安徽省马鞍山市2022届高三下学期第三次教学质量监测（三模）理科数学试题及答案

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2022年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案CBCCDBABABCD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．    14．   15．    16． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．解析：(1) ,,…………………………………4分故 ，得线性回归方程为：……6分（2）令，代入，分别得， 从而， 故不需修正. ……………………………………………12分18．解：（1）解法1：由，得，，两式相减得，整理得.…4分因为，所以，即数列是公差为2的等差数列，由，解得，所以的通项公式为.………………………6分解法2：由题得，即，当 时，又，.得，即，则为以1为首项1为公差的等差数列.                 ………………………4分，又得.……………………………………………6分（2）由（1）知，，则………………………………………………9分所以                  ……………………………………………11分                           ……………………………………………12分19.解：（1）由椭圆的对称性可得点，都在椭圆上或都不在椭圆上，，最多有1个点在椭圆上，，最多有1个点在椭圆上，因为椭圆经过，，，，五个点中的三个，所以，都在椭圆上，不在椭圆上，因为，，所以不在椭圆上，在椭圆上，所以，，所以.所以椭圆的方程为.             …………………………………………………4分（注：考生只要给出椭圆经过的三个点，并以此求出椭圆方程即可得4分。）（2）证明：当直线的斜率不存在时，的方程为.当时，，，所以，所以；当时，同理得.         …………………………………………………6分当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，因为直线与圆相切，所以，即.………………8分由得，，…10分所以 ， 所以.综上所述，所以，所以为直角三角形.               ………………12分20.解：(1)证法一：设，由题知为等边三角形，为直径，，得，，，，得，在中，得在中，，得.易知，则，故.………………………………………………………3分易知，则，又，平面，
又平面，平面平面.…………………………………………6分证法二：设，连接，                    
由平面，平面，  ，由题知，又，
平面，平面，，  ………………………………3分
，，为等边三角形，
，，, 得，，
，则，
又，故平面，
又平面，平面平面.…………………………………………6分（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过点且与直线平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设，则令平面的法向量为，则，取，                               ………………………9分令直线与平面的所成角为，，则，即上存在点，使得.…………………………………………………………12分21. 解：（1）由题，恒成立，即在上恒成立，设 ，恒成立，所以.所以，即.……………………………………………………………………4分（2）,则.①当时，，，，则，在上单调递减，恒成立，无零点.  ……………5分②当时，，函数有零点为0. ……………………………………………6分③当时，设，则恒成立，所以在上单调递增.    ……………7分又，，所以，.即，，单调递减，又，在上恒成立； ，，单调递增.又，由（证略），.所以，，.   …………………………………………………………10分④当时，，，，则，在上单调递增，恒成立，无零点.综上，函数有2个零点.    …………………………………………………………12分注：1.在③中，使用时需给出证明，没有证明扣1分.2.在③中，也可使用估算判断的正负,酌情给分.方法如下：当，，单调递增.又，，所以，，.22. 【解】（1）曲线的参数方程为为参数），消去参数得：．                ………………………………2分曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．                  ………………………………5分（2）曲线的参数方程为为参数），转换为标准式为为参数），代入，得到：，所以，．故．…………………………………………10分【解析】（1）当时， 不等式可化为， ，解得；或，解得； 或，解得 综上可知，不等式的解集为．………………………………………………5分 （2） 当时，， 当时，， 故所求最大值为，最小值为3．…………………………………………………10分