新人教A版高考数学二轮复习专题八立体几何5空间向量及其在立体几何中的应用创新集训含解析

空间向量及其在立体几何中的应用

应用篇

【应用集训】

1.(多选题)(2020山东滨州模拟,10)

已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD相交于点O,将△ABD沿BD折起,使顶点A至点M,在折起的过程中,下列结论正确的是              (　　)

A.BD⊥CM

B.存在一个位置,使△CDM为等边三角形

C.DM与BC不可能垂直

D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°

答案　ABD

2.(2020河北衡水中学七调,11)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是对角线AC1上的点(点M与A、C1不重合),则下列结论正确的个数为              (　　)

①存在点M,使得平面A1DM⊥平面BC1D;

②存在点M,使得DM∥平面B1CD1;

③若△A1DM的面积为S,则S∈;

④若S1、S2分别是△A1DM在平面A1B1C1D1与平面BB1C1C的正投影的面积,则存在点M,使得S1=S2.

A.1　　B.2　　C.3　　D.4

答案　C

3.(2020湖北襄阳优质高中联考,18)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,∠ABC=60°,E为棱BC的中点,F为棱PC的动点.

(1)求证:AE⊥平面PAD;

(2)若锐二面角E-AF-C的正弦值为,求点F的位置.

4.(2019安徽六安一中4月月考,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.

(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;

(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.

5.(2019北京怀柔一模文,18)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC,D,E分别为PA,AC的中点.

(1)求证:DE∥平面PBC;

(2)求证:BC⊥平面PAB;

(3)在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.

1.如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°.

(1)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;

(2)已知点D满足=+,在直线AA1上是否存在点P,使DP∥平面AB1C?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

解析　(1)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于点O,连接BO,∴A1O⊥平面ABC.

又∠A1AC=60°,且各棱长都相等,∴AO=1,OA1=OB=,BO⊥AC.故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

则A(0,-1,0),B1(,1,),A1(0,0,),C(0,1,0),

∴=(0,1,),=(,2,),=(0,2,0).

设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z),

则

取z=1,得n=(-1,0,1).

设侧棱AA1与平面AB1C所成的角为θ,

则sinθ=|cos<,n>|===,

∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值为.

(2)∵点B的坐标为(,0,0),

∴=(-,-1,0),=(-,1,0),

∵=+,∴=(-2,0,0),

∴点D的坐标为(-,0,0).

假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y1,z1),

∴=(,y1,z1).

∵DP∥平面AB1C,且n=(-1,0,1)为平面AB1C的一个法向量,∴-+z1=0,即z1=.

易知与共线,故设=λ,∴

∴y1=0.

又DP⊄平面AB1C,故存在点P,使DP∥平面AB1C,其坐标为(0,0,),即恰好为A1点.

2.(2018青海西宁湟中一中月考,18)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且BC=BB1=,∠A1AB=∠A1AD=60°.

(1)求证:BD⊥CC1;

(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.

解析　(1)证明:连接A1B,A1D,AC,因为AB=AA1=AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,

所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B=A1D.

设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,

又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC=O,所以BD⊥平面A1AC.

又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.

(2)由A1B=A1D=,及BD=AB=2,知A1B⊥A1D,

于是AO=A1O=BD=AA1,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩BD=O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直,如图,以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,

则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1),C(-1,0,0),=(0,2,0),==(-1,0,1),==(-1,1,0),

由==(-1,0,1),得D1(-1,-1,1).

设=λ(λ∈[0,1]),

易知E(-λ-1,λ-1,1),

所以=(-λ-1,λ,1).

设平面B1BD的法向量n=(x,y,z),

由得令x=1,得n=(1,0,1),

设直线DE与平面BDB1所成角为θ,

则sinθ=|cos<,n>|==,解得λ=或λ=-(舍去),

所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.

3.(2019湖北七市(州)教科研协作体3月联考,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=3,AC=2,点E是PD的中点.

(1)求证:PB∥平面AEC;

(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M-AC-E的余弦值为?若存在,确定M的位置;若不存在,请说明理由.

解析　(1)证明:连接BD交AC于点F,连接EF,如图,

在△PBD中,由已知得EF∥PB, (2分)

又EF⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,

∴PB∥平面AEC. (4分)

(2)由题意知,AC,AB,AP两两垂直,如图,以A为坐标原点,以AC,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.

则C(2,0,0),D(2,-3,0),P(0,0,3),B(0,3,0),E,

设M(x0,y0,z0),=λ(0<λ<1),

则(x0,y0,z0-3)=λ(0,3,-3),得M(0,3λ,3-3λ), (6分)

设平面AEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),

由n1·=0,n1·=0,=,=(2,0,0),

得取y1=1,得n1=(0,1,1).

设平面MAC的法向量为n2=(x2,y2,z2),

由n2·=0,n2·=0,=(0,3λ,3-3λ),=(2,0,0),

得取z2=1,得n2=. (9分)

设二面角M-AC-E的大小为θ,

∵二面角M-AC-E的余弦值为,∴θ为锐角,

则cosθ===, (10分)

化简得9λ2-9λ+2=0,解得λ=或λ=.

易知λ=时,θ为钝角,∴λ=,∴=.

故=时,二面角M-AC-E的余弦值为. (12分)

4.(2020天津北辰第一次诊断测试,17)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,四边形ADPQ是梯形,PD∥QA,∠PDA=,平面ADPQ⊥平面ABCD,且AD=PD=2QA=2.

(1)求证:QB∥平面PDC;

(2)求二面角C-PB-Q的大小;

(3)已知点H在棱PD上,且异面直线AH与PB所成角的余弦值为,求线段DH的长.

解析　本题考查线面平行、二面角,考查立体几何中的探索性问题.

∵平面ADPQ⊥平面ABCD,平面ADPQ∩平面ABCD=AD,PD⊂平面ADPQ,∠PDA=,∴直线PD⊥平面ABCD.

以点D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,0),Q(2,0,1),P(0,0,2).

(1)证明:易知=(-2,0,0)是平面PDC的一个法向量,

=(0,2,-1),∴·=0,

又直线QB⊄平面PDC,∴QB∥平面PDC.

(2)=(2,2,-2),=(0,2,-2),设n1=(x1,y1,z1)为平面PBC的法向量,则即

不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).

设n2=(x2,y2,z2)为平面PBQ的法向量,

=(2,2,-2),=(2,0,-1),

则即

不妨设z2=2,可得n2=(1,1,2),

∴cos<n1,n2>==,又知二面角C-PB-Q为钝二面角,∴二面角C-PB-Q的大小为.

(3)设H(0,0,h)(0≤h≤2),则=(-2,0,h),=(2,2,-2),

|cos<,>|=,即=,∴6h2-25h+24=0,解得h=或h=(舍去).故线段DH的长为.

创新篇

【创新集训】

1.(多选题)(2020山东青岛三模)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1上运动,则下列命题中正确的是              (　　)

A.若点P总满足PA⊥BD1,则动点P的轨迹是一条直线

B.若点P到点A的距离为,则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆

C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆

D.若点P到直线AD与到直线CC1的距离相等,则动点P的轨迹是双曲线

答案　ABD

2.(2020湖北荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联盟联考,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,下列命题正确的个数是              (　　)

①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为;

②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为;

③若P在半圆弧上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;

④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为.

A.1　　B.2　　C.3　　D.4

答案　C

3.(2020湖南湘东六校联考,19)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.

(1)证明:直线BC∥平面OEF;

(2)在线段DF上是否存在一点M,使得二面角M-OE-D的余弦值是?若不存在,请说明理由;若存在,请求出M点所在的位置.