专题04+单选中档题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

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专题04 单选中档题
1．（2021•广州一模）已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】设，则，又，且，
所以点的轨迹为线段，
因为线段的方程为，即，，，
联立方程组，解得，
直线的斜率为，
设的倾斜角为，则，
因为，所以，即，，
解得．
2．（2021•深圳一模）在数列中，，，若，则　　
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】
【详解】因为，
故令，则有，
所以，又，
所以，
故数列是首项为3，公差为3的等差数列，
所以，解得．
3．（2021•深圳一模）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为　　

A．40 B．39 C．38 D．37
【答案】
【详解】由频率分布直方图得：
，的频率为：，
，的频率为：，
估计该地接种年龄的中位数为：．
4．（2021•湛江一模）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，到直线的距离是到的准线距离的2倍，且，则　　
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】
【详解】由抛物线的方程可得准线方程，
设，，由抛物线的性质可得，①
由到直线的距离是到的准线距离的2倍可得：②，
由①②可得
5．（2021•广东一模）《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式．用该术可求得圆周率的近似值．现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为　　
A． B． C． D．3
【答案】
【详解】圆锥的体积，解得，
则设所求圆锥的底面直径与母线长为，则底面半径为，
则，解得，
设高为，则．
6．（2021•广东一模）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是　　
A．的最小值是1 B．的最大值是1
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】
【详解】因为，所以，
所以，可得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故错误，正确．
因为，
故的最小值为，无最大值，故和都错误．
7．（2021•惠州一模）切割是焊接生产备料工序的重要加工方法，各种金属和非金属切割已经成为现代工业生产中的一道重要工序．被焊工件所需要的几何形状和尺寸，绝大多数是通过切割来实现的．原材料利用率是衡量切割水平的一个重要指标．现需把一个表面积为的球形铁质原材料切割成为一个底面边长和侧棱长都相等的正三棱柱工业用零配件，则该零配件最大体积为　　

A．6 B． C．18 D．
【答案】
【详解】用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，
球形铁质原材料的半径，
设正三棱柱的高与底面的边长为，
则底面外接圆半径，
则，即，即．
该零配件的最大体积为．

8．（2021•惠州一模）函数（其中的图象不可能是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【详解】当时，，且，故符合，
当时，且时，，当时，且时，在上为减函数，故符合，
当时，且时，，当时，且时，在上为增函数，故符合
9．（2021•深圳模拟）、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】双曲线的，，，
可得，
在直角三角形中，，
由双曲线的定义，可得，
解得，
则．
10．（2021•广东二模）已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】如图，
，，，
则，
圆柱的体积为：
．
当且仅当，即，时上式等号成立．

11．（2021•潮州一模）已知倾斜角为的直线与圆相切，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】因为与圆相切，
所以，
解得，，即，
因为，
所以，
则．
12．（2021•潮州一模）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的值为　　
A．0 B．1 C．0和 D．0和1
【答案】
【详解】，
画出函数的图像，如图示：
，
结合函数图像得：或时，方程有两个不同的实数解
13．（2021•珠海一模）下列四个叙述中，错误的是　　
A．“为真”是“为真”的必要不充分条件
B．命题：“且，的值域是，，”，则：“且，使得”
C．已知，且，原命题“若，则”的逆命题是“若，则”
D．已知函数，函数，若对任意，，存在，，使得成立，则的范围是，
【答案】
【详解】对于：当“为真”时，则“为真”，但是当“为真”时“不一定为真”，故“为真”是“为真”的必要不充分条件，故正确；
对于：命题：“且，的值域是，，”，则：“且，使得，故正确；
对于：已知，且，原命题“若，则”的逆命题是“若，则”故正确；
对于：已知函数，函数，若对任意，，存在，，使得成立，即，则的范围是，，故错误．
14．（2021•佛山二模）在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点，若满足的点的个数为4．则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【详解】点分别在，，，上运动时，的取值范围是，，
当点分别在，上运动时，的取值范围是，，
当点分别在棱，上运动时，的取值范围是，，
当分别在棱，，，上运动时，的取值范围是，，
由结合图形可知，点在正方体的每一条棱上运动时，
它所在的位置与的值是一一对应的，
当的点的个数为4，
则的取值范围为，

15．（2021•佛山二模）已知双曲线的离心率等于2，，分别是的左、右焦点，为的右顶点，在的渐近线上，且，若的面积为，则的虚轴长等于　　
A． B．2 C． D．4
【答案】
【详解】双曲线的离心率等于2，，①
，分别是的左、右焦点，
双曲线一三象限的渐近线的斜率为：，②
为的右顶点，在的渐近线上，且，
所以，的面积为，
可得，③，解：①②③可得，
所以的虚轴长等于4．

16．（2021•湛江三模）已知是椭圆的右焦点，过椭圆的下顶点且斜率为的直线与以点为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】由点到直线的距离公式可得，又，
解得．
17．（2021•湛江三模）在的等腰直角中，为的中点，为的中点，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】以为原点，建立平面直角坐标系，设，，
则，，，
因为，
所以，，，，，
所以，
解得．

18．（2021•汕头一模）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为　　

A． B． C． D．
【答案】
【详解】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，
即接下来的圆弧所在的扇形的半径是，对应的弧长，
设圆锥底面半径为，则，即，
圆锥的高，
则该圆锥的体积为．
19．（2021•汕头一模）已知，，且，则的最小值是　　
A．8 B．6 C． D．
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，当且仅当即时取等．
20．（2021•惠州模拟）若函数，的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是　　

A．函数 的图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数的图象关于直线对称
C．，是函数图象的一个对称中心
D．函数在区间，上单调递增
【答案】
【详解】由图可知，，
函数经过点，，，
，，即，，
，．
函数．
函数的图象向左平移个单位得到，故错误；
令，，则，，不存在使其对称轴为，即错误；
令，，则，，
当时，对称中心为，，即正确；
令，，，
则，，，当时，单调递增区间为，，故错误；
21．（2021•潮州二模）中国古代数学名著《周牌算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为　　
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】
【详解】由题意可设年纪最大年龄为，年纪最小年龄为，
则有，
所以，
，
解之得：，
又，
，，
极差为
22．（2021•肇庆二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与以为圆心的单位圆相交于点．若的横坐标为，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】由三角函数的定义可知，，故错误；
则，故正确；
，故错误；
．故错误．
23．（2021•肇庆二模）曲线在，（1）处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】由，得，所以（1），（1），
所以曲线在，（1）处的切线方程为，
即．
24．（2021•广州二模）学生到工厂参加实践劳动，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】设圆柱体的底面半径为，高为，则，
，
圆柱体外接球的半径满足，
该圆柱体外接球的表面积为

．
当且仅当，即时等号成立．
25．（2021•广州二模）已知函数，且，则的取值范围是　　
A．，， B．
C．，， D．
【答案】
【详解】根据题意，函数的定义域为，且有，
即得函数为奇函数，
又因为，
当时，令，则有，
因为，所以，即得在，上单调递增，故有，
因此可得在，上单调递增，
又因为函数为上的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，
故有，即得．
26．（2021•梅州一模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】函数的定义域为，且，
所以为偶函数，又当时，是增函数，
令，
任取，，，且，
则，
因为，所以，，
所以，
所以在，上是增函数，即在，上是增函数，
所以不等式对任意恒成立，
转化为，即，
所以和在上恒成立，
①若在上恒成立，则△，解得；
②若在上恒成立，则△，解得；
综上所述，实数的取值范围是．
27．（2021•东莞市校级模拟）若，则的值为　　
A．2 B．0 C． D．
【答案】
【详解】在 中，令，可得，
再令，可得，，
28．（2021•河源模拟）已知是边长为2的正三角形的边上的一点，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【答案】
【详解】由题意，如图：是边长为2的正三角形的边上的一点，过作于，，
则，．

29．（2021•河源模拟）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】根据题意，设的图象与函数的图象关于直线对称，
则有，即
30．（2021•韶关一模）设正方体的棱长为1，为底面正方形内的一动点，若三角形的面积，则动点的轨迹是　　
A．圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
【答案】
【详解】，则，
即到的距离为，
则在空间中的轨迹为一个圆柱面，而由题意 的轨迹是该圆柱被一平面斜截得到的图形，
则的轨迹为椭圆的一部分．
31．（2021•广东模拟）已知，则　　
A． B．10 C． D．45
【答案】
【详解】，
则
32．（2021•江门一模）如图，在长方体中，，．为棱上的一点，当取得最小值时，的长为　　

A． B． C． D．
【答案】
【详解】将侧面绕逆时针转展开，与侧面共面，如图所示，
连结，当，，共线时，取得最小值，
由，，得为的中点，
在长方体中，因为平面，
又平面，
则，，
故．

33．（2021•江门一模）已知点为的外心，的边长为2，则　　
A． B．1 C．2 D．4
【答案】
【详解】点为的外心，的边长为2，如图：

设的中点为，连接，则，

34．（2021•茂名模拟）已知数列满足，且，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】由题意，可得，
若，则，与题中条件矛盾，
，
，
数列是以为首项，2为公比的等比数列，
，
，
，

35．（2021•茂名模拟）设为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为　　
A．2 B． C． D．4
【答案】
【详解】由抛物线方程得准线方程为：，焦点，
又为上一点，，可得，
代入抛物线方程得：，
．
36．（2021•濠江区校级模拟）某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．

根据组合图判断，下列结论正确的是　　
A．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小
B．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差
C．这10天学生在线学习人数在逐日增加
D．前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差
【答案】
【详解】对于，由折线图很明显，的增长比例在下降，故错误；
对于，由条形图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故错误；
对于，由条形图，可得学习人数在逐日增加，故正确；
对于，前5天增长比例的极差大约为，后5天增长比例的极差大约为，所以前五天在线学习人数增长比例的极差小于后五天在线学习人数增长比例的极差，故错误．
37．（2021•广东模拟）某地市场调查发现，的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为，而在实体店购买的家用小电器的合格率为．现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】大约的人喜欢在网上购买家用小电器，
网上购买的家用小电器合格率约为，
故网上购买的家用小电器被投诉的概率为，
又实体店里的家用小电器的合格率约为．
实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为，
故工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性．
38．（2021•广东模拟）已知数据，，，，，的平均数是5，方差是9，则　　
A．159 B．204 C．231 D．636
【答案】
【详解】根据题意，数据，，，，，中平均数，方差，
则，
变形可得：则
39．（2021•清新区校级模拟）“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【详解】因为，解得，
又，解得，
即由可推出，而时，在的情况下，不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件．
40．（2021•湛江校级模拟）已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，即直线的斜率为．
41．（2021•湛江校级模拟）已知函数，如果关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】有四个不同的实数解，
显然当时，无论为何值，都成立，
当只需有三个不等于零的不同实数根，
方程可化，
只需和有三个不等于零的交点即可，画出函数的图象如图：
有图象可知只需，


42．（2021•广州二模）天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有　　
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
【答案】
【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．
乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，即第二、三、四名；
再排甲，除乙的名次外有2种情况，故甲也有3种情况；
余下3人有种排法．
故共有种不同的情况．
43．（2021•广州二模）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】，
，
，
，
故
44．（2021•揭阳模拟）在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为　　
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则：

，，，，
设，，，，，
，，，，
，
，当且仅当，即，时取等号，
的最小值为：49．
45．（2021•揭阳模拟）在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒．教室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：小时）的变化情况如图所示．在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数）．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室．那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在　　（参考数值

A．42分钟后 B．48分钟后 C．50分钟后 D．60分钟后
【答案】
【详解】把点代入，得，即，
则当时，，
由，解得，
故至少需要经过分钟后，学生才能回到教室．
46．（2021•广东模拟）中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】记“取到的四味药刚好组成‘四君子汤’或‘四物汤’”为事件，
依题意得．
47．（2021•广东模拟）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【详解】，，，
，
，
，
以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，
设，则，
，，
，
设，
在，上单调递减，在，上单调递增，
（2），（5），
的取值范围是，

48．（2021•福建模拟）函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【详解】，
函数为奇函数，排除选项和，
当时，，，，排除选项
49．（2021•惠州二模）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，若，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
设的方程为，，
设，，，，联立可得，
△，，则，
由，可得舍去），则的方程为．
50．（2021•惠州二模）唐朝诗人王维是中国山水田园诗派的重要代表人物之一，其《九月九日忆山东兄弟》中诗句“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”脍炙人口．现有4位乘客于重阳节当天乘坐次高铁复兴号从深圳出发，次高铁列车沿途只停靠广州、长沙、武汉（终点站）3个站点，若在每个停靠的站点至少有1个人下车，则这4位乘客不同的下车方式有　　种
A．256 B．81 C．36 D．24
【答案】
【详解】根据题意，分2步进行分析：
先将4位乘客分为3组，有种分组方法，
再安排三组乘客在3个站点下车，有种情况，
则有种下车方式，