专题10【大题限时练10】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

专题10 大题限时练10

1．如图，在四棱锥中，平面，是边长为2的正方形，，为侧棱的中点．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）因为平面，则为棱锥的高，

是边长为2的正方形，所以，，

故；

（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，

所以，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，，故，

所以，

故直线与平面所成角的正弦值为．

2．将关于的函数的图像向右平移2个单位后得到的函数图象记为，并设所对应的函数为．

（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；

（2）设（4），若函数对于任意，，总存在，，使得成立，求的取值范围．

【答案】（1），和，；（2），

【详解】（1）法一：由题意知，，

定义域为，

，

由对勾函数的性质知，当或，即且时，单调递减，

故函数的单调递减区间为，和，．

法二：由题意知，，定义域为，

，

令，

，且，

函数的单调递减区间为，和，．

（2）（4），，解得，，

由（1）知，在，上单调递减，

，（1），

的对称轴为，且开口向上，

在，上单调递减，

，（1），

对于任意，，总存在，，使得成立，

，且，

即，且，

，

故的取值范围为，．

3．某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中为自然对数的底，该生物出生时．

（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到；

（2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到．

【答案】（1）6.8年；（2）1.24

【详解】（1）由得：，

解得：，

，

，

，

，

又，

，

即约需要6.8年．

（2），

令，，，

则，

，当且仅当即时，等号成立，

，

的最大值为1.24．

4．设双曲线的上焦点为，、是双曲线上的两个不同的点．

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若，求点纵坐标的值；

（3）设直线与轴交于点，关于轴的对称点为．若、、三点共线，求证：为定值．

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【详解】（1）解：令，则，

双曲线的渐近线方程为．

（2）解：由题意知，，

设为，则，且，，，

又，

解得或（舍，

点纵坐标的值为．

（3）证明：①当直线的斜率不存在时，其方程为，与轴有无数个交点，不符合题意；

②当直线的斜率存在时，设为，则其方程为，

设，，，，则，，

联立，得，

，，

、、三点共线，

，即，也即，

，即，

，

化简得，，为定值，

故命题得证．

5．若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的倍，则称该数列具有性质．

（1）已知数列，，具有性质（4），求实数的取值范围；

（2）删除数列，，，，中的第3项，第6项，，第项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，试求实数的最大值；

（3）记，如果，2，，，证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质（1），且同时满足以下三个条件：

（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；

（Ⅱ）存在常数，使得数列收敛于；

（Ⅲ），2，，这里”．

【答案】（1）；（2）的最大值为11；（3）见解析

【详解】（1）由题意可知解得．

（2）当，时，，，，

，

当，时，，，

．

当，时，，，

，

综上：的最大值为11．

（3）证明：令，显然，具有性质（1），且满足条件Ⅰ，当，，满足条件Ⅱ，

，，

，即证：“．