2021雅礼中学高二下学期期中考试数学试卷及参考答案

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雅礼教育集团2021下学期期中考试试卷  高二数学时量： 120分钟      分值：150分 命题人：莫跃武      审题人：张鎏一、单选题1．已知全集，，，（    ）A． B． C． D．【答案】B2．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】C3．设复数（是虚数单位），则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D4．若不等式的解集是，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B5．在中，若，则此三角形必是（    ）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A，所以 所以.   故选：A6．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C．或2 D．【答案】A依题意，双曲线的渐近线方程为，因两条渐近线的夹角为，于是得直线的倾斜角是或，即或，解得或，而，则，又，则有，所以双曲线的离心率.故选：A7．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（    ）A． B．C． D．【答案】D8．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B设点为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，设，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，，由余弦定理可得，所以，，即，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：B.二、多选题9．下列数列中，是等差数列的是（    ）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，2【答案】ABD10．下列各式中，值为的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB选项A：；选项B：；选项C：；选项D：.故选：AB.11．对于直线：，下列说法错误的是（    ）A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在C．时直线的倾斜角为 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为【答案】BCA：由直线方程知：恒过定点，正确；B：当时，直线斜率不存在，错误；C：时有，即，则倾斜角为，错误；D：时，直线，则x、y轴交点分别为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，正确；  故选：BC.12．圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（　　）A．直线与圆相交B．的最小值是C．从点向圆引切线，切线长的最小值是D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是【答案】BCD圆的标准方程为，圆心为，半径为.对于A选项，圆心到直线的距离为，所以，直线与圆相离，A错；对于B选项，的最小值为，B对；对于C选项，如下图所示：从点向圆引切线，设切点分别为、，连接，则，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，C对；对于D选项，由得，即，所以，曲线表示圆的上半圆，而直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：当直线与圆相切，且切点在第二象限时，则，解得，当直线过点时，则，解得.由图可知，当与曲线有两个不同的交点时，的取值范围是，D对.故选：BCD.三、填空题13．圆关于点的对称圆的方程是___________.【答案】圆的圆心坐标为，半径为，点关于点的对称点为点，因此，所求圆的方程为.故答案为：.14．在中，O，D分别为边，的中点，若，则___________．【答案】如图所示：因为O，D分别为边，的中点，所以，所以，即，，.故答案为：15．如下图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列的前4项，则__________.【答案】解：依题意可知，，，，且所以， 故答案为：16．已知双曲线的左、右焦点分别为 ，点在双曲线上．若为直角三角形，且，则双曲线的离心率为 _______________________ ．【答案】或根据双曲线的对称性，设点在双曲线的右支上由为直角三角形，可知或（1）若，由，设由勾股定理知：，又，即（2）若，由，设由勾股定理知：，又，即 综上可知，双曲线的离心率为：或故答案为：或四、解答题17．设递增等差数列的前项和为，已知，，（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和.【答案】(I) ;(II)  (I)在递增等差数列中，设公差为，解得 ;(II)根据等差数列的求和公式得18．已知抛物线C：的焦点，直线：与抛物线C相交于不同的两点.（1）求抛物线C的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.解：（1）因为抛物线C：的焦点，所以，得，所以抛物线方程为（2）设与相交于，由得：，，∵直线过焦点∴∴=1∴ 19．某中学（含初高中6个年级）随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值及样本中男生身高在（单位:cm）的人数；（1）根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数.【答案】（Ⅰ），4；（Ⅱ）171.5cm；（Ⅲ）183 cm.（1）根据题意，.解得 ．所以样本中学生身高在内（单位:）的人数为 （2）由，根据直方图， 因为所以样本中的85%分位数落在内，设85%分位数为，则，解得.所以估计该校男生身高的85%分位数为183 cm20．已知函数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度得到函数的图象，求函数在上的取值范围.【答案】（1）；（2）. (1)依题意，，由，，得，，即在上单调递增，而，所以在上的单调递增区间为；(2)函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，再将纵坐标变为原来的2倍，可得函数的图象，又将横坐标变为原来的倍，可得函数的图象，最后向上平移1个单位得到函数的图象，因，则，于是得，所以函数在上的取值范围为.21．如图，正方形的边长为2，的中点分别为C，，正方形沿着折起形成三棱柱，三棱柱中，.（1）证明:当时，求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的值。【答案】（1）详见解析；（2）（1）当时，点是的中点，因为，所以，又，所以，所以，因为，，所以平面，平面所以，且，所以平面；（2）因为，，两两互相垂直，所以以点为原点，以，，作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图，平面，所以向量是平面的法向量，设，，，，，设平面的法向量，所以，即 ，令，， ，所以平面的一个法向量，，此时二面角的余弦值是（几何法正确也得满分）22．已知椭圆的短轴长为，过下焦点且与轴平行的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若、分别为椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点，求四边形的面积的最大值及此时的值.【答案】（1）；（2）四边形的面积的最大值为，此时.（1）由题意可得，则，将代入椭圆方程可得，则，得，由题意可得，所以，，因此，椭圆的方程为；（2）易知点、，直线的方程为，即.不妨设、且，，，则，设到直线的距离为，到直线的距离为，当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最大值为，此时.