2022届安徽省马鞍山二中高三下学期第三次教学质量监测（马鞍山市三模）数学（文）试题含解析

2022届安徽省马鞍山二中高三下学期第三次教学质量监测（马鞍山市三模）数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集U=R，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由图可知阴影部分为，即可求解.

【详解】由图可知阴影部分为，

故选：D

2．已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义判断可得出结论.

【详解】由已知可得，

因此，复数在复平面内所对应的点位于第二象限.

故选：B.

3．新冠疫情防控期间，某市中小学实行线上教学，停课不停学.某校对240名职工线上教学期间的办公情况进行了调查统计，结果如图所示，则下列结论中错误的是（       ）

A．x=5.0

B．从该校任取一名职工，该职工不在家办公的概率为0.525

C．该校休假的职工不超过10名

D．该校在家办公或在校办公的职工不超过200名

【答案】C

【分析】根据扇形图百分比之和等于1可判断A；求出不在家办公的职工百分比可判断B；根据休假的职工、在家办公或在校办公的职工百分比直接计算对应人数可判断CD.

【详解】，A正确；

由图知，在家办公的职工占，所以不在家办公的职工占，故B正确；

该校休假的职工人数为人，故C错误；

在家或在校办公的职工人数为人，故D正确.

故选：C

4．已知函数，则（       ）

A．3 B．9 C．19 D．33

【答案】B

【分析】根据题中刚给出的解析式，直接代入求解即可.

【详解】由题中函数的解析式可得：

由选：B

5．若，，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由平方关系结合已知可得，然后由诱导公式和商数关系可得所求.

【详解】因为，所以

因为，所以

所以.

故选：D

6．从1，2，4，6这四个数字中随机地取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的两位数是4的倍数的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】用列举法写出4的倍数的两位数，得出其个数，再求得所有两位数的个数，由概率公式计算可得．

【详解】所有两位数有：共12个，其中4的倍数的两位数有，，，共4个，

所以所求概率为．

故选：A．

7．等比数列中，已知，，则（       ）

A．31 B．32 C．63 D．127

【答案】A

【分析】根据已知条件，求出公比及首项，从而由等比数列的求和公式即可求解.

【详解】解：因为等比数列中，已知，，设等比数列公比为，

所以，解得，

所以，解得，

所以，

故选：A.

8．被喻为“世界古代八大奇迹”之一的古埃及胡夫金字塔，约建于公元前2580年，完工于前2560年.它的规模是在埃及发现的110座金字塔中最大的.它是一种方底尖顶的石砌建筑物，其形状可视为一个正四棱锥，是一座由一块块大小不等的石料堆砌而成的几乎实心的巨石体，塔底边缘正方形的边长的230米，塔高约147米.每块石料的体积平均约为1.12立方米，则建造胡夫金字塔一共大约需要多少块石料（       ）

A．23万 B．69万 C．230万 D．690万

【答案】C

【分析】先求出金字塔的体积，然后根据石块的体积可数所需要的石块的块数.

【详解】金字塔的体积为立方米

建造胡夫金字塔一共需要的石料

所以大约需要230万块石料

故选：C

9．已知是R上的奇函数，且当时，，若，则（       ）

A．2020 B． C．4045 D．

【答案】D

【分析】由奇函数性质可得，结合已知可得a，然后由奇函数定义可得.

【详解】因为是R上的奇函数，所以

所以，得

所以当时，，

所以.

故选：D

10．某程序框图如下图所示，则执行该程序后输出的结果是（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的S的值．

【详解】模拟程序框图的运行过程：

所以输出的结果为：.

故选：B.

11．已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】由切线长公式得切线长，再由抛物线的性质可得最小值．

【详解】由已知，

由切线长公式得，，

所以．

故选：B．

12．已知AB是半径为2的球O的一条直径，C，D为球O的球面上两点，且，则三棱锥体积的最大值为（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】由，所以点在球的一个截面圆上，且此截面圆与直径垂直，作出图形，利用体积可得，求出截面圆半径，再求得面积的最大值，即可得体积最大值．

【详解】因为，所以点在球的一个截面圆上，且此截面圆与直径垂直，如图，

，

是球直径，则，又，所以，，

平面，平面，则，

，

，

所以当时，取得最大值，此时取得最大值．

故选：D．

二、填空题

13．设向量，满足，，，则___________.

【答案】

【分析】由已知条件，根据即可求解.

【详解】解：因为向量，满足，，，

所以，

所以，

故答案为：0.

14．曲线在处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得；

【详解】解：因为，所以，

，所以，

所以切线方程为，即；

故答案为：

15．已知双曲线E的焦点在x轴上，中心为坐标原点，F为E的右焦点，过点F作直线与E的左右两支分别交于A，B两点，过点F作直线与E的右支交于C，D两点，若点B恰为的重心，且为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为___________.

【答案】

【分析】设双曲线方程为，由重心可知为的一条中线，即可判断点为的中点，则为，分别讨论的两腰，并检验点为重心，即可求解.

【详解】由题，设双曲线方程为，

因为点B恰为的重心，则为的一条中线，

所以点为的中点，则为，

因为为等腰直角三角形，若，则点为左支的顶点，且，

所以设，则，即，

所以，因为，解得，即，

此时，，，所以重心为，

即为，是点，符合题意；

若，则设点为点关于轴的对称点，所以可设，

则，即，所以，解得，即，

此时，，则重心为，即，

又，即重心不在双曲线上，不符合条件，

综上，，

故答案为：2

【点睛】易错点点睛：（1）双曲线的离心率大于1；

（2）对于等腰直角三角形，需讨论哪两条边为腰。

16．长度为的线段，取其中点，分成的两部分长度的乘积为；取其三等分点，分成的两部分长度的乘积之和为；类似地，取其等分点则分成的两部分长度的乘积之和___________.（已知：.）

【答案】

【分析】由题意可知，，然后利用等差数列求和公式以及参考公式化简可得结果.

【详解】由题意可知，，

所以，

.

故答案为：.

三、解答题

17．在中，，，分别为角，，所对的边，.

(1)求；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）方法一利用正弦定理化边为角，即可求解；方法二利用正余弦定理边角互化，即可求解（2），而在上单调递减，所以求的最大值即是求的最小值，而利用余弦定理结合基本不等式即可求解

【详解】(1)由正弦定理，

，

即，所以.

法二：，

所以.

(2)，

当且仅当即时等号成立，

因为，在上单调递减，

所以，即的最大值为.

18．为了研究某果园的一种果树的产量与种植密度的关系，某中学的数学兴趣小组在该果园选取了一块种植区域进行了统计调查，他们将每株果树与其直线距离不超过1米的果树株数x记为其密度，在记录了该种植区域内每株果树的密度后，从中选取密度为0，1，2，3，4的果树，统计其产量的平均值y（单位：kg），得到如下统计表：

(1)小组成员甲认为y与x有很强的线性相关关系，请你帮他利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(2)小组成员乙提出：若利用回归方程计算的平均产量的估计值与实际的平均产量（，）满足：，则应该修正模型，寻找更合适的函数拟合x与y的关系．统计知种植密度分别为5，6的果树的平均产量为5.5kg、4.4kg，请你以这七组数据为依据判断（1）得到的回归方程是否需要修正？

参考公式：，．

【答案】(1)

(2)不需修正

【分析】（1）由已知数据利用最小二乘法的公式可求得线性回归方程；

（2）代入所求得线性回归方程，计算可得结论.

【详解】(1)解： ，，，

故，

所以得线性回归方程为：；

(2)解：令，代入，分别得，

从而，故不需修正．

19．如图，四棱柱所有的棱长均为，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连结，，根据“三线合一”性质可得，利用勾股定理的逆定理可以证明，从而可以证明平面，最后由面面垂直的判定定理即可证明（2）运用等体积法求点到平面的距离

【详解】(1)证明：如图，取中点，连结，，

由题可知是边长为的正三角形，

所以且，

在中，由余弦定理得：

，

从而，于是，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面.

(2)设点到平面的距离为，

在中，，

所以，

，，

由，得.

20．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，连接交轴正半轴于点，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆于点，（不与重合），证明：直线的斜率为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由知为中点，易证，从而得到，将点坐标代入椭圆方程可得结合，即可求解（2）设的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元，利用韦达定理可解出点的横坐标，同理可求点横坐标，代斜率坐标公式化简即得所证

【详解】(1)

由知为中点，又为中点，所以

又，所以，

所以且，结合，解得，

故椭圆标准方程为

(2)设，直线的斜率为，则直线的斜率为，

于是的方程为，的方程为，

代入坐标并作差得，①

另一方面，联立

消得，，

由韦达定理得，，即②

同理可得，③

将①②③代入得，，

故直线的斜率为定值.

21．已知函数.

(1)求函数在上的单调性；

(2)证明：函数在上有两个零点.

【答案】(1)在上单调递增

(2)证明见解析

【分析】（1）求得，分析在上的符号，即可得出结论；

（2）利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.

【详解】(1)解：因为，，

令，则，所以，函数在上单调递增，

当时，，

又因为，所以，当时，，

所以，函数在上单调递增.

(2)证明：当时，令，则，

所以，函数在上单调递增，

因为，，

所以，存在，使得，则.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

由（1）可知，函数在上为增函数，

所以，函数在上为增函数，在上为减函数，

因为，，

，

所以，函数在、上均有一个零点，

所以，函数在上有两个零点.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

(2)已知点，曲线与相交于A，B两点，求．

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）消去参数即可得曲线的普通方程；利用公式即得的直角坐标方程；

（2）把直线的参数方程转化为标准形式，代入曲线的普通方程中，利用参数的几何意义及韦达定理，即得.

【详解】(1)曲线的参数方程为（t为参数），

消去参数 得：．

曲线的极坐标方程为，根据

转换为直角坐标方程为．

(2)曲线的参数方程为（t为参数），

转换为标准式为(为参数)，代入，

得到：，

所以，．

故．

23．已知函数（）.

(1)当a=1时，求不等式的解集．

(2)当时，求的最大值与最小值．

【答案】(1)；

(2)最大值为，最小值为3.

【分析】（1）根据给定条件，分段讨论求解含绝对值符号的不等式作答.

（2）求出函数的表达式，分段去绝对值符号，并求解最值比较作答.

【详解】(1)当时，不等式，于是有：

由，解得，由，解得，由，解得，

综合得：，

所以不等式的解集为．

(2)依题意，，

当时，，当时，取最小值3，

当时，取最大值，因此，

当时，在上单调递增，当时，，当时，，，

所以的最大值为，最小值为3．