专题22 最大角米勒角问题-2021年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

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最大角米勒角问题知识导航【问题描述】1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．【问题铺垫】圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．如图，．换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角．【问题解决】结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，∠AMB即为圆O的圆外角，∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．∴当圆与直线l相切时，∠APB最大． 特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有．（切割线定理）证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）∴△AOP∽△POB，∴，∴．即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．专项训练如图，抛物线与轴交于A（-1，0）、两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线经过点D，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）
【分析】（1）考虑到点D纵坐标与点C相同，为3，代入反比例解析式，可得D点坐标为（2，3），根据A、D坐标可得抛物线解析式：．（2）求t即求P点位置．思路2：切割线定理延长BD交y轴于M点，则当时，∠BPD最大．考虑到B（3，0）、D（2，3），可得直线BD解析式：，故直线BD与y轴交点M点坐标为（0，9），，，∴，∴，∴P点坐标为，故t的值为． 
练习：如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式．【分析】考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆．记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，故可确定M点位置．根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．∵MC=4，MP=MA=，∴，即△CPM是等腰直角三角形，易求P点坐标为（1，4），又C点坐标为（-1，2），可求直线l的解析式为y=x+3．