2022届湖南省长沙市第一中学高三下学期一模考试数学试题及答案

长沙市一中2022届模拟试卷（一）

数学

时量：120分钟  满分：150分

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 设集合A，B满足，则（    ）

A  B.  C.  D.

2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A. 新农村建设后，种植收入减少

B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入总和超过了经济收入的一半

4. 《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有

A.  B.

C.  D.

7. 如图，，是双曲线左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点，．若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（    ）．

A.  B.  C.  D. 2

8. 已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（    ）

A.

B. 的虚部为

C. 复数的共轭复数

D. 复数是方程的一个根

10. 已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（    ）

A. 线段A，B的中点的广义坐标为

B. A，B两点间的距离为

C. 若向量平行于向量，则

D. 若向量垂直于向量，则

11. 已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A. 函数为奇函数

B. 函数上单调递增

C. 若，则的最小值为

D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

12. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（    ）

A. 当时，平面

B. 当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为

C. 当时，的最小值为

D. 当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的展开式中常数项为________．（用数字作答）

14. 已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.

15. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______．

①A与C互斥；②；③A与D相互独立；④B与C相互独立．

16. 已知数列的各项都是正数，.若数列各项单调递增，则首项的取值范围是___________；当时，记，若，则整数___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若点D在边AC上（不与A，C重合）______，，求面积最值．

请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

18. 已知数列的前n项和为，，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）在和中插入k个数构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式．求数列的前30项和．

19. 如图，已知斜三棱柱，，．在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

20. 2022年北京冬奥会的成功举办在全国又掀起了运动的浪湖．墩墩和容融两个小朋友相约打羽毛球．已知两人在每一局比赛中都不会出现平局，其中墩墩每局获胜的概率均为．

（1）若两人采用五局三胜制，则墩墩在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；

（2）若两人采用三局两胜制．且，则比赛结束时，求墩墩获胜局数X的期望；

（3）五局三胜制和三局两胜制，哪种赛制对墩墩获得比赛胜利更有利？

21. 已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，A为C的上顶点，且的周长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．

22. 已知函数．（）在处的切线l方程为．

（1）求a，b，并证明函数的图象总在切线l的上方（除切点外）；

（2）若方程有两个实数根，．且．证明：．