江苏省无锡市滨湖区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 若分式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是

A. 调查某品牌白炽灯的使用寿命
B. 对新冠病毒密切接触者的检测
C. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
D. 调查八年级某班学生的视力情况

4. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值

A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 扩大倍

5. 要想了解万名考生的数学成绩，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是

A. 这名考生是总体的一个样本 B. 每位考生的数学成绩是个体
C. 万名考生是总体 D. 名考生是样本的容量

6. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是

A. 对边相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等

7. 如图，有一个平行四边形和一个正方形，其中点在边上．若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，菱形的对角线、交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到当点与点重合时，点与点之间的距离为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的度数是

A.  B.  C.  D.

10. 一次数学活动课上，聪明的王同学利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论推导出“式子”的最小值．则这个最小值是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

11. 当______时，分式的值为零．
12. 一次数学测试后，某班名学生的成绩被分为组，第组的频数分别为、、、，则第组的频率为______．
13. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有、、、、、六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是的概率是______．
14. 如图，在菱形中，与相交于点，点是的中点，，则菱形的周长是______．

15. 关于的方程有增根，则增根是______；且的值是______．
16. 用反证法证明命题“同位角不相等时，两直线不平行”，应假设：______．
17. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处，若，则______．

18. 如图，平面直角坐标系中正方形的顶点，，过作轴交于点，连接，则的周长是______．

三．解答题（本题共9小题，共76分）

19. 计算：；
    解方程：；
20. 先化简，再求值，其中．
21. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格图中有两个格点、注：网格线交点称为格点
    请在图中确定格点和，使得平行四边形的面积为．
    请用无刻度的直尺在图中以为一边画一个面积为的矩形不要求写画法，但要保留画图痕迹，并标注相应的字母

22. 某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择．为了估计全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查规定每人必须并且只能选择其中的一个项目，并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
    
    参加这次调查的学生有______人，并根据已知数据补全条形统计图；
    求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数；
    若该校共有名学生，试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人？
23. 如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求菱形的面积．

24. 如图，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于点．
    求证：；
    求的度数．
     

25. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液．经了解，每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多元，该单位分别用元和元采购相同桶数的甲、乙两种消毒液．
    求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
    由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数的，由于是第二次购买，商家给予九折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？
26. 在平面直角坐标系中，已知线段其中，，平移线段到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点．
    若点的坐标为，则点的坐标是______；
    若点在轴的正半轴上，点在第三象限且四边形的面积为，求点的坐标．

27. 如图在矩形中，，，动点从出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向运动，连接，以为边向上作正方形设点的运动时间为秒．
    当点恰好落在边上时，求的值；
    如图，与边交于点，当时，求的值；
    当点从点运动到点时，求点的运动路径长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与原图形重合．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
根据分式有意义的条件可得 ，再解即可．
【解答】
解： 分式 有意义，
．
解得： ．
故选： ．   

3.【答案】

【解析】解：调查某品牌白炽灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项符合题意；
B.对新冠病毒密切接触者的检测，适合全面调查普查，故本选项不合题意；
C.调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，适合全面调查普查，故本选项不合题意；
D.调查八年级某班学生的视力情况，适合全面调查普查，故本选项不合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

4.【答案】

【解析】如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值不变，
故选：．
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为的整式，结果不变，可得答案．
本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为的整式，结果不变．
 

5.【答案】

【解析】解：这名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误；
B.每位考生的数学成绩是个体，此选项正确；
C.万名考生的数学成绩是总体，此选项错误；
D.是样本的容量，此选项错误；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

6.【答案】

【解析】解：矩形的性质有：矩形的对边平行且相等，
矩形的四个角都是直角，
矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的性质有：菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
菱形的对角相等，
菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：．
根据矩形和菱形的性质逐个判断即可．
本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
平行四边形对角相等．
故选：．
由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
沿点到点的方向平移，得到，点与点重合，
，，，
，
，
故选：．
由菱形的性质得出，，，由平移的性质得出，，，得出，由勾股定理即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，且，
，
又，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数
本题主要考查矩形性质、等腰三角形的性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，
矩形的周长是；
当矩形成为正方形时，就有，
解得，
这时矩形的周长最小，
因此的最小值是．
故选：．
根据题意可得当矩形成为正方形时，就有，依此求出所求式子的最小值即可．
此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：根据题意，要使分式成立，
必有且；
解可得；
故答案为．
根据分式为的条件，可得且；解可得答案．
若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

12.【答案】

【解析】解：第组的频数：，
第组的频率：，
故答案为：．
首先计算出第组的频数，再计算频率即可．
此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率的计算方法：频数总数频率．
 

13.【答案】

【解析】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有种可能，
所以这个骰子向上一面的数字是的概率是，
故答案为：．
由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为、、、、、，共有种可能，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数是的概率．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，
点是的中点，
，
，
，
菱形的周长是：，
故答案为：．
根据菱形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，进而得到长，然后可算出菱形的周长．
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，四边相等，此题难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
方程有增根，
，
把代入中，
，
解得：，
关于的方程有增根，则增根是，且的值是，
答案为：；．
根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】同位角不相等，两条直线平行

【解析】解：用反证法证明命题“同位角不相等时，两直线不平行”，应假设：同位角不相等，两条直线平行，
故答案为：同位角不相等，两条直线平行．
根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
将▱沿对角线折叠，
，
，
故答案为：．
由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，即可求解．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：过点作轴于点，

，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
又，
≌，
，，
，
，
轴，
四边形为矩形，
，
，
，，，
≌，
，
的周长为．
故答案为：．
过点作轴于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，求出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出的周长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；

，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是．

【解析】根据分式的减法法则进行计算即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了分式的减法和解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行计算是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，原式．

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

21.【答案】解：如图中，平行四边形即为所求；
如图中，矩形即为所求．
 

【解析】画一个底为，高为的平行四边形即可；
作正方形，取格点，连接交网格线与于点，取格点，连接交于点目的使得，同法作出，使得，连接即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】

【解析】解：参加这次调查的学生有：人，
羽毛球的人数有：人，补全统计图如下：

故答案为：；

“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数是：；

根据题意得：
人，
答：估计该校选择“足球”项目的学生有人．
根据乒乓球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它项目的人数求出羽毛球的人数，从而补全统计图；
用乘以篮球”项目所占的百分比即可；
用该校的总人数乘以选择“足球”项目的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

23.【答案】解：证明：四边形是菱形
，，
又，
，，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
中，，
，
，
设，，
由题意得，
解得负值舍去，
，
四边形是平行四边形，
，
菱形的面积．

【解析】根据菱形的对边平行且相等可得，，然后证明得到，，从而证明四边形是平行四边形；
欲求菱形的面积，已知，只需求得的长度即可利用平行四边形以及菱形的性质可得，再利用勾股定理可求出的长度最后利用菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
本题综合考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理的运用．证明出四边形是平行四边形是解题的关键．
 

24.【答案】证明：在正方形中，，，
在和中
，
≌，
，
，
，
；
在正方形中，，
，
由知，≌，
，
，
，
对顶角相等，
，
即．

【解析】先证出≌，得，由于，得；
由≌，得，进而得，最后得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确寻找全等三角形的条件是解题的关键．
 

25.【答案】解：设乙种消毒液的零售价是元桶，甲种消毒液的零售价是元桶，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种消毒液的零售价是元桶，乙种消毒液的零售价是元桶．
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，
依题意得：，
解得：．
设所需资金总额为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：当甲种消毒液购买桶时，所需资金总额最少，最少总金额是元．

【解析】设乙种消毒液的零售价为元桶，则甲种消毒液的零售价为元桶，根据数量总价单价，结合该单位以零售价分别用元和元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买甲种消毒液桶，则购买乙种消毒液桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额甲种消毒液的批发价购进数量乙种消毒液的批发价购进数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

26.【答案】

【解析】解：如图，点向左平移个单位再向下平移个单位端点，．
故答案为：；


如图，设，则．

由题意，
解得，

点向左平移个单位再向下平移个单位端点，由此可得结论；
如图，设，则构建方程求出即可．
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用面积法构建方程求解．
 

27.【答案】解：当点在上时，如图，

矩形，
，
，，
正方形，
，，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
动点从出发，以每秒个单位的速度，
；
连接，如图，

正方形，矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
动点从出发，以每秒个单位的速度，
；
如图，以为边作正方形，连接，，过点作，交于点，

四边形是正方形，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
≌，
，，
，
平分，
点在的角平分线上运动，点的运动路径长为的长，即的长，
当点与点重合时，点与点重合，
当点与点重合时，如图，

，
，
，
，
点的运动路径长为．

【解析】由“”可证≌，可得，可求的长，即可求解；
由“”可证≌，可得，由勾股定理可求的长，即可求解；
由“”可证≌，可得，，则点在的角平分线上运动，点的运动路径长为的长，即的长，即可求解．
本题四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．