黑龙江省大庆市大庆中学2022届高三第二次模拟数学（理）试题

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黑龙江省大庆市大庆中学2022届高三第二次模拟数学（理）试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知集合，则的元素个数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．已知复数，则的虚部是（       ）

A． B． C．1 D．i

3．在空间中，已知命题的三个顶点到平面的距离相等且不为零，命题：平面平面，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知数列{an}是首项为，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足，则S9=（　　）

A．35 B．40 C．45 D．50

5．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种新冠疫苗是预防新冠病毒感染､降低新冠肺炎发病率和重症率的有效手段.已知新冠病毒的基本传染数，若1个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为，为了有效控制新冠疫情（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为（       ）

A． B． C． D．

6．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（       ）

A． B． C． D．3

7．设，若，，，则（       ）

A． B． C． D．

8．已知函数，若，则实数的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

9．西安中学抗疫志愿者小分队中有3名男同学，2名女同学，现随机选派2名同学前往社区参加志愿服务活动，在已知抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是（       ）

A． B． C． D．

10．已知的展开式中所有项的系数之和为，则该展开式中项的系数是（       ）

A． B． C． D．

11．关于函数f（x）＝|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：

①f（x）的值域为[﹣1，2]；

②f（x）在上单调递减；

③f（x）的图象关于直线x＝对称；

④f（x）的最小正周期为π.

上述结论中，不正确命题的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．已知函数在处的切线方程为，不等式恒成立，则的最大值为（       ）

A．1 B． C．2 D．e

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．抛物线的准线方程是____________________．

14．已知函数为上的奇函数，则实数______________________．

15．已知实数满足约束条件，则的最大值为_____________________．

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C相交于A，B两点，且点A在x轴上方，若，，则双曲线C的离心率的取值范围是______．

17．在中，.

(1)求的大小；

(2)若，证明：.

18．随着2022年北京冬奥会的成功举办，吉祥物“冰墩墩”成为现象级“顶流”，憨态可掬的大熊猫套着冰晶外壳，“萌杀”万千网友.奥林匹克官方旗舰店“冰墩墩”一再售罄，各冬奥官方特许商店外排起长队，“一墩难求”，成了冬奥赛场外的另一场冰雪浪漫和全民狂欢.某商家将6款基础款的冰墩墩，随机选取3个放在一起组成一个盲盒进行售卖.该店2021年1月到11月盲盒的月销售量如下表所示：

(1)求出月销售量（万个）与月份数的回归方程，并预测12月份的销量；

(2)小明同学想通过购买盲盒集齐6款基础款冰墩墩，为此他购买了2个盲盒，设为这2个盲盒中不同款冰墩墩的个数，求的分布列以及期望.

参考公式及数据：回归直线的方程是，则.

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱PB中点.

（1）求证：平面PCD；

（2）设点N是线段CD上一动点，且DN＝λDC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值.

20．椭圆的左顶点为，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.

21．已知函数.

（Ⅰ）当时，求在上的最值；

（Ⅱ）若对一切，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

22．如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的心型曲线的极坐标方程为为曲线上一动点，曲线的参数方程为为参数，.

(1)若与交于三点，证明：为定值；

(2)射线逆时针旋转后与交于点，求的最大值.

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

解对数不等式求集合B，再应用集合的交运算写出的元素，即知元素的个数.

【详解】

由题设，

所以，共有3个元素.

故选：A

2．C

【解析】

求出，即可得出，求出虚部.

【详解】

，，其虚部是1.

故选：C.

3．B

【解析】

【分析】

由线面平行的性质结合平面与平面的位置关系判断即可.

【详解】

当平面平面时，的三个顶点到平面的距离相等且不为零；

当的三个顶点到平面的距离相等且不为零时，平面可能与平面相交，例如当平面且的中点在平面内时，的三个顶点到平面的距离相等且不为零，但平面与平面相交.

即是的必要不充分条件

故选：B

4．C

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式基本量计算出，进而利用等差数列求和公式及等差中项计算出结果.

【详解】

，则，即，即，所以.

故选：C

5．A

【解析】

【分析】

根据已知条件建立不等式关系，然后将代入化简即可求出的范围

【详解】

为了使1个感染者传染人数不超过1，

只需，即，

所以，

由题意得，所以，

，得，

所以疫苗的接种率至少为，

故选：A

6．A

【解析】

【分析】

根据向量数量积的定义及运算性质即得．

【详解】

∵，，且与的夹角为，

∴，

∴，

∴．

故选：A.

7．C

【解析】

【分析】

利用对数函数的性质即得.

【详解】

∵，

∴，，，

∴.

故选：C.

8．C

【解析】

【分析】

由题可得或，即求.

【详解】

∵函数，，

∴或，

解得.

故选：C.

9．C

【解析】

【分析】

利用条件概率求解.

【详解】

解：从3名男同学和2名女同学，随机选派2名共有种方法，

含有1名志愿者是女同学有种方法，

所以含有1名志愿者是女同学的概率是，

2名志愿者都是女同学有种方法，

所以2名志愿者都是女同学的概率是，

所以在抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是，

故选：C

10．B

【解析】

【分析】

分析可知，求出的值，写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】

的展开式中所有项的系数之和，解得.

的展开式通项为，

令，解得，

因此，展开式中项的系数为.

故选：B.

11．A

【解析】

【分析】

化简可得，令，结合的性质依次讨论即可.

【详解】

，

令，则，

在单调递增，，

所以的值域为，故①正确；

当，单调递减，令，则，在单调递增，在上单调递减，故②正确；

，，即，

的图象不关于直线对称，故③错误；

，且的最小正周期为，的最小正周期为，故④正确.

故不正确的命题有1个.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是将函数化简为.

12．A

【解析】

【分析】

根据函数在处的切线方程为，结合导数的几何意义求得，不等式恒成立，即，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案.

【详解】

解：，

因为函数在处的切线方程为，

所以，解得，

所以，

则，

令，

则，

所以函数在上递增，

又，

则存在，使得，

即存在，使得，

则，故，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

又因为不等式恒成立，

所以，

所以的最大值为1.

故选：A.

13．

【解析】

【分析】

先将抛物线方程化为标准方程，然后可求出，从而可求出准线方程

【详解】

抛物线的标准方程为，

所以，得，

所以抛物线的准线方程为，

故答案为：

14．1

【解析】

【分析】

利用奇函数的性质有，列方程求参数a即可.

【详解】

由题设，

所以，可得.

故答案为：1

15．1

【解析】

【分析】

画出可行域，根据目标式的几何意义判断最大时对应直线所过的点，即可求最大值.

【详解】

由约束条件可得如下可行域，

要使目标式最大，即其所在直线在y轴上的截距最大，

由图知：当过与的交点时最大，

所以.

故答案为：

16．

【解析】

【分析】

根据双曲线以及直线的对称性可得四边形是矩形，然后根据焦点三角形的边的关系列出不等关系进行求解.

【详解】

因为且互相平分，所以四边形是矩形.

在直角三角形中，，所以，故

当时，，当则

由双曲线定义知，又因为,可得，解得或(舍去)

故答案为:

17．(1)；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tanB即可求出B；

(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．

(1)

在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴；

(2)

∵，∴．

由余弦定理得①，

∵，∴②，

将②代入①，得，

整理得，∴．

18．(1)，预计12月份的销量为万个；

(2)分布列见解析，

【解析】

【分析】

（1）首先求出，，根据参考数据和回归方程的系数公式，算出，即可得回归直线方程，再将代入回归直线方程即可预测12月份的销量；

（2）的可能取值为、、、，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．

(1)

解：依题意，，所以，所以，所以月销售量（万个）与月份数的回归方程为，当时，预计12月份的销量为万个；

(2)

解：依题意的可能取值为、、、，则，，，，

所以的分布列为：

所以

19．（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据可得；

（2）表示出，求得平面的一个法向量，由即可求得最大值.

【详解】

（1） PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，则可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，

则，即，令，则，即，

，，且平面PCD ，平面PCD；

（2）可得，

，

，

易得平面的一个法向量，

设直线MN与平面PAB所成的角为，

则，

则当时，即时，最大，

所以当直线MN与平面PAB所成的角最大时.

【点睛】

思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

20．(1)；

(2)或

【解析】

【分析】

（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；

（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长，由求出，即可求得直线的方程.

(1)

由题意知：，则，故椭圆的方程为；

(2)

设，又，故，又直线经过点，故的方程为，

联立椭圆方程可得，显然，，

则，

又，由，可得，

解得或，

故直线的方程为或.

21．（Ⅰ）最大值1，最小值；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）当时， 求得函数的导数，得到函数的单调性和最值，即可求解；

（Ⅱ）由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值，结合导数对分类讨论求，最后结合函数的单调性和性质，即可求解.

【详解】

（Ⅰ）由函数，则，

当时， 可得

令，即，解得；

令，即，解得；

所以在递增，在递减，所以，

又，所以，

所以在上的最大值为1，最小值为.

（Ⅱ）由函数，则，解得，

又由，

因为，则，可得，

所以，

（i）当时，，所以在递增，

所以恒成立；

（ii）当时，

当时，单调递增；当时，单调递减，

所以，，，

所以，使得，

所以当时，；当是，，

所以在单调递减，在单调递增，

又因为，

所以，所以，即实数的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，以及三角函数的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

22．(1)2

(2)

【解析】

【分析】

（1）写出的极坐标方程，代入即可证明；

（2）设出的极坐标方程，代入，再利用辅助角公式即可

(1)

曲线的极坐标方程为和.

设.

.

(2)

设,则.

当,即,等号成立.

所以的最大值为.

23．（1）.（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

【详解】

（1）[方法一]：绝对值的几何意义法

当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

   当时，．

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得．

综上，的解集为．

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，

,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.

[方法三]：分类讨论+分段函数法

 当时，

则，此时，无解．

当时，

则，此时，由得，．

综上，a的取值范围为．

[方法四]：函数图象法解不等式     

由方法一求得后，构造两个函数和，

即和，

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，

由图易知，则．

【整体点评】

（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．

方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，

方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；

（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；

方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法

方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；

方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.