2022年山西省大同市中考一模数学试题（附答案）

 中考素养训练一模数学试题

一、单选题

1．计算的结果是（　　）

A．－2 B．2 C．－8 D．15

2．如图，一副三角板放在直线上，，，，点，和点在直线上，，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

3．下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．在研究立体图形的展开图时，下面是四位同学画出的某些立体图形的展开图，根据画出的图形可知，其中是三棱柱的展开图的是（　　）

A． B．

C． D．

5．2022年杭州亚运会以“中国新时代·杭州新亚运”为定位．“中国风范、浙江特色、杭州韵味、共建共享”为目标，秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办会理念，坚持“以杭州为主，全省共享”的办赛原则，高质量推进亚运会筹办工作，某校对亚运知识进行了相关普及，学生会为了了解学生掌握情况，从中抽取50名学生的成绩，列表如下：

根据表格提供的信息可知，这组数据的众数与中位数分别是（　　）A.100分，95分 B.98分，95分 C.98分，98分 D.97分，98分

6．不等式的解集表示在数轴上，其中正确的是（　　）

A． B．

C． D．

7．如图，四边形内接于，连接，．当四边形是菱形时，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

8．某工程队经过招标，中标200千米的修路任务，但在实际开工时……，求实际每天修路多少千米？在这个题目中，若设实际每天修路千米，可得方程．则题目中用“……”表示的条件应是（　　）

A．每天比原计划多修5千米的路，结果延期10天完成

B．每天比原计划少修5千米的路，结果提前10天完成

C．每天比原计划少修5千米的路，结果延期10天完成

D．每天比原计划多修5千米的路，结果提前10天完成

9．如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（　　）

A．或 B．或

C．或 D．或

10．如图，在中，，，，，点在上运动，连接，把沿折叠得到，交于点，，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．因式分解： 　             　．  

12．2022年北京冬奥会圆满结束，以吉祥物“冰墩墩”为主要元素的纪念币也受到市民的热烈欢迎，小明与小红用纪念币有规律地摆出如图所示的图案，其中，第1个图案有5枚纪念币，第2个图案有11枚纪念币，第3个图案有17枚纪念币……，按此规律摆下去，第个图案有　         　枚纪念币（用含的代数式表示）．

13．将二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，所得图象的对应表达式用一般式表示为　          　．

14．如图，正方形的边长为3，连接对角线，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，与交于点，分别以点和为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．过点作的垂线交的延长线于点，则的长为　     　．

15．如图，在中，，，，在的内部作交边于点，，则的面积是　     　．

三、解答题

16．  

（1）计算：．

（2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：

解：原式……第一步

……第二步

……第三步

……第四步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第      ▲ 步是进行分式的通分，通分的依据是      ▲ ；

②第      ▲ 步开始出现错误；

任务二：请写出正确的解答过程．

17．春节期间，小明帮妈妈在小区里开的生活超市销售年货．其中，有一种有机蔬菜进价是38元，加价35%作为标价．小明的妈妈告诉小明这种有机蔬菜按利润率8%销售，小明销售这种蔬菜应打几折？

18．如图1是太原市新换的一批新能源公交车，图2，图3分别是该公交车双开门关闭、打开时的俯视示意图．、、是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴，，，都在涓动轨道上，两门关闭时（图2），，分别在，处，门缝忽略不计（即，重合），两门同时开启，点，分别沿，的方向同时匀速滑动（如图3），当到达时，恰好到达，此时两门完全开启，在门开启的过程中，时，求的度数．

19．在“双减”和“双增”的政策下，某校七年级开设了五门手工课，按照类别分别为：．剪纸；．沙画；．雕刻；．泥塑；．插花，每个学生仅限选择一项，为了了解学生对每种手工课的喜爱程度，随机抽取了七年级部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了　     　名学生；扇形统计图中　     　，类别所对应的扇形圆心角的度数是　     　度；

（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；

（3）在学期结束时，从开设的五门手工课中各选出一名学生谈感悟，由于这五名同学采用随机抽签的方式确定顺序，请用树状图或列表的方式说明剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位谈感受的概率．

20．如图，是半圆的直径，圆心是，点在半圆上，连接，作弦，连接．过点作半圆的切线分别交，的延长线于点、．

（1）求证：；

（2）若，．求弦的长．

21．数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯（Pappus，约300﹣350）把三等分的操作如下：

①以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系；

②在平面直角坐标系中，绘制反比例函数的图象，图象与的边交于点；

③以点为圆心，为半径作弧，交函数的图象于点；

④分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，；

⑤作射线，交于点，得到．

（1）任务一：判断四边形的形状，并证明；

（2）任务二：请证明．

22．综合与探究

问题情境：

数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形，把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点重合，且，连接，．

（1）操作发现：

如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系：

（2）探究发现：

如图2，将菱形绕点按逆时针方向旋转，使点落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）探究拓广：

如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系．

23．综合与实践

如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点，点在抛物线上运动．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积；

（3）当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】A

10．【答案】D

11．【答案】ab(a+1)(a-1)

12．【答案】（6n-1）

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】54

16．【答案】（1）解：原式

．

（2）解：任务一：①二；分式的基本性质（或分式的分子、分母同乘以或除以同一个不为0的整式，分式的大小不变）；②三；任务二：

原式

．

17．【答案】解：设小明销售这种蔬菜应打折．

根据题意，得，

解得．

答：小明销售这种蔬菜应打8折．

18．【答案】解：∵点，分别沿，的方向匀速滑动，当到达时，恰好到达，

∴．

∵，

在和中，

，

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴在中，．

∴．

∴的度数是60º．

19．【答案】（1）120；25；54

（2）解：类别B的人数为120×5%=6

则补全的条形统计图如下图：

（3）解：根据题意，画树状图如下：

由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中，剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位的结果有2种，分别为，．

∴（剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位）．

即：剪纸（）和雕刻（）两人排在前两位的概率是．

20．【答案】（1）证明：如图，连接，和，和交于点．

∵过点作半圆的切线交的延长线于点，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵是半圆的直径，

∴．

∴．

∴．

∴．

（2）解：∵，

∴．

∵，，

∴在中，．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵是半圆的直径，

∴，∠ADB=90°

∴在中，．

∴．

∴．

∴弦的长是．

21．【答案】（1）解：结论：四边形是矩形．

证明：∵分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，，

∴，，．

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴四边形是矩形．

（2）证明：∵矩形的对角线与相交于点，

∴，，．

∴．

∴．

∵是的外角，

∴．

∵以点为圆心，为半径作弧，交函数的图象于点，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

22．【答案】（1）解：

（2）解：（1）中结论成立，理由如下：

证明：∵四边形和四边形是菱形，

∴，．

∵，

∴．

∴．

在和中，

，

∴．

∴．

（3）解：，，理由如下：

理由如下：如图，延长与的延长线交于点．

∵四边形和四边形是菱形，，

∴菱形和菱形是正方形．

∴，，，．

∴，．

∴．

在和中，

，

∴．

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴．

在中，．

∴．

23．【答案】（1）解：点和点代入二次函数，

得：

解得．

∴抛物线的表达式是．

（2）解：如图，连接，过点作轴，作轴．

设点的坐标是．

∴，．

∵，，

∴，．

∴

．

∵，

∴当时，的面积最大且为6．

当时，．

∴点的坐标是，的最大面积是6．

（3）解：∵点在轴上，

∴设点的坐标为：（a，0），点的坐标是．

∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；

点的坐标为：（1，0），（7，0），（，0），（，0）．