苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积课后复习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积课后复习题，共10页。试卷主要包含了几种特殊的多面体，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
空间图形的表面积1．几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱．(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．2．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积几何体直观图侧面展开图侧面积直棱柱S直棱柱侧＝ch正棱锥S正棱锥侧＝ch′正棱台S正棱台侧＝(c＋c′)h′圆柱S圆柱侧＝cl＝2πrl圆锥S圆锥侧＝cl＝πrl圆台S圆台侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)l 1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为(　　)A．1∶2    B．1∶1    C．1∶4    D．1∶3【解析】选B.以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1.2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)A．4π    B．3π    C．2π    D．π【解析】选C.底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.3．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．【解析】正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.答案：484．(教材练习改编)侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为________．【解析】底面边长为a，则斜高为，故S侧＝3××a×a＝a2.而S底＝a2，故S表＝a2.答案：a25．一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．【解析】设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝，底面周长c＝2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2＝4πS.答案：4πS6．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2)【解析】如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．在Rt△SAE中，SA＝2.3 m，AE＝1.35 m，所以SE＝(m)，而底面周长＝4×2.7＝10.8(m)，所以S棱锥侧＝×10.8×≈10.1(m2).故需要油毡纸约10.1 m2.一、单选题1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为(　　)A．    B．C．    D．【解析】选A.设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.2．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台OO′的侧面积是(　　)A．54π    B．8πC．4π    D．16π【解析】选A.S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π×(7＋2)×6＝54π.3．已知直三棱柱ABC­A′B′C′中，底面为等边三角形，D为BC的中点，平面AA′D截该三棱柱所得的截面是面积为9的正方形，则该三棱柱的侧面积是(　　)A．6    B．9    C．18    D．30【解析】选C.由题得截面正方形的边长为3，所以直三棱柱的侧棱为3，底面三角形的高为3，所以底面正三角形的边长为2，所以该三棱柱的侧面积是3×2×3＝18.4．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的表面积为(　　)A．90 cm2    B．36 cm2C．72 cm2    D．54 cm2【解析】选A.由题意侧棱长为＝6(cm).所以表面积为：S＝4×3×6＋2×32＝90(cm2).5．(2021·烟台高一检测)一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为(　　)A．1∶1    B．2∶1C．1∶2    D．3∶1【解析】选B.圆柱的表面积S1＝πa·a＋2·π＝πa2；圆锥的表面积S2＝π··a＋π＝πa2，故＝.6．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的表面积为(　　)A．90＋72    B．90＋27C．90＋72    D．90＋27【解析】选A.由题意可得，上底面的面积为9，下底面的面积为81，侧面的高为＝3，所以该正四棱台的表面积为9＋81＋4×＝90＋72.二、多选题7．若圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该圆柱体的表面积可以是(　　)A．＋8    B．＋8C．＋8    D．＋8【解析】选BD.由题知圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则分两种情况：当母线长为4时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的表面积是＋8；当母线长为2时圆柱的底面半径是，此时圆柱的表面积是＋8.8．下列说法正确的有(　　)A．多面体的表面积等于各个面的面积之和B．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的C．沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等D．多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和【解析】选AD.A正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和．B错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形．C错误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形．但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的．D正确．多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和．三、填空题9．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9.答案：910．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的表面积是________．【解析】由题意可知，2πr＝h＝2π，则r＝1，所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π2.答案：2π＋4π2四、解答题11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【解析】方法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm.即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x cm，所以A′D＝AD＝2x cm，又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.方法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心).在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，又SO′＝A′O′＝x cm，所以OO′＝2x cm.又S轴截面＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm，21 cm.12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D­ABC的表面积．【思路导引】(1)利用面面垂直的判定定理证明；(2)平面ABC为等边三角形，其余各面均是直角三角形．【解析】(1)因为折起前AD是BC边上的高，所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，因为DB＝DA＝DC＝1，所以AB＝BC＝CA＝，从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，S△ABC＝××＝，故三棱锥D­ABC的表面积S＝×3＋＝.一、选择题1．正三棱锥底面边长为a，高为a，则此正三棱锥的侧面积为(　　)A．a2      B．a2C．a2    D．a2【解析】选A.因为底面正三角形中高为a，其重心到顶点距离为a×＝a，且棱锥高a，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为＝a，斜高为＝，所以侧面积为S＝3×a×a＝a2.2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为(　　)A．8    B．12    C．16    D．20【解析】选B.由题意得侧面三角形底边上的高为＝2，所以该正四棱锥的全面积为22＋4××2×2＝12.3．(2021·新高考I卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)A．2    B．2    C．4    D．4【解析】选B.设母线长为l，则底面周长为2π，其侧面展开图半周长为πl，故πl＝2π，所以l＝2.4．(多选)等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为(　　)A．π    B．(1＋)πC．2π    D．(2＋)π【解析】选AB.如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，所以所形成的几何体的表面积是S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝(＋1)π.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π××1＝π.综上可知，形成几何体的表面积是(＋1)π或π.二、填空题5．一个长方体的长、宽、高分别为9，8，3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．【解析】由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面积和，即2πr×3＝2πr2，所以r＝3.答案：36．已知正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为4 cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________；侧面积为________；全面积为________．【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE.因为OE＝2 cm，∠OPE＝30°，所以斜高PE＝＝＝4(cm)，所以S正四棱锥侧＝×4×4×4＝32(cm2)，S正四棱锥全＝42＋32＝48(cm2).答案：4 cm　32 cm2　48 cm27．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________．【解析】由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h＝＝12(cm)，所以S侧＝4××(8＋18)×12＝624(cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积为S＝624＋64＋324＝1 012(cm2).答案：1 012 cm28．已知正方体的8个顶点中，其中有4个顶点为各侧面均为等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为________.【解析】三棱锥B′­ACD′为适合条件的三棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝，S△B′AC＝.三棱锥的表面积S锥＝4×＝2，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝2∶6＝1∶.答案：1∶三、解答题9．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？【解析】如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).故圆台的表面积为1 100π cm2.10．如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短距离为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1)该正三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)此棱柱的表面积．【解析】(1)正三棱柱ABC­A1B1C1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形其对角线长为＝.(2)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P移动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．设PC＝x，即P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3＋x)2＋22＝29求得x＝2(负值舍去)，所以PC＝P1C＝2.因为＝＝，所以NC＝.(3)棱柱的表面积：S＝S侧＋2S底＝9×4＋2×××32＝.