模拟卷03-2022年高考数学仿真预测模拟试题（新高考专用）

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2022年(新高考)全国卷数学高考全真模拟试题本试卷共22小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，，则(    )．A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接由交集的运算求解即可.【详解】.故选：D【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.2. 已知复数，为z的共轭复数，则＝(    )A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由复数，得到，进而得到，根据复数的除法运算法则，即可求解.【详解】由题意，复数，可得，则.故选：B.3. 在边长为2的等边中，，则=(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，判定N为BC的靠近C的四等分点，得到在上的投影向量的数量，进而根据向量的数量积与向量的投影的数量的关系的到所求向量的数量积.【详解】，∴N为BC的靠近C的四等分点，如图所示，取BC的中点O,连接AO,则AO⊥BC,∴在上的投影向量为,∴，故选：C4.设，则“”是“”的(　　)A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.   5.已知两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是(    )A. 若，，且，则B. 若，，且，则C. 若，，且，则D. 若，，且，则【答案】A【解析】【分析】根据线、面垂直平行的关系，利用空间想象和相关定理作出注意逐一即可.【详解】解：若，，且，则，故A正确；若，，且，则与平行或相交，故B错误；若，，且，则与平行或相交，所以C错误；若，，则，又由，则，故D错误.故选A.6.某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为(    )A. 60 B. 70 C. 80 D. 90【答案】C【解析】【分析】先由题意，求出数学成绩小于等于90分对应的概率，根据正态分布的对称性，即可求出数学成绩大于等于120分的概率，从而可得出排名.【详解】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，则数学成绩小于等于90分对应的概率约为，又数学考试成绩近似服从正态分布，所以，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为人，因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.故选：C.7. 已知数列满足，，，且是等比数列，则(    )A. 376 B. 382 C. 749 D. 766【答案】C【解析】【分析】利用累加法求出通项，然后利用等比数列的求和公式，求解即可【详解】由已知得，，，而是等比数列，故，，，化简得，故选：C8.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是(    )A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9. 已知双曲线，则下列说法正确的是(    )A. 双曲线的离心率         B. 双曲线的渐近线方程为C. 双曲线的焦距为         D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为【答案】AB【解析】【分析】根据双曲线的方程得到a,b的值，并根据a,b,c的平方关系求得c的值，根据离心率的定义求得e的值，根据a,b的值写出渐近线方程，根据c的值计算焦距2c的值，利用点到直线的距离公式求得焦点到渐近线的距离，然后与各选择支对照，得出正确答案.【详解】由双曲线的方程可得，这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，,渐近线方程为,整理得,双曲线的焦距为,焦点,焦点到渐近线的距离为,故AB正确，CD错误，故选：AB.10.一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是(    )A. X的所有可能取值是3，4，5 B. X最有可能的取值是5C. X等于3的概率为 D. X的数学期望是【答案】ACD【解析】【分析】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5，然后求出其对应的概率，从而可求出数学期望，进而可得结果【详解】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5；，，又X最有可能的取值是4，．故选：ACD．11.已知函数，下列关于该函数结论正确的是(    )A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是C. 的最大值为2 D. 是区间上的增函数【答案】ABD【解析】【分析】利用以及诱导公式即可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用复合函数的单调性可判断D.【详解】由，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，所以的最大值为，当时，，取得最大值，所以的最大值为，故C不正确；对于D，在区间上是增函数，且，所以在区间上是增函数；在区间上是减函数，且，所以在区间上是增函数，故D正确；故选：ABD12. 设数列，若存在常数，对任意正数，总存在正整数，当，有，则数列为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有(    )A. 等差数列不可能是收敛数列B. 若等比数列是收敛数列，则公比C. 若数列满足，则是收敛数列D. 设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列前和公式以及收敛数列定义可判断A；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B；根据收敛的定义可判断C；根据等差数列前和公式以及收敛数列的定义可判断D.【详解】当时，取，为使得，所以只需要.对于A，令，则存在，使，故A错；对于B，，若，则对任意正数，当时， ，所以不存在正整数使得定义式成立，若，显然符合；若为摆动数列，只有两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若，取，，当时，，故B正确；对于C，，符合；对于D，，，当时，单调递增并且可以取到比更大的正数，当时，，同理，所以D正确.故选：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 数列中，，，则的前21项和=_________．【答案】651【解析】【分析】由题意可得数列是等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可【详解】解：因为数列中，，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以，故答案为：65114. 抛物线的准线截圆所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为_________．【答案】(1，0)【解析】【分析】根据标准方程写出准线方程，化圆的一般方程为标准形式，得出圆心和半径，利用弦长公式得到关于p的方程，求得p的值，进而得到焦点坐标.【详解】抛物线的准线为，把圆化成标准方程为，得圆心，半径，圆心到准线的距离为，所以，即，所以焦点坐标． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，为边上的中线，若且，则_______，中线的长为_______.【答案】    (1).     (2). 【解析】分析】利用平行四边形法则可得，由，整理可得，利用向量数量积可求；将两边平方即可求解.【详解】为边上的中线，， ，，即，，，.由得，又，.故答案为：；16. 在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】根据条件底面面积最大时得到高的范围，再根据得到，利用单调性可求得最值.【详解】，，故底面三角形外接圆半径为， ，，当时等号成立，由，，，当离平面最远时，外接球表面积最小，此时，在平面的投影为中点，设球心为，则在上，故，化简得到，注意到函数在上单调递增，故，所以．故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：设是数列的前n项和，且，______________，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】选①，，存在最大值，且最大值为4；选②，，存在最大值，且最大值为50；选③，，不存在最大值，理由见解析．【解析】【分析】选①先判断是首项为4，公比为的等比数列，再求，最后分为奇数和为偶讨论，分别判断存在最大值并求出最大值即可；选②先判断是首项为4，公差为的等差数列，再求出，最后判断存在最大值并求出的最大值；选③先求出，再判断不存在最大值．【详解】解：选①：因为，，所以是首项为4，公比为的等比数列．所以．当为奇数时，，因为随着的增大而减小，所以此时的最大值为；当为偶数时，，且，综上，存在最大值，且最大值为4．选②：因为，，所以是首项为4，公差为的等差数列．所以， 由于，得，所以存在最大值，且最大值为或，因为，所以的最大值为50．选③：因为，所以，所以，，…，，所以，又，所以， 当时，，故不存在最大值．18.（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到改善．为调查该地区植物覆盖面积(单位：公顷)和某种野生动物的数量的关系，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．(1)求样本(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)，并用相关系数说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积的相关性．(2)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数．【答案】(1)，由于0.94接近1，说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性；(2)更合理的抽样方法是分层抽样．理由见解析．【解析】【分析】(1)根据数据，利用相关系数公式计算相关系数，与1比较接近，进而得到强正相关的结论；(2)根据实际差异情况，决定采用何种抽样方式.【详解】(1)样本(i=1，2，…，20)的相关系数为，由于0.94接近1，说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性．(2)更合理的抽样方法是分层抽样．理由如下：由(1)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异也很大，采用分层抽样的方法能较好地保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19.（12分）在中，为边上一点，，.(1)若，且角，求的长；(2)若，且角，求角的大小.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)根据向量减法的几何意义可得，在中，由余弦定理即可求解.(2)设，可得，，在中以及在中，利用正弦定理可得，再利用三角恒等变换即可求解.【详解】(1)因为，则， 又，则，，又，故，且，在中，由余弦定理：,故.(2)设，则，，在中，由正弦定理：，在中，由正弦定理：，即，由上述两式得：，又，故，即，即.20.（12分）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，M，N分别为A1C1，AB1中点．(1)求证：MN//平面B1BCC1；(2)若P是B1B的中点，AP⊥MN，求二面角A1-PN-M的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明平面，要注意步骤的完整性；(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求得二面角的余弦值.【详解】解析：(1)证法一：连接A1B，因为四边形A1B1BA是平行四边形，所以A1B与AB1交于点N，连接BC1，在△A1BC1中，N是A1B中点，M是A1C1中点，所以MN//BC1，又平面，平面，所以平面．证法二：取的中点，连接，则有，且，，且，又，，所以，且，所以为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．(2)在平面内过点作射线垂直于，易知，，两两垂直，如图，以A为原点，分别以AB，l，AA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，则，因为，所以，解得，又因为，所以，解得(舍去负值)，所以．设为平面的一个法向量，因为，所以取，则，又为平面的一个法向量，所以，所以二面角的余弦值为．21.（12分）已知椭圆()的一个焦点为，且该椭圆经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线与椭圆交于不同两点、，试问在轴上是否存在定点 使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称．【解析】【分析】(1)法1：(待定系数法)由题意可得，将点的坐标代入椭圆的方程，联立求解可求得椭圆的方程；法2：(定义法)，求得椭圆的另一个焦点，由椭圆的定义求得，可求得椭圆的方程．(2)当直线为非轴时，设直线的方程为，与椭圆的方程整理得．设，，得韦达定理，．将问题转化为的斜率互为相反数．运用两点的斜率公式可求得点的坐标，验证当直线为轴时也符合题意．【详解】(1)法1：【待定系数法】由题意可得，又因为点在椭圆上得，联立解得，．   所以椭圆的方程为；法2：【定义法】设另一个焦点为，则为直角三角形，由勾股定理得，所以，即，由得， 所以椭圆的方程为；(2)当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆的方程联立得 ，整理得．由，设，，定点 (且，则由韦达定理可得，．直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数．所以，即得．又，，得，
 所以，整理得．  从而可得，即， 所以当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立．特别地，当直线为轴时，也符合题意． 综上，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称．     22.（12分）设函数.(1)当时，，求实数的取值范围；(2)求证：存在正实数，使得总成立.【答案】(1)；(2)证明见详解.【解析】【分析】(1)求出导函数，分离参数可得，令，利用导数求出即可求解.(2)取，令，利用导数证出时，；，，讨论的取值范围，证明与之间的关系即可证明.【详解】(1)，，即，，令，，则，，时，，时，，故在上递减；在上递增，因此，，所以实数的取值范围为.(2)取，则，令，，则在上单调递增.又，故时，，即；当时，，即.①时，，令，，，故在递增，因此，所以时，，即.②时，，即.③，由(1)可知，，则在递增，因此，即.因此，时，总成立，即题意得证.