【解析版】汕头市东厦中学2022年八年级下期中数学试卷

这是一份【解析版】汕头市东厦中学2022年八年级下期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了精心选一选，认真填一填，把答案写在横线上，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省汕头市东厦中学2022学年八年级下学期期中数学试卷

一、精心选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中最简二次根式为（）
A． B． C． D．

2．（3分）下列式子正确的是（）
A． B． C． =﹣3 D．

3．（3分）用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（）
A． 1cm，2cm，3cm B． cm，cm，cm C． 1cm，2cm，cm D． 2cm，3cm，4cm

4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）
A． AB∥CD，AD=BC B． ∠A=∠B，∠C=∠D C． AB∥CD，∠C=∠A D． AB=AD，CB=CD

5．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）
A． 如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B． 如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C． 如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形
D． 如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形

6．（3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）

A． ﹣1﹣ B． 1﹣ C． ﹣ D． ﹣1+

7．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）

A． 6 B． 8 C． 10 D． 12

8．（3分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

9．（3分）如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？（）

A． 16 B． 24 C． 36 D． 54

10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）

A． B． C． D．


二、认真填一填，把答案写在横线上（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）使在实数范围内有意义，x的取值范围是．

12．（4分）直角三角形两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线等于．

13．（4分）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的中点，若DE=6，则BC=．


14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为．


15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED的最小值为．


16．（4分）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得=．



三、解答题（一）（本题有3小题，每题6分，共18分）
17．（6分）．

18．（6分）如图所示，▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE=CF．


19．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．



四、解答题（二）（本题有3小题，每题7分，共21分）
20．（7分）先化简，再求值：，其中x=2．

21．（7分）如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．


22．中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．



五、解答题（三）（本题有3小题，每题9分，共27分）
23．（9分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF=BF，
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE=BC，S△BFG=5，CD=4，求CG．


24．（9分）观察下列各式及其验证过程：
验证：=；
验证：===；
验证：=；
验证：===．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．

25．（9分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．


26．（12分）如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点．
（1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；
（2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a（cm/s），运动时间为t（s）．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的取值范围．


27．如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：
（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）




广东省汕头市东厦中学2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、精心选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中最简二次根式为（）
A． B． C． D．

考点： 最简二次根式．
分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答： 解：A．被开方数含分母，故A错误；
B．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C．被开方数含分母，故C错误；
D．被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
点评： 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2．（3分）下列式子正确的是（）
A． B． C． =﹣3 D．

考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的性质化简，即可解答．
解答： 解：A、=3，故错误；
B、正确；
C、=2，故错误；
D、=3，故错误；
故选：B．
点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式的性质．

3．（3分）用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（）
A． 1cm，2cm，3cm B． cm，cm，cm C． 1cm，2cm，cm D． 2cm，3cm，4cm

考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．
解答： 解：A、∵12+22≠32，∴不能构成直角三角形；
B、∵2+2≠2，∴不能构成直角三角形；
C、∵12+2=22，∴能构成直角三角形；
D、∵22+32=≠42，∴不能构成直角三角形．
故选C．
点评： 本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．

4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）
A． AB∥CD，AD=BC B． ∠A=∠B，∠C=∠D C． AB∥CD，∠C=∠A D． AB=AD，CB=CD

考点： 平行四边形的判定．
分析： 根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
解答： 解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选D．
点评： 本题主要考查平行四边形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，此题基础题，比较简单．

5．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）
A． 如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B． 如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C． 如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形
D． 如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形

考点： 勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
分析： 直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．
解答： 解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；
B、解得应为∠B=90度，故错误；
C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；
D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．
故选B．
点评： 本题考查了直角三角形的判定．

6．（3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）

A． ﹣1﹣ B． 1﹣ C． ﹣ D． ﹣1+

考点： 勾股定理；实数与数轴．
分析： 点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB=，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．
解答： 解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．
∵在直角△BOC中，OC=2，BC=1，则根据勾股定理知OB===，
∴OA=OB=，
∴a=﹣1﹣．
故选A．

点评： 本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出OA=OB是解题的关键．

7．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）

A． 6 B． 8 C． 10 D． 12

考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
解答： 解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=AE+DE=AE+BE=9．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．
解得AE=4．
∴△ABE的面积为3×4÷2=6．
故选：A．
点评： 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

8．（3分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 矩形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
分析： 求出OA=OC=OD=BD，求出∠ADB=30°，求出∠ABO=60°，得出等边三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根据以上结论推出即可．
解答： 解：∵∠AFC=135°，CF与AH不垂直，
∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=，AB=1，
∴tan∠ADB==，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，∴②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO﹣∠CAH=30°﹣15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
即BE=3ED，∴④正确；
即正确的有3个，
故选C．

点评： 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线定义，定义三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的综合运用，难度偏大，对学生提出较高的要求．

9．（3分）如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？（）

A． 16 B． 24 C． 36 D． 54

考点： 三角形的面积；矩形的性质．
分析： 由于S△ADC=S△AGC﹣S△ADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解．
解答： 解：S△ADC=S△AGC﹣S△ADG
=×AG×BC﹣×AG×BF
=×8×（6+9）﹣×8×9
=60﹣36
=24．
故选：B．
点评： 考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算．

10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）

A． B． C． D．

考点： 矩形的性质；三角形的面积；勾股定理．
专题： 压轴题．
分析： 连接OP，过D作DM⊥AC于M，求出AC长，根据三角形的面积公式求出CM的值，根据S△AOD=S△APO+S△DPO代入求出PE+PF=DM即可．
解答： 解：连接OP，过D作DM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∠ADC=90°
∴OA=OD，
由勾股定理得：AC==5，
∵S△ADC=×3×4=×5×DM，
∴DM=，

∵S△AOD=S△APO+S△DPO，
∴（AO×DM）=（AO×PE）+（DO×PF），
即PE+PF=DM=，
故选B．
点评： 本题考查了矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理的应用，关键是求出PE+PF=DM．

二、认真填一填，把答案写在横线上（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）使在实数范围内有意义，x的取值范围是x≥2．

考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 探究型．
分析： 先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答： 解：∵使在实数范围内有意义，
∴x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评： 本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．

12．（4分）直角三角形两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线等于6.5．

考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
分析： 利用勾股定理求得直角三角形的斜边，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题．
解答： 解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
则根据勾股定理知，AB==13，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD=AB==6.5．
故答案为：6.5．

点评： 本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．即直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方．直角三角形的性质：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．

13．（4分）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的中点，若DE=6，则BC=12．


考点： 三角形中位线定理．
专题： 计算题．
分析： 由于D、E分别为AB、AC边上的中点，那么DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可求BC．
解答： 解：如图所示，
∵D、E分别为AB、AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∴BC=12．
故答案是12．
点评： 本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线等于第三边的一半．

14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为8．


考点： 平行四边形的性质．
分析： 由在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，可得BC﹣AB=3，BC+AB=13，解此方程组即可求得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵△BOC与△AOB的周长之差为3，
∴BC﹣AB=3，
∵平行四边形ABCD的周长为26，
∴BC+AB=13，
∴AB=5，BC=8．
故答案为：8．
点评： 此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED的最小值为．


考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，连接AB′、BE，则BE+ED=B′D的值最小，根据S△ABB′=•AB•B′D=•BB′•AC，即可求出B′D的长．
解答： 解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小．
∵点B关于AC的对称点是B′，BC=5，
∴B′C=5，BB′=10．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB==13．
∵S△ABB′=•AB•B′D=•BB′•AC，
∴B′D===，
∴BE+ED=B′D=．
故答案为．

点评： 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点，本题用到“两点之间，线段最短”及“垂线段最短”的知识，确定D、E两点的位置是解题的关键．

16．（4分）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得=．


考点： 勾股定理．
专题： 规律型．
分析： 根据勾股定理分别列式计算，然后根据被开方数的变化规律解答，再根据三角形的面积公式即可求解．
解答： 解：∵OP=1，OP1=，OP2=，OP3==2，
∴OP4==，
…，
OP2014=，
∴=××1=．
故答案为：．
点评： 本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键，同时考查了三角形的面积．

三、解答题（一）（本题有3小题，每题6分，共18分）
17．（6分）．

考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 根据零指数幂与负整数指数幂的意义得到原式=2﹣1﹣2+2，然后合并即可．
解答： 解：原式=2﹣1﹣2+2
=3．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂与负整数整数幂．

18．（6分）如图所示，▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE=CF．


考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，求出∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF即可．
解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABE≌△CDF，注意：平行四边形的对边平行且相等，难度适中．

19．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．


考点： 平行四边形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出EO=FO，BO=DO，即可得出答案．
解答： 证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AF=EC，则FO=EO，
∴四边形BFDE是平行四边形．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出FO=EO是解题关键．

四、解答题（二）（本题有3小题，每题7分，共21分）
20．（7分）先化简，再求值：，其中x=2．

考点： 分式的化简求值．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=[+]•（x+1）
=[+]•（x+1）
=•（x+1）
=，
当x=2时，原式==．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

21．（7分）如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．


考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理．
分析： 连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．
解答： 解：连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，
∴AC=5cm，
∵CD=12cm，DA=13cm，
AC2+CD2=52+122=169=132=DA2，
∴△ADC为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ACD﹣S△ABC
=AC×CD﹣AB×BC
=×5×12﹣×4×3
=30﹣6
=24．
故四边形ABCD的面积为24cm2．

点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键．

22．中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．


考点： 勾股定理的应用．
分析： （1）由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．
（2）利用第（1）题中的BC=AC设BC=x海里，则AC=x海里．在直角三角形BOC中，BC=x海里、OC=（45﹣x）海里，利用勾股定理列出方程152+（45﹣x）2=x2，解得即可．
解答： 解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；

（2）设BC为x海里，则CA也为x海里，
∵∠O=90°，
∴在Rt△OBC中，BO2+OC2=BC2，
即：152+（45﹣x）2=x2，
解得：x=25，
答：我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．

点评： 本题考查了线段的垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．

五、解答题（三）（本题有3小题，每题9分，共27分）
23．（9分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF=BF，
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE=BC，S△BFG=5，CD=4，求CG．


考点： 矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
分析： （1）求出∠BAE=90°，根据矩形的判定推出即可；
（2）求出△BGE面积，根据三角形面积公式求出BG，得出EG长度，根据勾股定理求出GH，求出BE，得出BC长度，即可求出答案．
解答： （1）证明：∵F为BE中点，AF=BF，
∴AF=BF=EF，
∴∠BAF=∠ABF，∠FAE=∠AEF，
在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF=180°，
∴∠BAF+∠FAE=90°，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形；


（2）解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵F为BE的中点，FG⊥BE，
∴BG=GE，
∵S△BFG=5，CD=4，
∴S△BGE=10=BG•EH，
∴BG=GE=5，
在Rt△EGH中，GH==3，
在Rt△BEH中，BE==4=BC，
∴CG=BC﹣BG=4﹣5．
点评： 本题考查了矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，有一定的难度．

24．（9分）观察下列各式及其验证过程：
验证：=；
验证：===；
验证：=；
验证：===．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．

考点： 算术平方根．
专题： 规律型．
分析： （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a=（a≥0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．
解答： 解：（1）．验证如下：
左边=====右边，
故猜想正确；

（2）．证明如下：
左边=====右边．
点评： 此题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质．观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．

25．（9分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．


考点： 矩形的判定；平行四边形的判定；梯形．
专题： 动点型．
分析： （1）设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP=CQ，代入后求出即可；
（2）设经过ts时，四边形PQBA是矩形，根据AP=BQ，代入后求出即可；
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形，利用EP=2列出有关t的方程求解即可．
解答： 解：（1）设经过x（s），四边形PQCD为平行四边形
即PD=CQ
所以24﹣x=3x，
解得：x=6．

（2）设经过y（s），四边形PQBA为矩形，
即AP=BQ，
所以y=26﹣3y，
解得：y=．

（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．
过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，
∴∠QEP=∠DFC=90°
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴PQ=DC．
又∵AD∥BC，∠B=90°，
∴AB=QE=DF．
在Rt△EQP和Rt△FDC中，
，
∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．
∴FC=EP=BC﹣AD=26﹣24=2．
又∵AE=BQ=26﹣3t，
∴EP=AP﹣AE=t﹣（26﹣3t）=2．
得：t=7．
∴经过7s，PQ=CD．
点评： 此题主要考查平行四边形、矩形及等腰梯形的判定掌握情况，本题解题关键是找出等量关系即可得解．

26．（12分）如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点．
（1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；
（2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a（cm/s），运动时间为t（s）．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的取值范围．


考点： 平行四边形的判定与性质．
专题： 动点型．
分析： （1）首先连解AC，AC交BD于O，易证得AC、MN互相平分；即可判定四边形AMCN为平行四边形；
（2）由要使四边形AMCN为平行四边形，即OM=ON，可得a=2；又由当M、M重合于点O，即t===3时，则点A、M、C、N在同一直线上，不能组成四边形，且当点M由A运动到点D时，t=12÷2=6，即可求得答案．
解答： （1）证明：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BM=DN，
∴OB﹣BM=OD﹣DN，
∴OM=ON，
∴四边形AMCN为平行四边形；

（2）解：要使四边形AMCN为平行四边形，即OM=ON，
∴a=2；
∵当M、M重合于点O，即t===3时，则点A、M、C、N在同一直线上，不能组成四边形，且当点M由B运动到点D时，t=12÷2=6，
∴当0≤t＜3或3＜t≤6时，四边形AMCN为平行四边形．

点评： 此题考查了平行四边形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

27．如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：
（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t=，，，． 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）


考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何动点问题．
分析： （1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
解答： 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵CQ=1cm，AP=2cm，
∴AB=6﹣2=4cm．
∴S==5cm2．
答：四边形BCQP面积是5cm2；

（2）如图1，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．
∵AP=2t，
∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4=9，
解得：t=．
如图2，作PE⊥CD于E，
∴∠PEQ=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．
∵CQ=t，
∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
（3t﹣6）2+4=9，
解得：t=．
综上所述：t=或；

（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．
∵AP=2t，
∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．
∵PQ=DQ，
∴PQ=6﹣t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，
解得：t=．
如图4，当PD=PQ时，
作PE⊥DQ于E，
∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE=BC=2cm．
∵DQ=6﹣t，
∴DE=．
∴2t=，
解得：t=；
如图5，当PD=QD时，
∵AP=2t，CQ=t，
∴DQ=6﹣t，
∴PD=6﹣t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2=（6﹣t）2，
解得t1=，t2=（舍去）．
综上所述：t=，，，．
故答案为：，，，．



点评： 本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．