2022年备考浙教版中考数学题型专项训练 一次函数解答题专练附答案

这是一份2022年备考浙教版中考数学题型专项训练 一次函数解答题专练附答案，共76页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。

备考浙教版中考数学题型专项训练 一次函数解答题专练
一、综合题
1．如图1，直线y= x+6分别交x轴，y轴于点A，点B，点C、P分别是线段OB，AB的中点，动点D，E分别在直线CP和线段AB上，设点E的横坐标为m，线段CD的长为n（n>0），且m+n=6，以DO，DE为邻边作▱ ODEF．

（1）求点A和点P的坐标．
（2）如图2所示，当点D在点C左侧，且n=2时，求点F的坐标．
（3）当点F落在△AOB的边OB或AB上时，求点F的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝ ，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
3．在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B（b，0），C（0，c），且+3|b﹣3|＋2（c＋2）2 =0．

（1）直接写出S△ACB=　 　；
（2）如图1，线段CB沿y轴正方向以每秒0.5个单位的速度匀速移动至DE（点C的对应点为D，点B的对应点为E），连接AD、OE．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t值，使得3S△ACD＝2S△EOD？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将线段AC往右平移3个单位长度至FG（点A的对应点为点F），线段FG与BC相交于点H． 若在x轴上存在点M使得S△MCH =2，试求出点M的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.

（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
（2）若四边形PQOB的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
5．周末，小畅与妈妈沿相同的路线去爬山．因为乘坐交通工具不同，当小畅到达山脚下开始上山时，妈妈已经到达山顶并开始从山顶返回，在登山的过程中两人一直保持匀速运动，在山路中间有一个观光亭距离山顶30米．两人与观光亭的距离y（单位：m）与小畅登山时间x（单位：min）之间的函数图象如图所示．

（1）求小畅的速度及b的值；
（2）求妈妈在下山过程中y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出x为多少时，两人与观光亭的距离相等．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为，它与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线y=-x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，运动时间为t秒．

（1）求△AOC的面积；
（2）设△PAO的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）M是直线OC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一公路上同时出发，距甲地的路程S（千米）与B出发的时间t（小时）的关系，已知B骑车一段路后，自行车发生故障，进行修理.

（1）B出发时与A相距　 　千米，B出发后　 　小时与A相遇；
（2）求出A距甲地的路程SA（千米）与时间t（小时）的关系式：
（3）根据图中所给的信息：若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，在途中何时与A相距2km？
8．“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
（1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？
9．如图1， 在平而直角坐标系中，直线AB：y= x+4与坐标轴交于A，B两点，点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动，当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造 CPDQ，设点P运动的时间为t秒．

（1）直接写出点C的坐标为　 　 ．
（2）如图2，过点D作DG⊥y轴，过点C作CH⊥x轴．证明：△PDG≌△CQH．
（3）如图3，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
10．在平面直角坐标系xoy中，A，B点的坐标分别为(0，4)，(-4，0)，P点坐标为(0，m)，点E是射线BO上的动点，满足BE=1.5OP，以PE，EO为邻边作 ▱ PEOQ．

（1）当m=2时，求出PE的长度；
（2）当m>0时，是否存在m的值，使得PEOQ的面积等于△ABO面积的，若存在求出m的值，若不存在，请说明理由；
（3）当点Q在第四象限时，点Q关于E点的对称点为Q'，点Q'刚好落在直线AB上时，求m的值(直接写出答案)．
11．已知抛物线y＝a（x﹣2）2（a≠0）交y轴于点B(0，2)，顶点为点A，且与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合），点D(2，2)在直线l上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点N的坐标为(6n，n)，且点N在抛物线对称轴的右侧，请证明∠MAN＝90°；
（3）过点A作AE⊥l，垂足为点E，求点B到点E的最短距离．
12．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，点P的坐标为.点E是y轴上一动点，QP⊥EP交AB于点Q（保持点Q在x轴上方），EF⊥EQ交AB于点F.

（1）当PQ⊥AB时，求OE的长.
（2）当点E在线段OB上移动时，设AQ＝n，OE＝m，求n关于m的函数表达式.
（3）点E在射线OB上移动过程中，点Q、E、F构成的三角形与△OAB相似，求出点E的纵坐标.
13．【操作发现】
在计算器上输入一个正数，不断地按“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.
【提出问题】
输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
【分析问题】
我们可用框图表示这种运算过程（如图a）.
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推.
【解决问题】
研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化.

（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；
②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）
14．数学来源于生活，数学之美无处不在，在几何图形中，最美的角是45°，最美的直角三角形是等腰直角三角形，我们把45°的角称为一中美角，最美的等腰直角三角形称为一中美三角．根据该约定，完成下列问题：

（1）如图1，已知正方形ABCD中O是对角线AC上一动点，过O作OP⊥OD，垂足为O，交BC边于P，△POD是否为一中美三角，并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），点P在第二象限内，且在直线y＝﹣2x﹣2上，若△ABP恰好构成一中美三角，求出此时P点的坐标；
（3）如图3，若二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为第二象限上的点，在直线AC上，且∠OPB恰好构成一中美角；Q为x轴上方抛物线上的一动点，令Q点横坐标为m（0＜m＜3），当m为何值时，△PBQ的面积最大，求出此时Q点坐标和最大面积．
15．如图1，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点D是线段AB上一点，过D点分别作OA、OB的垂线，垂足分别是C、E，矩形OCDE的面积为4，且．

（1）求D点坐标；
（2）将矩形OCDE以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ，记平移时间为t秒．
①如图2，当矩形MNPQ的面积被直线AB平分时，求t的值；
②如图3，当矩形MNPQ的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T、K，若直线TK把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t的值．
16．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（3）是否存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，以为直径的圆交y轴于点C，D为圆上一点，，直线交x轴于点E，交y轴于点F，连结.

（1）求的值和直线的函数表达式.
（2）求点D，E的坐标.
（3）动点P，Q分别在线段，上，连结.若，当与的一边平行时，求所有满足条件的的长.
18．如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以A为圆心，为半径作半圆，交半圆弧于点C，弦轴，交y轴正半轴于点E，连结.

（1）求的半径长及直线的函数表达式.
（2）求的值.
（3）P为x轴上一点.
①当平行于四边形的一边时，求出所有符合条件的的长.
②若直线恰好平分五边形的面积，求点P的横坐标.（直接写出答案即可）
19．已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx＋n（n≠10），求证：当m＝－2时，l2//l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝－2x＋q过点C且交直线AE于点F，求与面积之和的最小值．
20．经研究表明，某市跨河大桥上的车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，函数图象如图所示．

（1）求当28≤x≤188时，关于x的函数表达式；
（2）求车流量P（单位：辆/时）与车流密度x之间的函数关系式；（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
（3）若车流速度V不低于50千米时，求当车流密度x为多少时，车流量P达到最大，并求出这一最大值．
21．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B，

（1）k的值是　 　；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．
22．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，4），点B在x轴负半轴上，且

（1）如图1，求B点坐标；
（2）如图2，点C与点B关于y轴对称，点P从点B出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，到点C停止运动，设动点P的运动时间为t（秒），连接AP，的面积为S，求用含t的式子表示S（不必写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P在线段BO上，点D为第一象限一点，连接AD、BD、CD，BD与AP交于点E，连接EC，若，，，求的面积．
23．如图，点A、B分别在y轴正半轴，x轴负半轴上，OB=3，∠ABO=60°．

（1）求直线AB解析式；
（2）点C在x轴上点B的右侧，连接AC，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连接BD，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点E在x轴正半轴上，OE=AB，连接AE，点G为AE中点，射线DG交射线AB于点H，，求点D的坐标
24．
（1）基本图形的认识：
如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．
（2）基本图形的构造：
如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC=AB，求点C的坐标；
（3）基本图形的应用：
如图3，一次函数y=-2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB=45°，求点D的坐标．
25．问题探究

（1）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣3，0），B（0，﹣ ），当 时，求y的最小值．
（2）如图1，等边△ABC中，AB=2，点D为边BC的中点，连接AD，求∠CAD及CD：AC：AD的值；
（3）问题解决：如图2，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点M、E，已知点M（-3，0），且∠EMO＝60°，点A（4， ），B（2，﹣ ），C（﹣1，﹣2 ），连接AB，BC，得到折线段A﹣B﹣C，点P为折线段A﹣B﹣C上一动点，过点P向直线l作垂线，垂足为H，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，则△PHQ的周长是否存在最大值或最小值？若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由.
26．如图，在平面直角坐标系中， ， ，直线 与x轴相交于点C，与直线AB交于点D，交y轴于点E.

（1）求直线AB的解析式及点D的坐标；
（2）如图2，H是直线AB上位于第一象限内的一点，连接HC，当 时，点M、N为y轴上两动点，点M在点N的上方，且 ，连接HM、NC，求 的最小值；
（3）将△OEC 绕平面内某点转90°，旋转后的三角形记为 ，若点 落在直线AB上，点 落在直线CD上，请直接写出满足条件的点 的坐标.
27．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ,点B在直线l: 上,过点B作AB的垂线,过原点O作直线l的垂线,两垂线相交于点C.

（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内,BC与AO相交于点D，若BA=BO.
①求证：CD=CO.
②求四边形ABOC的面积.
（2）是否存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由.
28．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．

（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△ABP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线l1: 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l2，将直线l2绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.

（1）若直线l2经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；
（2）若直线l2在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，求出符合条件的旋转角α的度数.
（3）若直线l2在旋转过程中与直线l1 交于点E，连OE，以OE为边作等边△OEF（点O、E、F按逆时针方向排列）,连BF.请你探究线段BE,OB与BF之间的数量关系？并说明理由。
30．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（2，0），连接BC.

（1） 判断△ABC是不是等腰直角三角形，并说明理由：
（2） 若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），连接AP，作AP的垂直平分线交y轴于点E，垂足为D，分别连接EA，EP；
①当点P在运动时，∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数；
②若点P从点C出发，运动速度为每秒1个单位长度，设△AOE的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.
31．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．

（1）如图1，当t＝3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中， 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 的值．
（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．

答案解析部分
1．【答案】（1）解：令y=0，则-x+6=0，
解得：x=8，
∴A（8，0），
令x=0，则y=6，
∴B（0，6），
∵点P是线段AB的中点，
∴P（，），即点P（4，3）.
（2）解：当n=2时，m=6-n=4 ∴CE=4
在□ODEF中， OF=DE=6
∴F (6，0)
（3）解：①当F在线段OB上时，如图1.

在□ODEF中，
OF∥DE, OF＝DE
∴∴m=n=3
∴ E（3， ）
∴ OF=DE=
∴F( )
②当F在边AB上时，如图2.作EM⊥CP 于M，FN⊥OA于N，

易证 △DEM≌△OFN
∴ DM=ON=6
∴ F（6， ）
2．【答案】（1）解：∵点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），
∴OA=4，OB=8，
∵点C运动到线段OB的中点，
∴OC=BC=OB=4，
∵动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，
∴2t=4
解之：t=2；
∵PE=OA=4，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，
∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6
∴点E（6，0）
（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC=PD，OC∥PD，
∴∠COP=∠OPD，
∴∠AOC=∠DPE
在△AOC和△EPD中

∴△AOC≌△EPD（SAS）
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，OC=PD，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形.
（3）解：t1＝28﹣16 ，t2＝2，t3＝4+2 ，t4＝12．
3．【答案】（1）4
（2）解：根据题目已知，作图，如图1，

由（1）可知：A(-1，0)，B（3，0），C（0，-2），
∴AO=1，BO=3，CO=2，
∵ 线段CB沿y轴正方向以每秒0.5个单位的速度匀速移动至DE，运动ts，
∴CD=0.5t，
∴D（0.5t-2），
∴OD=，CD=0.5t，
∵3S△ACD＝2S△EOD，
∴3××1×0.5t=2××2×，
整理，得=，即t=±2（0.5t-2），
解得t=8或；
（3）解：如图2，

由（1）可知：A(-1，0)，B（3，0），C（0，-2），
∵将线段AC往右平移3个单位长度至FG，
∴F（2，0），G（3，-2），
设直线BC的解析式为y=kx-2，直线FG的方程y=mx+n，
∴0=3k-2，，
∴解得k=，，
∴直线BC的解析式为y=x-2，直线FG的方程y=-2x+4，
∴联立得，解得，
∴H（，），
设M（x，0），
∴S△MCB＝S△MHC+S△MHB＝2+S△MHB＝××2=2+××，
整理得=，
解得x=或，
∴点M的坐标为（，0）或（，0）.
4．【答案】（1）解：在直线y＝x+m中，令y＝0，得x＝﹣m.
∴点A（﹣m，0）.
在直线y＝﹣3x+n中，令y＝0，得.
∴点.
由，得，
∴点.
在直线y＝x+m中，令x＝0，得y＝m，
∴|﹣m|＝|m|，即有AO＝QO.
又∵∠AOQ＝90°，
∴△AOQ是等腰直角三角形，
∴∠PAB＝45°；
（2）解：∵，
∴，
整理得3m＝2n，
∴，
∴，
而，
解得m＝±4，
∵m＞0，
∴m＝4，
∴，
∴.
∴PA的函数表达式为y＝x+4，PB的函数表达式为y＝－3x+6；
（3）解：存在.
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点，过点A作BP的平行线交PM于点，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点.

①∵且，
∴是平行四边形.此时，
∵.
∵m＝4，A（﹣m，0），.
∴A（﹣4，0），B（2，0）.
∴AB＝6，
∴；
②∵且，
∴是平行四边形.此时，
∴；
③∵且，此时是平行四边形.
∵且B（2，0），
∴.同理可得
由，得，
∴.
综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或.
5．【答案】（1）解：根据图象可得，小畅的速度为，
，
即小畅的速度为m/min，b=62.5；
（2）解：，
当0≤x ≤30时，设y与x的解析式为y=kx+n，
把（0，300），（30，0）代入，得，解得，
∴y与x的解析式为y=-10x+300(0≤x ≤30)；
当30＜x≤50时，设y与x的解析式为，
把（50，200），（30，0）代入，得，解得，
∴y与x的解析式为；
综上所述：；
（3）50或
6．【答案】（1）解：把x=0代入中，y=3，
∴ 点A的坐标为（0，3），
即OA =3．
联立
解得
∴点C的坐标为（-2，2）．
∴△AOC的面积；
（2）解：如图，过点C作CF⊥y轴于点F，过点P作PE⊥y轴于点E．

∵点C的坐标为（-2，2），
∴∠AOC =45°．
∴．
由题意，得CP =t．
当时，
，，
∴．
∴；
同理可得当时，
．
综上，
（3）存在，，，，
7．【答案】（1）10；3
（2）解：设A的解析式，将，代入得
，解得，即
故答案为：；
（3）解：设B不发生故障时的解析式为，将代入得
，解得，即
由题意可得：，即
或
解得或，
当或小时时，B与A相距2km.
8．【答案】（1）解：根据题意得：，；
（2）解：根据题意可得：，
整理得： ，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元．
（3）解：由题意，得，
，
，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，w随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值，
此时，，
答：销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元．
9．【答案】（1）（1.5, 2）
（2）证明：∵四边形CPDQ为平行四边形，
∴CQ∥PD，CQ=PD，∠DPC=∠CQD
又∵过点D作DG⊥y轴，过点C作CH⊥x轴，
∴CH∥PO，∠PGD=∠CHQ=90°，
∴∠GPC+∠PCH=∠DPC+∠PCQ=180°，
∴∠GPD+∠DPC+∠PCH=∠DPC+∠PCH+∠HCQ，
∴∠GPD=∠HCQ，
∴△PDG≌△CQH（AAS）；
（3）解：如图，

∵△PDG≌△CQH（已证明），
∴DG=QH，PG=CH，
∵C（1.5，2），A（0，4），B（3，0），
∴P（0，4-t），Q（2t，0），yOC=x，
∴PG=CH=2，OH=1.5，
∴DG=QH=2t-1.5，GO=4-t-2=2-t，
∴D（2t-1.5，2-t），
①点D落在OC上时，
∴2-t=（2t-1.5），
∴t=；
②点D落在OB上时，
2-t=0，
∴t=2；
③点D落在BC上时，
2-t=-（2t-1.5）+4，
∴t=，
综上，满足要求的t为或2或.
10．【答案】（1）解：当m=2时，OP=2，
∴BE=1.5OP=3，
∵OB=4，
∴OE=1，
∴PE=；
（2）解：如图1，当点Q在第一象限时，

点E必在x轴的负半轴，点P必在y轴的正半轴．
∴OP=m，BE=1.5m， ．
∴OE=4-1.5m
PEOQ的面积=m(4- 1.5m)
△ABO的面积= AO×BO=4×4÷2=8
PEOQ的面积等于△ABO面积的
∴m(4-1.5m)= ×8
解得：m1=2或m2= (3分)
如图2，当点Q在第二象限时，
∴OP=m，BE=1.5m，
．OE=4-1.5m
PEOQ的面积=m(1.5m-4)
△ABO的面积= AO×BO=4×4÷2=8
PEOQ的面积等于△ABO面积的
∴m(1.5m-4)= ×8
解得：m=
∵BE>BO
∴m>
∴m=
（3）解：如图，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点Q′作Q′N⊥x轴于点N，

设Q（n，m），
∵四边形PEOQ是平行四边形，
∴PQ∥x轴，OM=PQ=OE=n，QM=∣m∣=-m，
∴EM=2n，
∵点Q关于E点的对称点为Q'，
∴NE=EM=2n，Q′N=QM=∣m∣=-m，
∴ON=3n，
∴Q′（-3n，-m），
∵BE=1.5OP=-1.5m，
∴OE=4-（-1.5m）=4+1.5m=n，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴设直线AB的解析式为y=x+4，
∵点Q'刚好落在直线AB上时，
∴-m=-3n+4，
∴-m=-3（4+1.5m）+4，
∴m=-.
11．【答案】（1）解：抛物线与y轴交于点B（0，2）


抛物线的解析式为：
（2）证明：点A为抛物线的顶点
点A（2，0）
抛物线的对称轴为：
直线l与抛物线交于点M，N，点N（6n，n）且点N在抛物线对称轴的右侧

解得：或
当时，点N（，）
当时，点N（，）（不合题意，舍去）
点D（2，2）在直线l上
设直线l的解析式为：

解得：
直线l的解析式为：

解得：或
点M（-2，8）




为直角三角形

（3）解：点A（，），点D（，），点B（，）


点E在以为直径的圆上，设圆心为点G，则点G（，）

如图：连接，，则

当且仅当点E在线段上时，上式取等号
的最小值为，即点B到点E的最短距离为．
12．【答案】（1）解：∵PQ⊥AB，QP⊥EP，
∴EP∥AB，
∴∠OEP＝∠OBA，∠OPE＝∠OAB，
∴△OEP∽△OBA，
∴，即，
解得.
（2）解：如图1，过点Q作QN⊥OA.

∵，OB＝1，
∴AB＝3.
∴，，
在Rt△AQN中，，
.
∵，
∴.
∵QN⊥OA，QP⊥EP，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△QNP∽△POE，
∴，即，
整理得.
（3）解：①如图2，∠EFQ＝∠ABO时.
过点E，Q分别作EM⊥FQ于点M，QN⊥OA于点N，

则有△EBM∽△ABO，
∴
设BM＝m，BE＝3m.
∵∠EBF＝∠ABO，
∴∠EFQ＝∠EBF，
∴EF＝EB＝3m.
∵EM⊥FQ，
∴BF＝2BM＝2m，
∵，
∴FQ＝9m，
∴BQ＝7m，
∴点Q的坐标为
同理可得△EOP∽△PNQ，则，即，
整理得，
解得，（不合题意，舍去）.
∴，
∴点E的纵坐标为.
②如图3，点B，F重合，∠FQE＝∠FAO时.

设BE＝m，则QN＝OE＝1－m，，
同理可得△EOP∽△PNQ，则，
即，整理得，
解得，（不合题意，舍去）.
∴，
∴点E的纵坐标为.
③如图4，∠FQE＝∠ABO时.
过点E，Q分别作EM⊥FQ于点M，QN⊥OA于点N，则有△EBM∽△ABO，

∴.设BM＝m，BE＝3m.
∵∠FQE＝∠ABO，
∴EQ＝EB＝3m
∵EM⊥FQ，
∴BQ＝2BM＝2m，
同理可得△EOP∽△PNQ，
则，即，
整理得，
解得，（不合题意，舍去）.
∴，
∴点E的纵坐标为.
综上所述，点E的纵坐标为，，
13．【答案】（1）解：若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=﹣4，…
取x1=4，则x2x3=x4=4，…
取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：
当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小.
当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4.
当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大.
（2）解：当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大.
当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小.
当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变.
理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，），
当x1＞时，对于同一个x的值，kx+b＞x，
∴y1＞x1
∵y1=x2，
∴x1＜x2，
同理x2＜x3＜…＜xn，
∴当x1＞时，随着运算次数n的增加，xn越来越大.
同理，当x1＜时，随着运算次数n的增加，xn越来越小.
当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变.
（3）解：①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示.

随着运算次数的增加，运算结果越来越接近.
②﹣1＜k＜1且k≠0，m=.
14．【答案】（1）解：△POD为一中美三角，理由如下：
过O作EF⊥BC于F，交AD于E，如图：

∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，
∴∠ACB＝45°，四边形EFCD是矩形，
∴△OFC是等腰直角三角形，ED＝FC，
∴OF＝FC，
∴OF＝ED，
∵OP⊥OD，
∴∠2＝90°﹣∠3＝∠1，
在△DEO和△OFP中，
，
∴△DEO≌△OFP（ASA），
∴OD＝OP，
又∠DOP＝90°，
∴△POD是等腰直角三角形，即△POD为一中美三角；
（2）解：设P（m，﹣2m﹣2），
∵点A（﹣2，0），点B（0，2），
∴AP2＝（m+2）2+（﹣2m﹣2）2＝5m2+12m+8，
BP2＝m2+（﹣2m﹣2﹣2）2＝5m2+16m+16，
AB2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣2）2＝8，
△ABP构成一中美三角，即等腰直角三角形，如图：

①若AP、BP为腰，则需满足：AP＝BP且AP2+BP2＝AB2，
∴5m2+12m+8＝5m2+16m+16且5m2+12m+8+5m2+16m+16＝8，
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2）；
②若AP、AB为腰，同理可得：
5m2+12m+8＝8且5m2+12m+8+8＝5m2+16m+16，
满足两个方程的m＝0，此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
③若BP、AB为腰，则5m2+16m+16＝8且5m2+16m+16+8＝5m2+12m+8，
没有m能同时满足两个方程，故此时不存在P，使△ABP构成一中美三角；
综上所述，△ABP构成一中美三角，则P（﹣2，2）；
（3）解：连接BC，作BC中点D，连接DP，过Q作QM∥y轴交BP于M，如图：

∵y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，BC＝3，D（，），
∴∠BCO＝45°，
∵∠OPB恰好构成一中美角，即∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠BCO，
∴P、B、C、O共圆，即P在△BOC的外接圆上，
∵∠BOC＝90°，
∴D为△BOC的外接圆圆心，
∴PD＝BC＝，
设直线AC为y＝kx+b，则 ，
解得，
∴直线AC为y＝3x+3，
设P（t，3t+3），
∴（t﹣）2+（3t+3﹣）2＝（）2，
解得t＝﹣或t＝0（舍去），
∴P（﹣，），
设直线BP为y＝sx+r，
则，
解得 ，
∴直线BP为y＝﹣x+1，
∵Q点横坐标为m，
∴Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+1），
∴QM＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+2，
∴S△PBQ＝QM•（xB﹣xP）＝（﹣m2+m+2）×（3+）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，S△PBQ有最大值为，
此时Q（，）．
15．【答案】（1）解：设，
即，，
∵，
∴，
解得：，，
∵，
∴，即．
（2）解：①设QM、PN和直线AB分别交于点T，S，

设，则，
则，，
S梯形MNST，
解得：．
②或
16．【答案】（1）解：将A(﹣1，0)、C(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c中，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）解：当y＝﹣x2+2x+3＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为(3，0)．
设直线BC的解析式为y＝kx+b(k≠0)，
将B(3，0)、C(0，3)代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
设点P的坐标为(m，0)(0≤m≤3)，点M的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，
点N的坐标为(m，﹣m+3)，
∴MN＝﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m＝﹣(m﹣)2+，
∴当m＝，线段MN取最大值，最大值为．
（3）存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时m的值为或
17．【答案】（1）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥y轴，
∴AC＝xA＝3，OC＝yA＝2，
∴BC＝yB﹣OC＝8﹣2＝6，
∴tan∠ABC＝，
∵A（3，2），B（0，8），
设lAB：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣2x+8，
∴tan∠ABC＝，lAB：y＝﹣2x+8；

（2）解：如图，过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，连接AC，

∵ ，
∴∠DBC＝∠ABC，
∴tan∠DBM＝tan∠ABC＝，
∵∠DBC＝∠DAC，∠ACF＝90°，
∴ ，
∴CF＝ ，，，
设FM＝x，则DM＝2，BM＝4x，
∵BC＝BM+MF+CF＝4x+x+＝5x+＝6，
∴x＝ ，
∴DM＝，
∴OM＝OC+CF+DM＝2+＋＝，
∴D（﹣，），
∵AC⊥x轴，OE⊥y轴，
∴ACOE，
∴∠FAC＝∠FEO，
∴∠FEO＝ ，
∵OF＝2+＝，
∴OE＝7，
∴E（7，0），
∴D（﹣，），E（7，0）；
（3）解：当PQBD时，如图，延长PQ交DE于G，过P作PH⊥AO于H，

∵∠BDA＝90°，PQBD，
∴∠QGD＝∠BDG＝90°，
∵∠PHQ＝∠QGA＝90°，∠AQP＝∠GQA，
∴∠HPQ＝∠GAQ，
∵∠GAQ+∠BAD＝90°，∠HPQ+∠HQP＝90°，
∴∠HQP＝∠BAD，
∵BD＝ ，AB＝，
∴sin∠BAD＝ ，
∴
∴PH＝ ，
∵∠PDH+∠AOB＝90°，∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠POH＝∠OAC，
∴ ，
∴OC＝2，AC＝3，
∴OA ，
∴ ，
∴ ，
∴OP＝ ；
当PQDA时，如图3，

∵ACOE，
∴△FCA∽△FOE，
∴ ，
∵FE2+OF2＝OE2，
∴ ，
∴FE＝ ，
∴FA＝，
∴AE＝FE﹣FA＝，
∵PQAE，
∴△OQP∽△OAE，
∴∵ ，
∴OP＝ ；
当PQAB时，如图，延长BA交x轴于点N，

∵lAB：y＝﹣2x+8，令y＝0，
∴x＝4，
∴ON＝4，
∵OB＝8，
∴BN＝ ，
∵AB＝ ，
∴AN＝BN﹣AB＝ ，
∵PQBN，
∴△OPQ∽△ONA，
∴ ，
∴OP＝ ，
综上，OP＝或或.
18．【答案】（1）解：如图，过点作轴，

分别交x轴、y轴于点A，B，
令，则，
令，则，

，
，



又，



设过点的直线为，则

解得
直线的解析式为
（2）解：如图，连接，过点作轴，

，




是等腰直角三角形


是等腰直角三角形



在中，


（3）解：①

由（2）可知


i)当时，
，
令，得

当时，


i i)当时，


设，过点
解得

令，得



i i i)当时，
设直线的解析式为



令，得，


综上所述，的长为：
②
19．【答案】（1）解：对于y=-2x+10
当x=0时，y=10，故点A(0，10)
当y=0时，-2x+10=0，
解得x=5，
故B(5，0)
又∵BC=4，
故C(9，0)或C(1，0)，
若抛物线过C(9，0)，则对称轴为直线且开口向上，
则当时，y随x的增大而减小，不符合题意，舍去；
若抛物线过C(1，0)，则对称轴为直线且开口向上，
则当时，必有y随x的增大而增大，符合题意，
故可设二次函数的解析式为y=ax2+bx+10，
把点B、C的坐标分别代入解析式，得
，
解得 ，
故二次函数的解析式为
（2）证明：当m=-2时，直线l2：y=-2x+n（n≠10）与直线l1：y=-2x+10不重合，
假设l2与l1不平行，则l2与l1必相交，
设交点为(x0，y0)，
由 ，
解得，与已知n≠10矛盾，
所以l2与l1不相交，故l2//l1
（3）解：如图：

把点C(1，0)代入l3：y=-2x+q，
得q=2，
又，
，即，
，，
，
，
设，则CE=4-t，
，
，




故当时，的最小值为
20．【答案】（1）解：由图象可知，当28≤x≤188时，
V是x的一次函数，设函数解析式为V=kx+b，
则，
解得，
所以V=-x+94
（2）解：当0≤x≤28时，P=Vx=80x；
当28≤x≤188时，P=Vx=（-x+94）x=-x2+94x，
所以P=
（3）解：当V≥50时，包含V=80，由函数图象可知，
当V=80时，0＜x≤28，此时P=80x，P随x的增大而增大，
当x=28时，P最大=2240；
由题意得，V=-x+94≥50，解得：x≤88，
又P=-x2+94x，
当28≤x≤88时，P随x的增大而增大，
即当x=88时，P取得最大值，
故P最大=-×882+94×88=4400，
∵2240＜4400，
所以当x=88时，P取得最大为4400．
21．【答案】（1）
（2）解：①由（1）可知直线AB的解析式为y＝x+4．
当x＝0时，y＝x+4＝4，∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，∴BE＝OE＝OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴，∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，∴CE＝OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝，
∴＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4．
点C的坐标为（﹣3，）或（11，）
22．【答案】（1）解：∵A(0，4），
∴OA=4，
∵∠AOB=90°，∠ABO=45°，
∴∠BAO=45°，
∴AO=OB=4，
∵点B在x轴的负半轴上，
∴B(-4，0) ．
（2）解：∵点C与点B关于y轴对称，
∴C(4，0) ，
∵点P从点B出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，到点C停止运动，
∴PB=t，
当分0≤t≤4时，
∵OB=4，PB=t，
∴PO=4-t，
∴S=
=；
当4＜t≤8时，
∵OB=4，PB=t，
∴PO=t-4，
∴S=
=；
∴．
（3）解：过点E作EH⊥BO，垂足为H，设AD交AO于点G，

∵∠ADE=∠EAG，∠AEG=∠DEA，
∴∠AGE=∠DAE，
∴90°+∠DBC=∠GAD+∠ADB=∠OAC+∠DAC+∠ADB，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAC=45°，
∵，
∴∠DBC+∠ADB=45°，
∵∠BAP+∠PAO=45°，∠ADB=∠PAO，
∴∠DBC=∠BAP，
∴△PBE∽△PAB，
∴，
∵，
∴，
∴PA=2PB，PB=2PE，PA=4PE，
∵EH∥AO，
∴，
∴EH=1，
∵CB=8，
∴的面积为=4．
23．【答案】（1）解： OB=3，∠ABO=60°


设直线的解析式为
将点代入，得
解得
直线的解析式为
（2）解：

如图，在轴上取点，连接，则


是等边三角形
，
将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，
是等边三角形
，



在与中


，


是等边三角形
到的距离等于

（3）解：如图，设交于点，

由（2）可得，
直线的解析式为
设直线的解析式为


解得
直线的解析式为


，，设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
联立
解得

为的中点，











，或
由（2）可知，

直线的解析式为
设
将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，
点在第一象限，



①当时，
解得（舍）
②当时，
解得（舍）
综上所述，或
或
24．【答案】（1）证明： ∵AB=EC，∠B=∠C=90°，BE=CD，
∴△ABE≌△ECD，
∴AE=ED，∠AEB=∠EDC，
在△DEC中，∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠CED+∠AEB=90°．
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形．
（2）解：过点C作CD⊥x轴于D，

∵ A（2，0），B（0，3） ∴OA=2，OB=3
∵AC⊥AB，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
在△ABO中，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
∵AB=AC，
∴△ABO≌△CAD，
∴OA=DC=2，AD=BO=3，
∴OD=OA+AD=5
∴C(5，2)
（3）解：过点B作BE⊥AB交AD于点E，点E作EF⊥x轴于F，

将x=0代入 y=-2x+2 得y=2，∴A（0,2），
将y=0代入 y=-2x+2 得x=1，∴B（1，0），
同(2)的理由可知：E(3，1)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（0,2）与E（3,1）分别代入得
解得
∴直线AD的解析式为y= x+2，
将y=0代入得x=6，
∴D(6，0)
25．【答案】（1）解：∵直线y=kx+b经过点A（-3，0），B（0，- ），
∴，解得： ，
∴直线解析式为y= ，
∵＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当x= 是，y有最小值，且最小值y= =-2- ；
（2）解：∵△ABC为等边三角形，AB=2，点D为BC的中点，
∴AC=BC=AB=2，∠CAD= ∠CAB=30°，CD= BC=1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD= ，
∴CD：AC：AD=1：2： ；
（3）解：①如图，当点P在线段AB上时，

∵点A（4， ），点B（2，- ），
设直线AB的解析式为y=mx+n（m≠0），
∴，解得： ，
∴直线AB的解析式为y= x-3 ，
∴设P（p， p-3 ），且2≤p≤4，
∵M（-3，0），∠EMO=60°，
∴OE=3 ,
∴E（0，3 ），
设直线l的解析式为y=tx+h，
∴，解得： ，
∴直线l的解析式为y= x+3 ，
∴PQ∥x轴，∠PQH=∠EMO=60°，
∴点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴x+3 = p-3 ，
解得x=p-6，
∴点Q（p-6， p-3 ），
∴PQ=p-（p-6）=6，
∵PH⊥l于点H，∠PQH=60°，
∴QH= ×6=3，PH=3 ，
∴△PHQ的周长=PH+HQ+PQ=6+3+3 =9+3 ；
②如图，当点P在线段CB上时，

∵点B（2，- ），点C（-1，-2 ），
设直线BC的解析式为y=sx+q（s≠0），
∴，解得： ，
∴直线BC的解析式为y= x- ，
∴设P（p， p- ），且-1≤p＜2，
∵直线l的解析式为y= x+3 ，
∴PQ∥x轴，∠PQH=∠EMO=60°，
∴点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴x+3 = p- ，
解得x= - ，
∴点Q（ - ， p- ），
∴PQ=p-（ - ）= + ，
∵PH⊥l于点H，∠PQH=60°，
∴QH= ×（ + ）= + ，PH= p+ ，
∴△PHQ的周长=PH+HQ+PQ= p+ + + + + =（ +1）（p+7），
综上所述，C△PHQ= ，
∴当P=-1时，△PHQ的周长的最小值为（ +1）（p+7）=2 +6，当2≤p≤4时，△PHQ的周长的
最大值为9+3 .
26．【答案】（1）解：设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A(-1，0)，B(0，3)，代入得： ，
解得： ，
∴直线AB解析式为y=3x+3，
将直线AB和直线CD的解析式联立方程组得： ，
解得：
故D点坐标为：
（2）解：对于 ，令y=0，得： ，
解得：x=3，
故C点坐标为C(3，0)，
∴AC=3+1=4.
根据题意可设H点坐标为(m，3m+3)，
∵由于H是第一象限内的点，
∴3m+3>0.
由图可知： ， 即 ，
∴ ，
解得： .
∴H ( ， ).
如图，作H关于y周对称点 ，得到 ，再将 往下平移 个单位到 ，连接 ， .

由作图可知： ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
∴
由两点之间线段最短可知， 有最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
故HM+MN+NC的最小值为
（3）解：点 的坐标为 或
27．【答案】（1）解：①证明：如图1,

∵BA=BO, ∴
∵BA⊥BC, ∴
而
∴
∵OB⊥OC,∴
∴
∴
②如图2,分别过点A、B、C作AH⊥OB于点H，BM⊥OA于点M,CN⊥OA于点N,

由题意可知 ,
在Rt△AHO中，设AH=m,OH=3m.
∵ ,∴ ，解得m=4.
∴
∵∴ ,
∴ ,
∵∴
∴
∴
∴∴
∴
（2）解：过点A作AH⊥OB于点H，则有AH=4,OH=12.
① 如图3，当点C在第二象限内, 时,设


又

，


,
∴ 整理得 解得

② 如图4，当点C在第二象限内, 时,
延长AB,CO交于点G,则 ，


又

而∠ABH=∠GBO,


③当点C在第四象限内, 时,AC与OB相交于点E,则有
（a）如图5，点B在第三象限内.

在 中,

又

而∠AEH=∠CEO,




（b）如图6，点B在第一象限内.

在 中,

又

而∠AEH=∠CEO,




综上所述,OB的长为
28．【答案】（1）解：∵ 直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4）
∴
∴解得
∴k=-1，b=4
（2）解：∵ 点P在x轴上运动，
∴可分P在x轴的正半轴和P在x轴的负半轴上两种情况讨论
①如图①，当P在x轴的正半轴上时，

∵ 点O′恰好落在直线AB上
∴OP=O′P，∠BO′P=∠BOP=90°
∵OB=OA=4
∴ △AOB是等腰直角三角形
∴AB= ，∠OAB=45°
∵由折叠可得O′B=OB=4
∴AO′=
∵∠PO′A=90°
∴AO′=PO′=PO=
∴S△ABP = AB×PO′= × ×（ ）=
②如图②，当P在x轴的负半轴上时，

同理可得OP=O′P，∠BO′P=∠BOP=90°，OB=OA=4
∵∠OAB=45°
∴AO′=PO′=PO=
∴S△ABP = AB×PO′= × ×（ ）=
综上所述，△ABP的面积为 或 ；
（3）解：分三类4种情况讨论：
①当BQ=QP时，如图2，P与O重合，此时，点P的坐标为（0，0）
​​​​​​​
②当BP=QP时，如图3

∵∠BPC=45°
∴∠BQP=∠PBQ=22.5°
∵∠OAB=45°=∠APB+∠PBQ
​​​​​​​∴∠APB=22.5°
​​​​​​​∴∠ABP=∠APB
∴AP=AB=
∴OP=4+
∴P（4+ ，0）
③当PB=PQ时，如图4，此时Q与C重合

∵∠BPC=45°
​​​​​​​∴∠PBA=∠PCB=67.5°
∵∠APC=22.5°
​​​​​​​∴∠APB=45°+22.5°=67.5°
∴∠PBA=∠APB
∴AP=AB=
∴OP= -4
∵P在x轴的负半轴上
∴P（4- ，0）
④当PB=BQ时，如图5，此时Q与A重合，则A与P关于y轴对称

​​​​​​​∴P（-4，0）
综上所述，点P的坐标为：P（0，0）、P（4+ ，0）、P（4- ，0）以及P（-4，0）
29．【答案】（1）解：①如图直线l2旋转到AC的位置，

当x=0时y= ，当y=0时x=-1
∴点A（0， ），点B（-1，0）
∵点C（1，0）
∴OA= ，OC=1
∴AC= ，
② α＝30°
（2）解：∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，
∴△DBC总是等腰三角形；
①当AD＝AC＝AB且D在A点上方时（图2），
∴∠ACD＝∠ADC＝15° ∵CE∥OD，∴α=∠ODC＝15°

②当DA＝DC＝DB时（图3），易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴α＝60°，

③当AD＝AC＝AB且D在A点下方时（图4），
易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，
∠DBC＝∠DCB＝15°，
∴α＝105°；

④当AB＝BD＝DC＝AC（图5）易知△BDC是等边三角形，
∴α＝150°

综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.
（3）解：当E在x轴上方时，BE=BO+BF
如图，在AB上截取BG=BO

∵∠GBO=60°，
∴△BOG是等边三角形，
∵△OEF是等边三角形，
∴OB=OG=BG，OF=OE，∠BOG=60°=∠BOF+∠FOG，∠FOG+∠EOG=60°，
∴∠BOF=∠EOG，
在△BOF和△EOG中

∴△BOF≌△EOG（SAS），
∴BF=EG，
∵BE=BG+GE
∴BE=BF+OB；
当E在x轴下方时，BE=BF-BO

作∠BOH=60°，
∴△OBH是等边三角形，
∴∠HOB=60°，OH=OB=BH，
∵△OEF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，OE=OF，
∴∠HOE=∠FOB，
在△EOH和△OBF，

∴△EOH≌△OBF（SAS）
∴EH=BF，
∵EH=BE+BH
∴BF=BE+OB即BE=BF-BO.
30．【答案】（1）解：∵y＝x＋2，
当x=0时y=2，当y=0时x=-2
∴A（−2，0），B（0，2），C（2，0）．
∴OA＝OB＝OC＝2，AC＝4，
∴△AOB和△COB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CBO＝∠BCO＝45°，
∴∠ABC＝90°
∴△ABC为等腰直角三角形．
（2）解：①∠AEP的度数不变化；
如图2，连接EC，

∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA＝EP，
∴EA＝EP＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ECP＝∠EPC；
∵∠BCA＝45°，即∠ACP＝∠ECA＋∠ECP＝∠BAC＋∠ABC＝135°，
∴∠EAC＋∠EPC＝135°，
∴∠EAC＋∠EPC＋∠ACP＝270°，
故∠AEP＝360°−270°＝90°，
∴∠AEP的度数不会发生变化，为定值90°；
②如图3，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N，

由（2）知：△CEP是等腰三角形，则
CM＝MP＝CP＝；
∴；
在Rt△BEM中，∠MBE＝45°，则有：
；
∴；
∴．
∴S关于t之间的函数解析式为
31．【答案】（1）解：当t＝3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，
∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE＝ OA＝4，
∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB＝∠DEA＝90°，
又∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF＝AE＝3；
（2）解： 的大小不变；理由如下：
如图2所示：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，

∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，∴ ＝ ， ＝ ，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM＝ AB＝3，DN＝ OA＝4，
∵∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDN，又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，
∴△DMF∽△DNE，∴ ＝ ＝ ．
（3）解：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE＝3﹣t，

由△DMF∽△DNE得：MF＝ （3﹣t），
∴AF＝4+MF＝﹣ t+ ，
∵点G为EF的三等分点，∴G（ ， t），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得： ，解得： ，
∴直线AD的解析式为y＝﹣ x+6，
把G（ ， t）代入得：t＝ ；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE＝t﹣3，

由△DMF∽△DNE得：MF＝ （t﹣3），
∴AF＝4﹣MF＝﹣ t+ ，
∵点G为EF的三等分点，∴G（ ， t），
代入直线AD的解析式y＝﹣ x+6得：t＝ ；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为 或 ．