专题03+【大题限时练3】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题03 大题限时练31．在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：由题意知，，是圆柱的一条母线，垂直于圆柱的底面，则，即，又，且，平面，平面，平面，；（2）连结，如图示：由题意知，，异面直线与所成的角等于直线与直线所成的角，在中，，，，由余弦定理，得，，故异面直线与所成的角的大小是．2．设常数，函数．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若函数在，时有零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【详解】（1）函数定义域，由为奇函数得，所以，，，所以为奇函数，（2）由在，时有零点，设，由，得，，当时显然不成立，故，方程等价于在，时有解，结合二次函数的性质可知的值域，，所以，解得．故的范围．3．某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元．（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；（答案不唯一）（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解 （1）答案不唯一．构造出一个函数，说明是单调增函数且函数的取值满足要求，如，，就是符合企业奖励的一个函数模型，理由：根据一次函数的性质，易知，随增大而增大，即为增函数，当时，，当时，，即奖金金额且不超过20万元，故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型．（2）当时，易知是增函数，且当时，；当时，，即满足奖金且不超过20万的要求，故当时，符合企业奖励要求，当时，函数是增函数，即对任意、，，且时，成立，故当且仅当，即时，此时函数在，上是增函数，由，得，进一步可知，，故成立，即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求，依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，于是，有，解得．综上，所求实数的取值范围是．4．椭圆的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为、，，为椭圆上的任一点．（1）试写出向量、的坐标（用含、、的字母表示）；（2）若的最大值为3，最小值为2，求实数、的值；（3）在满足（2）的条件下，若直线与椭圆交于、两点、与椭圆的左、右顶点不重合），且以线段为直径的圆经过点，求证：直线必经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】（1）根据题意，可知、，于是，，（2）由（1）可知，．，在椭圆上，，则．．依据椭圆的性质，可知．当且仅当时，，当且仅当时，．又，的最大值为3，最小值为2，解得即为所求．（3）证明：由（2）知，椭圆．又，联立方程组得．设，、，是直线与椭圆的两个交点，于是，有，以线段为直径的圆经过点，，即，，，进一步得，化简得．解得．（经检验，都满足△，当时，直线过点不满足、与椭圆的左右顶点不重合要求，故舍去．，即．直线必经过定点，且定点的坐标为．5．已知数列满足：，，，为数列的前项和．（1）若是递增数列，且，，成等差数列，求的值；（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；（3）已知，对于给定的正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】（1）由于数列是递增数列，所以，由于，所以，，由于，，成等差数列，所以，整理得，故或．当时，，与数列是递增数列是单调增数列矛盾，所以．（2）由于数列是递增数列，所以，于是，①由于，所以②，由①②得：，因此，即③，由于数列是递减数列，故，则④，由于，所以⑤，由④⑤得：，因此，即，⑥，由③⑥得：，故时，，即，当时，代入上式得到，与已知条件吻合，所以．（3）当或时，存在数列，使得，此时数列，满足，，，则有，，即，当或时，不存在数列，使得，理由如下：由于，所以，又因为为奇数，则当时，为奇数，为偶数，所以当时，为奇数，为偶数，因此，均不可能成立，于是当或时，时，不存在数列，使得．