【解析版】2022年济南市济微中学八年级下期末数学试卷

这是一份【解析版】2022年济南市济微中学八年级下期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年山东省济南市济微中学八年级（下）期末数学试卷
　
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．方程：①，②2x2﹣5xy+y2=0，③7x2+1=0，④中一元二次方程是（　　）
　 A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和③
　
2．已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为（　　）
　 A． 4 B． 12 C． 24 D． 28
　
3．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
　 A． AB=CD，AD=BC B． AB=CD，AB∥CD C． AB=CD，AD∥BC D． AB∥CD，AD∥BC
　
4．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（　　）
　 A． 173（1+x%）2=127 B． 173（1﹣2x%）=127 C． 173（1﹣x%）2=127 D． 127（1+x%）2=173
　
5．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（　　）
　 A． B． C． D．
　
6．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（　　）

　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 4
　
7．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　）

　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 12
　
8．关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（　　）
　 A． k为任何实数，方程都没有实数根
　 B． k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
　 C． k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
　 D． 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
　
9．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（　　）

　 A． S△AFD=2S△EFB B． BF=DF
　 C． 四边形AECD是等腰梯形 D． ∠AEB=∠ADC
　
10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（　　）

　 A． 1 B． C． 2 D． +1
　
11．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）

　 A． 48cm B． 36cm C． 24cm D． 18cm
　
12．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH中，正确的是（　　）

　 A． ①②④ B． ①②③ C． ②③④ D． ①②③④
　
　
二、填空题（本大题共6个小题.每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.）
13．若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为　　　　　　．
　
14．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为　　　　　　．
　
15．为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼　　　　　　条．
　
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间　　　　　　秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

　
17．如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p1，p2，…，p2013，过pi（i=1，2，…，2013）作PiEi⊥AB于Ei，PiFi⊥AD于Fi，则P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2013E2013+P2013F2013的值为　　　　　　．

　
18．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是　　　　　　．

　
　
三、解答题（本大题共9个小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1=0．
（2）．
　
20．小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用数状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
　
21．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
　
22．如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？

　
23．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．

　
24．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．

　
25．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D．
（1）如图1，若CA=CB，则∠D=　　　　　　度；
（2）如图2，若CA≠CB，求∠D的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，AD与BC相交于点F，过B作BG⊥DF，过D作DH⊥BF，垂足分别为G，H，BG，DH相交于点M．若FG=2，DG=4，求BH的长．

　
26．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？
　
2）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

　
　

2022学年山东省济南市济微中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．方程：①，②2x2﹣5xy+y2=0，③7x2+1=0，④中一元二次方程是（　　）
　 A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和③

考点： 一元二次方程的定义．
分析： 本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答： 解：①不是整式方程，故错误；
②含有2个未知数，故错误；
③正确；
④正确．
则是一元二次方程的是③④．故选C．
点评： 一元二次方程必须满足四个条件：首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．
　
2．已知平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长为（　　）
　 A． 4 B． 12 C． 24 D． 28

考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）=32，
∴BC=12．
故选B．
点评： 本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
　
3．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
　 A． AB=CD，AD=BC B． AB=CD，AB∥CD C． AB=CD，AD∥BC D． AB∥CD，AD∥BC

考点： 平行四边形的判定．
分析： A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．
解答： 解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，
故选：C．
点评： 平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
　
4．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（　　）
　 A． 173（1+x%）2=127 B． 173（1﹣2x%）=127 C． 173（1﹣x%）2=127 D． 127（1+x%）2=173

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用173（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答： 解：当商品第一次降价x%时，其售价为173﹣173x%=173（1﹣x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为173（1﹣x%）﹣173（1﹣x%）x%=173（1﹣x%）2．
∴173（1﹣x%）2=127．
故选C．
点评： 本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．
　
5．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 列表法与树状图法．
专题： 转化思想．
分析： 列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．
解答： 解：

∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，
∴两次都摸到红球的概率是=．
故选：C．
点评： 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
6．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（　　）

　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 4

考点： 矩形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
分析： 因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．
解答： 解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴BE=CD=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．
故选A．

点评： 本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．
　
7．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　）

　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 12

考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．
解答： 解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN=OM：PF，
∵EF=x，MO=3，PN=4，
∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，
∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），
∴（x﹣3）（x﹣4）=12，即x2﹣4x﹣3x+12=12，
∴x=0（不符合题意，舍去），x=7．
故选C．

点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．
　
8．关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（　　）
　 A． k为任何实数，方程都没有实数根
　 B． k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
　 C． k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
　 D． 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

考点： 根的判别式．
分析： 先计算判别式的值得到△=（2k﹣1）2+3，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义进行判断．
解答： 解：△=4k2﹣4（k﹣1）
=（2k﹣1）2+3，
∵（2k﹣1）2≥0，
∴（2k﹣1）2+3＞0，
即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
9．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（　　）

　 A． S△AFD=2S△EFB B． BF=DF
　 C． 四边形AECD是等腰梯形 D． ∠AEB=∠ADC

考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．
解答： 解：A、∵AD∥BC
∴△AFD∽△EFB
∴===
故S△AFD=4S△EFB；
B、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．
C、由∠AEC=∠DCE可知正确．
D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．
故选：A．
点评： 解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．
　
10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（　　）

　 A． 1 B． C． 2 D． +1

考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴P′Q=CP′=BC•sinB=2×=．
故选：B．

点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
11．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　　）

　 A． 48cm B． 36cm C． 24cm D． 18cm

考点： 菱形的性质；平行四边形的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和．
解答： 解：由题意得：S⑤=S四边形ABCD﹣（S①+S②+S③+S④）=4cm2，
∴S菱形EFGH=14+4=18cm2，
又∵∠F=30°，
设菱形的边长为x，则菱形的高为sin30°x=，
根据菱形的面积公式得：x•=18，
解得：x=6，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm．
故选A．
点评： 本题考查了菱形的性质及平行四边形的知识，难度较大，关键是求出菱形的面积，解答本题需要用到平行四边形的对角线平分平行四边形的面积．
　
12．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH中，正确的是（　　）

　 A． ①②④ B． ①②③ C． ②③④ D． ①②③④

考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： 由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD•DH．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正确；
在HD上截取HK=AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK=AH，∠AKH=60°，
∴∠AKD=∠AHC=120°，
在△AKD和△AHC中，
，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH=DK，
∴DH=HK+DK=AH+CH；
故③正确；
∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH=OD：AD，
∴AD2=OD•DH．
故④正确．
故选D．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
　
二、填空题（本大题共6个小题.每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.）
13．若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为　±　．

考点： 一元二次方程的解．
分析： 方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．
解答： 解：把x=2代入方程x2﹣x﹣a2+5=0得：
4﹣2﹣a2+5=0，
解得：a=±．
故答案为：±．
点评： 本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．
　
14．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为　7　．

考点： 根与系数的关系．
分析： 根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解．
解答： 解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；
原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．
故答案为：7．
点评： 熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．
　
15．为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼　20 000　条．

考点： 用样本估计总体．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 捕捞200条，其中有标记的鱼有10条，即在样本中有标记的所占比例为，而在整体中有标记的共有1000条，根据所占比例即可解答．
解答： 解：1000=20 000（条）．
故答案为：20000．
点评： 本题考查的是通过样本去估计总体．
　
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间　2或　秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．


考点： 梯形；平行四边形的性质．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD=QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
解答： 解：由已知梯形，
（1）当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t﹣=6﹣t，
解得：t=，

（2）当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
﹣2t=6﹣t，
解得：t=2，
故答案为：2或．

点评： 此题考查的知识点是梯形及平行四边形的性质，关键是由已知明确有两种情况，不能漏解．
　
17．如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p1，p2，…，p2013，过pi（i=1，2，…，2013）作PiEi⊥AB于Ei，PiFi⊥AD于Fi，则P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2013E2013+P2013F2013的值为　2013　．


考点： 菱形的性质．
专题： 规律型．
分析： 连接AP1，根据菱形性质得出AB=AD，AO=OC=AC=1，AC⊥BD，得出代表性三角形ABD，推出AD=AB=BD，根据三角形面积公式求出P1E1+P1F1=P2E2+P2F2=P3E3+P3F3=P4E4+P4F4=…=AO=1，求出即可．
解答： 解：连接P1A，设AC与BD相交于点O
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=OC=AC=×2=1，AC⊥BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，
∵S△ABD=S+S，
∴×BD×AO=AB×P1E1+×AD×P1F1，
∴P1E1+P1F1=AO=1，
同理P2E2+P2F2=P3E3+P3F3=P4E4+P4F4=…=AO=1，
∴P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2013E2013+P2013F2013的值为2013×1=2013，
故答案为：2013．

点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，关键是求出P1E1+P1F1=P2E2+P2F2=P3E3+P3F3=P4E4+P4F4=…=AO=1．
　
18．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是　　．


考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，求出BE、BF、EF，根据相似得出CH=1，EH=，根据三角形的面积公式求△DFH的面积，即可求出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，AB∥CD，AB=CD=3，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=2，
∵∠B=60°，EF⊥AB，
∴∠FEB=30°，
∴BF=1，
由勾股定理得：EF=，
∵AB∥CD，
∴△BFE∽△CHE，
∴====1，
∴EF=EH=，CH=BF=1，
∵S△DHF=DH•FH=×（1+3）×2=4，
∴S△DEF=S△DHF=2，
故答案为：2．
点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
　
三、解答题（本大题共9个小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1=0．
（2）．

考点： 解一元二次方程-配方法；解分式方程．
分析： （1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先方程两边都乘以x﹣2得出1=x﹣1﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
解答： 解：（1）x2﹣2x﹣1=0，
x2﹣2x+1=2，
（x﹣1）2=2，

∴，；

（2），
方程两边斗乘以x﹣2得：1=x﹣1﹣3（x﹣2），
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，
所以x=2不是原方程的解，
即原方程无解．
点评： 本题考查了解一元二次方程和解分式方程的应用，解（1）小题的关键是配方，解（2）小题的关键是能把分式方程转化成整式方程，难度适中．
　
20．小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用数状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．

考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）根据（1）求得哥哥去的概率，比较概率的大小，即可知游戏规则是否公平．
解答： 解：（1）画树状图得：

一共有16种结果，每种结果出现的可能性相同．
和为偶数的概率为=，
所以小莉去上海看世博会的概率为；
（2）由（1）列表的结果可知：小莉去的概率为，哥哥去的概率为，所以游戏不公平，对哥哥有利．
游戏规则改为：若和为偶数则小莉得（5分），若和为奇数则哥哥得（3分），则游戏是公平的．
点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
　
21．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？

考点： 一元二次方程的应用．
分析： 根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）=10求出即可．
解答： 解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）=10．
化简，整理，的x2﹣3x+2=0．
解这个方程，得x1=1，x2=2，
则3+1=4，2+3=5，
答：每盆应植4株或者5株．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
　
22．如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？


考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 可设正方形观光休息亭的边长为x米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
解答： 解：设正方形观光休息亭的边长为x米．
依题意，有（100﹣2x）（50﹣2x）=3600
整理，得x2﹣75x+350=0
解得x1=5，x2=70
∵x=70＞50，不合题意，舍去，
∴x=5．
答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米．
点评： 判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出种植花草部分的长和宽是解题的关键．
　
23．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．


考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB=DC，⇒∠ABF=∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠ABF=∠ECF，
∵EC=DC，∴AB=EC，
在△ABF和△ECF中，
∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴△ABF≌△ECF（AAS）．

（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
点评： 此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
　
24．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．


考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，
（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
解答： 证明：（1）在平行四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴DF=DC，BE=AB
∴DF∥BE，DF=BE
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF；

（2）∵AG∥BD，
∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC 为直角三角形，
又∵F为边CD的中点，
∴BF=DC=DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定．解题时，需要掌握平行四边形与菱形间的相互联系，难度适中．
　
25．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D．
（1）如图1，若CA=CB，则∠D=　45　度；
（2）如图2，若CA≠CB，求∠D的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，AD与BC相交于点F，过B作BG⊥DF，过D作DH⊥BF，垂足分别为G，H，BG，DH相交于点M．若FG=2，DG=4，求BH的长．


考点： 相似形综合题．
分析： （1）根据∠DBE是△ABD的外角，以及三角形外角和定理即可求解；
（2）根据AD平分∠CAB，BD平分∠CBE即可得到：∠BAD=∠CAB，∠DBE=∠CBE=∠DAB+45°，然后在△ABD中，利用三角形外角和定理即可求得；
（3）证明△DHF∽△BGF，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解答： 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠CBE=180°﹣45°=135°，∠DAB=∠CAB=22.5°，
∴∠DBE=∠CBE=67.5°
∴∠D=∠DBE﹣∠DAB=45°；

（2）∵∠CBE是Rt△ABC的外角
∴∠CBE=90°+∠CAB
又∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBE
∴∠BAD=，∠DBE=
又∵∠DBE=∠DAB+∠D
∴∠D=45°

（3）∵∠ADB=45°，BG⊥DF
∴BG=DG=4
在Rt△BGF中，BF==2，
∵BG⊥DF，DH⊥BF
∴∠DFB+∠FDH=∠DFB+∠FBG=90°
∴∠FDH=∠FBG
又∵∠BGF=∠DHF=90°
∴△DHF∽△BGF
∴
∴，
点评： 本题考查了三角形外角的性质定理，相似三角形的判定与性质的综合应用，正确证明△DHF∽△BGF是关键．
　
26．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？

考点： 分式方程的应用．
分析： 首先设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，则第二块试验田每亩收获蔬菜（x+300）千克，根据关键语句“有两块面积相同的试验田”可得方程=，再解方程即可．
解答： 解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，由题意得：
=，
解得：x=450，
经检验：x=450是原分式方程的解，
答：第一块试验田每亩收获蔬菜450千克．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程．
　
2）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．


考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；
（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；
（3）首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴∠B=∠FDC，
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．

（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE=GF，
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．

（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC．…（7分）
∵∠DCE=45°，
根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．…（8分）
∴10=4+DG，
即DG=6．
设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，
在Rt△AED中，
∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．
解这个方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．…（9分）
∴AB=12．
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AB=×（6+12）×12=108．
即梯形ABCD的面积为108．…（10分）

点评： 此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．