5年甲种家电产量的中位数为 　935　万台；
（2）若将这5年家电产量按年份绘制成5个扇形统计图，每个统计图只反映该年这3种家电产量占比，其中有一个扇形统计图的某种家电产量占比对应的圆心角大于180°，这个扇形统计图对应的年份是 　2020　年；
（3）小明认为：某种家电产量的方差越小，说明该家电发展趋势越好．你同意他的观点吗？请结合图中乙、丙两种家电产量变化情况说明理由．
【解析】解：（1）这5年甲种家电产量从小到大排列为：466，921，935，1035，1046，
∴这5年甲种家电产量的中位数为935万台，
故答案为：935；
（2）由折线统计图得，2020年甲、丙2种家电产量和小于乙种家电产量，
∴2020年的扇形统计图的乙种家电产量占比对应的圆心角大于180°，
故答案为：2020；
（3）不同意小明的观点，
理由：由折线统计图得，丙种家电的方差较小，但丙种家电的产量低，而且是下降趋势，乙种家电的方差较大，但乙种家电的产量高，而且是上升趋势，
∴不同意小明的观点．
三十．中位数（共1小题）
49．（2021•南京）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表：
序号
1
2
…
25
26
…
50
51
…
75
76
…
99
100
月均用水量/t
1.3
1.3
…
4.5
4.5
…
6.4
6.8
…
11
13
…
25.6
28
（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？
【解析】解：（1）共有100个数，按大小顺序排列后第50，51个数据分别是6.4，6.8，所以中位数为：（6.4+6.8）÷2＝6.6；
已知这组数据的平均数为9.2t，
∴从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费，
答：这组数据的中位数是6.6；
（2）∵100×75%＝75，
第75个家庭去年的月均用水量为11t，
所以为了鼓励节约用水，要使75%的家庭水费支出不受影响，即要使75户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为11t．
答：这个标准应该定为11t．
三十一．方差（共1小题）
50．（2021•南通）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号
1
2
3
4
5
6
7
甲种西瓜（分）
75
85
86
88
90
96
96
乙种西瓜（分）
80
83
87
90
90
92
94

甲、乙两种西瓜得分统计表

平均数
中位数
众数
甲种西瓜
88
a
96
乙种西瓜
88
90
b
（1）a＝　88　，b＝　90　；
（2）从方差的角度看，　乙　种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
【解析】解：（1）将甲种西瓜的得分从小到大排列，处在中间位置的一个数是88，因此中位数是88，即a＝88，
乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即b＝90，
故答案为：88，90；
（2）由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得s甲2＞s乙2，
∴乙种西瓜的得分较稳定，
故答案为：乙；
（3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．
乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．
三十二．列表法与树状图法（共3小题）
51．（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【解析】解：画树状图得：

共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为＝．
52．（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是 　　；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．

【解析】解：（1）∵丙坐了一张座位，
∴甲坐在①号座位的概率是；
（2）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，甲与乙两人恰好相邻而坐的结果有4种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为．
53．（2021•连云港）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 　　；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【解析】解：（1）∵已确定甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中乙的只有1种，
∴恰好选中乙的概率为：．
故答案为：．
（2）画树状图如下图：

共有12种等可能的结果数，其中恰好有1名女生和1名男生的结果数为8，
∴P（1女1男）＝＝．
∴所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．
三十三．游戏公平性（共1小题）
54．（2021•苏州）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 　　；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【解析】解：（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：

0
1
﹣2
3
0

1
﹣2
3
1
﹣1

﹣3
2
﹣2
2
3

5
3
﹣3
﹣2
﹣5

由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，
∴此游戏公平．