2022届河北省唐山滦县二中部分学校高三迎三模模拟训练数学试题含解析

唐山市部分学校2022年高三迎三模模拟训练

数 学 教 师 卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则集合（    ）

A. B. C. D.

答案：B

解析：集合，集合.故选B.

2.已知（其中i为虚数单位），则复数（    ）

A.             B.             C.             D.

答案：B

解析：由题意可得，故选B.

3.在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与AN所成的角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

答案：C

解析：如图，取BC的中点E，连接MN，EN，AE.因为M，N分别是，的中点，故且.又因为E为BC的中点，所以，所以四边形MNEB为平行四边形，所以.所以直线AN，NE所成的角即为直线BM，AN所成的角.

设，则，

所以，.

在中，.

4.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间(单位：min)，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要.则k的值为（    ）

A. B. C. D.

答案：A

解析：由题意，把，，，代入中得，可得，所以，，因此，.故选：A.

5.已知，则（    ）

A. B. C. D.

答案：A

解析：因为，所以，则，即，所以，故选A.

6.如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（    ）

A. B.6 C. D.4

答案：B

解析：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，

因为，，所以，

所以，，

所以，所以，

所以当，即时，的最小值为.故选B

7.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且，若在以为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A.y=±2x            B. y=±3x           C. y=±4x           D. y=±5x

答案：C

解析：由双曲线定义知

若在以为直径的圆上，即，又因为，

所以，即，从而，，渐近线方程为

8.设函数，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

答案：D

解析：若函数有两个极值点，

则有两个根，即在有两个根，

令，则，

所以当时，，函数为增函数，

当时，，函数为减函数，

又当时，，当时，，，

所以，解得，故选D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法错误的有（    ）

A.已知一组数据的方差为3，则，，，…，的方差也为3

B.对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4

C.已知随机变量X服从二项分布，若，则

D.已知随机变量X服从正态分布，若，则

答案:AD

解析：A:X服从二项分布，由，则，故A错误.

B:因为随机变量X服从正态分布，对称轴为，又，而，所以，则，故B正确；

C:由方差公式，将一组数据中的每个数据都加上同一常数后，方差不变，故C正确；

D:线性回归直线过样本点中心，求得，故D错误；

10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（    ）

A. B. C.2 D.3

答案：BC

解析：根据题意：抛物线C：的焦点为，直线过抛物线C：的焦点，所以，或，或2，故选BC.

11.设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数.则下列说法正确的是（    ）

A.已知，则是间隔递增数列

B.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

C.已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2

D.已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则

答案：ACD

解析：. 对A，，易得是递增数列，则，所以k>3时，一定是间隔递增数列.A正确；

对B，设公比为，则，因为，所以，若，则，不是间隔递增数列.B错误；

对C，，

为奇数时，，显然时，，

为偶数时，，显然时，.C正确；

对D，对恒成立，则恒成立，因为最小间隔是3，所以即对于恒成立，且时， ，于是.D正确.

故选BCD.

12.已知，，且，则下列结论不一定正确的是（    ）

A. B. C. D.

答案：ABC

解析：令，则，
当时，，在上单调递增；
由得：，即，
，，，即，
，即，，D正确；
由知：，，A错误；
，未必正确，B错误；
，未必正确，C错误.故选ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_____．

答案：

解析：因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以，所以的展开式的通项，令，得.所以展开式中的系数为.

14.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则_____________.

答案：2或4

解析：，，.由题知，，则由正弦定理得，

，或，由余弦定理可得或4，或4.

15.已知球O的半径为2，三棱锥四个顶点都在球O上，球心O在平面内，是正三角形，则三棱锥的最大体积为______．

答案：

解析：由于球O的半径为2，是正三角形，所以，，

所以当平面ABC时，三棱锥的体积最大.

三棱锥的最大体积为.

16.定义为取整运算，表示取不超过x的最大整数.设函数的零点为，记，则__________.

答案：1011

解析：，，

在上单调递增.

，，由零点存在性定理得，

使，当时，，，

当时，，

所以

，

所以.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在①，且；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，______________.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

注：若选择多个，则按所选择的第一个记分

解：（1）若选①，

设数列的公差为.

由得

解得所以.

若选②，

当时，，

当时，，满足，

所以.

若选③，

设数列的公差为.

因为，即，所以.

又，所以，解得，

所以.

（2）因为，

所以，

则，

两式相减，得，

所以，所以.

18.（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.

（1）求角A；

（2）若的面积为，外接圆半径为，求的值.

解：（1）因为，

由正弦定理，可得，

即.

又因为，可得，

所以，

又由，可得，

所以，即，所以.

（2）由的外接圆半径为，可得，

又由，解得，

由余弦定理得，

所以，即，解得.

19.（12分）如图，在四棱柱中，平面ABCD，ABCD为矩形，E，F分别在线段，CD上，.

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

解：（1）过点E作，交AB于点H，连接FH，

所以.又因为，所以，所以.

因为平面，平面，所以平面.

又因为，平面，平面，

所以平面.

因为，EH，平面EFH，

所以平面平面.

又因为平面EFH，所以平面.

（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，

则，，.

设平面的法向量为，

则可得令，得.

设平面的法向量为，

则可得令，得.

所以.

由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

20.（12分）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.

（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）；

（2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望.

解：（1）设A类服装、B类服装的单件收益分别为元，元，
则，
，
，故B类服装单件收益的期望更高.

（2）由题意可知，，
，，
，，
.
因为，，
所以当时，n可取的最大值为3.

（元），
因为，
所以（元）.

21.（12分）已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.

解：（1）由椭圆的左右焦点分别为，且，

可知： ，即① ，

将代入方程得： ②，

①②联立解得 ，故椭圆的标准方程为.

（2）设 ，当直线 斜率不存在时，即 ，

由原点为的重心，可知

故可得此时有 ，该点在椭圆上，则 ，

不妨取 ，则有，或，

则此时 ；

当直线 斜率存在时，不妨设方程为 ，

则联立 ，整理得： ，

且需满足 ，

则 ，所以 ，

由原点为的重心知， ，

故坐标为 ，代入到中，

化简得： ，即 ，

又原点为的重心，故到直线的距离为原点到直线距离的3倍，

所以   ，

而

== ，

因此 =，

综合上述可知的面积为定值.

22.（12分）已知函数.

（1）若函数在上恒成立，求a的取值范围；

（2）若是函数的两个零点，证明：.

解：（1）f（x）定义域为，

，即在上恒成立.

令，则.

当时，；当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，.

若函数在上恒成立，则，

a的取值范围是.

（2）证明f（x）=lnx-ax-1，.

∵是的两个零点，

故，两式相减得.

要证，只需证，即证，

即证，证，即成立，

即证成立.不妨设，则，

故只需证.

令，设.

在上单调递增，则，

故，即成立，不等式成立.