2021宁德高中同心顺联盟校高一下学期期中考试数学试题含答案

2020-2021学年宁德市“同心顺”第二学期期中联合考试参考答案

高一数学

第Ⅰ卷（选择题）（共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1．复数的共轭复数为(　　)

A．           B．       C．       D．

答案：C　

2． 如右图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（   ）

A．        B．      

C．         D．

答案B

3．在中，若,则（    ）

A． B． C． D．

答案A

4．在△中，为边上的中线，为的中点，则(    )

A．     B．     C．       D．

答案A

5．已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案：D　

6．若平面向量与满足：，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

答案D

7．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，与轴交于点，其中，，则原图形的面积是　　

A．     B．       C．      D．

答案B

8．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b+a，c－a)．

若p∥q，则角C的大小为(　　)

A.           B.            C.          D.

答案　C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系可以是（    ）

A．相交 B．平行 C．异面          D．重合

答案：AC

10．下列关于平面向量的说法中不正确的是（    ）

A．，,若与共线,则

B．若，，则

C．若均为非零向量，则

D．若点为的重心，则

答案：ACD

11．满足及的复数可以是（    ）

A．        B．       C．        D．

答案AB

12.对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若，则为等腰三角形

B．在锐角中，一定有

C．若，，，则符合条件的有两个

D．若，则是锐角三角形

答案BC

第Ⅱ卷（非选择题）（共90分）

三、填空题：每题5分，满分20分，其中第16题有两空，第一空2分，第二空3分，将答案填在答题卡上

13．若是虚数单位，则__________.

答案：

14．已知在△ABC中，，，则a的值为________．

答案　1

15．已知向量，，那么在上的投影向量为__________.

答案

16．若球的内接正四面体的表面积为，则该球的表面积为________，体积为________．

答案为：；

四、解答题 ：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题10分）已知平面向量，

（Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）若与垂直，求实数的值

解：（Ⅰ）……………………………………4分

（Ⅱ），，………………………………6分

由于，从而，…………………8分

解得：。………………………………………………………………10分

18．（本题12分）已知复数。

   (Ⅰ)求|z|；  (Ⅱ)若，求实数的值．

解：……………………………………2分

(Ⅰ) ………………………………………4分

(Ⅱ) ，…………………………………5分

………9分

    …………………………………………………12分

19．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（Ⅰ）求角的值；   （Ⅱ）若，，求的面积．

解：（Ⅰ），…………………1分

由余弦定理知，………………4分

又，所以………………6分(注：未点明角B的范围扣1分)

（Ⅱ）解1：由，代入得，………………8分

解得（舍去负根），………………………………………………10分

所以的面积。…………12分

解2：由,代入得，……………7分

   解得，又为锐角，，………………………9分

……………………………………………10分

所以的面积。…………12分

20．一艘轮船从A地向北偏西60°的方向航行100 km到达B地，然后向C地航行，行驶速度为千米/小时，设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距200 km，试问该轮船从B地到C地是沿何方向行驶并航行了多少小时？．

解1:　如下图，设A地在东西基线和南北基线的交点处,

则A(0,0)，B(－100cos30°，100sin30°)，C(－200cos30°，－200sin30°)

即A(0,0)，B(－50，50)，C(－100，－100)，…………2分

，…………………………………4分

…………………………6分

故轮船从B地到C地共行驶（小时）…………………………7分

设正南方向的单位向量为，设与正南方向的夹角为，……………8分

则有，又为锐角，∴，…………………11分

答：轮船从B地到C地是沿南偏西30°方向行驶并航行了2小时。…………12分

解2:　由图可知在中，，,，………1分

  故……5分

故，故轮船从B地到C地共行驶（小时）………7分

   由，代入得，解得，………10分

  故行驶方向与正南方向的夹角为，………………………11分

答：轮船从B地到C地是沿南偏西30°方向行驶并航行了2小时。…………12分

21．如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为，底面半径为。

（Ⅰ）若正四棱柱的底面边长为，求该几何体的体积；

（Ⅱ）求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值。

解：设圆锥母线长为，高为，正四棱柱的高为

（Ⅰ）由，有，故，…………1分

  由，故，…………2分

  所以圆锥体积为……………………3分

 由，有正四棱柱的底面对角线长为，

  由图可得，所以，……………………4分

故正四棱柱的体积为……………………5分

 所以该几何体的体积为……………………6分

（Ⅱ）由图可得，即，即……8分

由，当且仅当时左式等号成立，……9分

有，当且仅当时左式等号成立，……10分

    故正四棱柱侧面积，当且仅当时左式等号成立，……11分

   所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为。……………………12分

22．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，

（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，为的中点，求周长的范围。

解:（Ⅰ）∵，，………………2分

，……………………………………………3分

又，，…………………………5分

（ Ⅱ）由图易知，∴，…6分

在中，，

即， …………………8分

又，当且仅当时取等号…9分

故，当且仅当时取等号

又在中，有，故，………11分

所以周长的范围为………………………………12分