2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的相似解答题（含答案，共34题）

这是一份2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的相似解答题（含答案，共34题），共61页。
2021年中考数学真题知识点分类汇编-图形的相似解答题（含答案，共34题）

一．相似三角形的判定（共1小题）
1．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

二．相似三角形的判定与性质（共19小题）
2．（2021•无锡）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度．

3．（2021•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DBE；
（2）当BC＝4时，求AB•BE的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求⊙O的半径．

4．（2021•日照）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．

5．（2021•滨州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：DF2＝EF•AB．

6．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半径．

7．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．

8．（2021•牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．
9．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．

10．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．

11．（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．

12．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．
（1）求AM的长．
（2）tan∠MBO的值为 　 　．

13．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．

14．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．

15．（2021•山西）阅读与思考
请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法
图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．
再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．
图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；
②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．

16．（2021•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．

17．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．

18．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若＝，求cos∠ABD的值．

19．（2021•黄冈）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．

20．（2021•青海）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA；
（2）求证：直线MN是⊙O的切线．

三．相似三角形的应用（共2小题）
21．（2021•宁夏）阅读理解：
如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF∥BC，可以得到以下结论：＝．
拓展应用：
（1）如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排
0
1
2
3
…
隔板长度/厘米
160
　 　
　 　
　 　
…
若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？


22．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？

四．作图-相似变换（共1小题）
23．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．

五．作图-位似变换（共2小题）
24．（2021•黑龙江）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

25．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．

六．相似形综合题（共9小题）
26．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现和∠HBF为定值．
（1）①＝　 　；
②∠HBF＝　 　；
③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，＝k，∠BDA＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．
求①＝　 　；（用k的代数式表示）
②＝　 　．（用k、θ的代数式表示）

27．（2021•荆州）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．

28．（2021•达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　 　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　 　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．
29．（2021•广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．
30．（2021•武汉）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

31．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PD∥CM，PD＝CM．

32．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．

33．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 　 　四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．

34．（2021•乐山）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝　 　；
（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．
①在图2中补全图形；
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．


参考答案与试题解析
一．相似三角形的判定（共1小题）
1．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

【解析】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
即∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．

二．相似三角形的判定与性质（共19小题）
2．（2021•无锡）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度．

【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ABD，
∵∠BAE＝∠BAC，
∴△ABE∽△ACB；
（2）解：∵＝，
∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，
∴△ADE∽△CBE，
∴＝＝＝，
∴设AE＝2a，CE＝3a，
∴AC＝AE+CE＝5a，
∵△ABE∽△ACB，
∴＝，
∴AB2＝AC•AE，
∴16＝2a•5a，
∴a＝或a＝﹣（舍去），
∴AE＝2a＝，
∵＝，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴AE＝DE＝，
∴线段DE的长度为．
3．（2021•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DBE；
（2）当BC＝4时，求AB•BE的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求⊙O的半径．

【解析】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵DE⊥BE，
∴OC∥BE，
∴∠EBC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠EBC，
∴BC平分∠DBE．

（2）解：连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴△ABC∽△CBE，
∴＝，
∴AB•BE＝BC2＝（4）2＝80．

（3）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，AB＝2r，
∵OC∥BE，
∴△OCF∽△EBF，
∴＝＝，
∴BE＝r，
∵AB•BE＝80，
∴2r×r＝80，
∴r＝5或﹣5（舍弃），
∴⊙O的半径为5．

4．（2021•日照）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．

【解析】（1）解：∵DE是直径，
∴∠EAD＝90°，
∵＝
∴∠ADF＝∠AFD＝∠AED，
又∵∠DAE＝∠GAD＝90°
∴△ADE∽△AGD
∴
∴AD2＝AG×AE＝3×9＝27，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6．
（2）证明：DE＝＝6，
∵▱OABC是平行四边形
∴OB＝2OD＝DE＝6，
∴▱OABC为矩形．
5．（2021•滨州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：DF2＝EF•AB．

【解析】（1）证明：连接OD，如右图1所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE＝∠DEA＝90°，
∴∠ODE+∠DEA＝180°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAC＝∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）方法一：证明：连接BD，如右图1所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，
∴∠DEF＝∠ADB＝90°，
∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°，
∴∠EFD＝∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB•DF＝EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠DAB，
∴DF＝DB，
∴DF2＝EF•AB．
方法二：作OM⊥DF于点M，连接OF、OD，如右图2所示，
∵OD＝OF，OM⊥DF，
∴DM＝MF＝DF，
∵∠ODE＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ODM+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝∠OMD，
又∵∠DEF＝∠OMD，
∴△DEF∽△OMD，
∴，
∴EF•OD＝DF•MD，
∵OD＝AB，DM＝DF，
∴EF•AB＝DF•DF，
∴DF2＝EF•AB．


6．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，AG＝，求⊙O的半径．

【解析】解：（1）∵∠B＝∠AGC，∠ADG＝∠CDB，
∴△ADG∽△DCB，
∴，
∵BD＝BC，
∴GD＝GA，
∴∠ADG＝∠DAG，
又∵AE⊥AB，
∴∠EAD＝90°，
∴∠GAE+∠DAG＝∠E+∠ADG＝90°，
∴∠GAE＝∠E，
∴AG＝DG＝EG，∠AGD＝2∠E，
∵∠FCA＝2∠E，
∴∠FCA＝∠AGD＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAB，
∴∠FCA+∠ACO＝90°，
∴∠FCO＝90°，
即CF是⊙O的切线；
（2）∵CF是⊙O的切线，AE⊥AB，
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA＝2∠E，
∴AC＝AE＝6，
又∵AG＝DG＝EG＝，
在Rt△ADE中，AD＝，
设⊙O的半径为x，则AB＝2x，BD＝BC＝2x﹣2，
在Rt△ABC中，62+（2x﹣2）2＝（2x）2，
解得：x＝5，
∴⊙O的半径为5．
7．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．

【解析】解：（1）证明：连接OB，

∵PM、PN切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PM，OB⊥PN，
∵CE∥PN，
∴OB⊥CE，
∵OB＝OC，
∴∠C＝45°，
∵BC∥PM，
∴四边形PBCE是平行四边形，
∴∠P＝∠C＝45°；
（2）∵CD＝6，
∴OB＝OA＝OD＝3，
由（1）得∠1＝∠P＝45°，
∴AE＝OA＝3，
∴OE＝＝3＝BC，
∴PE＝BC＝3，ED＝OE﹣OD＝3﹣3，
∵ED∥PF，
∴△AED∽△APF，
∴＝，
即＝，
∴PF＝3．
8．（2021•牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．
【解析】解：如图1，当CF＝2EF时，

∵∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝15，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝CD，CF＝DE，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∴，
∴EF＝，
∴CF＝，
∴矩形CDEF的周长＝2（CF+EF）＝；
如图2，当EF＝2CF时，

∵∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，
∴AC＝＝＝15，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝CD，CF＝DE，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴＝，
∴EF＝，
∴CF＝
∴矩形CDEF的周长＝2（CF+EF）＝；
综上所述：矩形CDEF的周长的值为或．
9．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．

【解析】解：（1）证明：连接OD，如图，

∵点D是的中点，
∴，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）设BC、AD交于点N，

∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，
∴，
∴DN＝，
∵点D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，
又∵∠BDN＝∠ADB，
∴△BDN∽△ADB，
∴，即：，
∴BD＝2，
∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，
∴DM＝BD＝2．
10．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．

【解析】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠F+∠DAF＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABF，
∵＝，
∴∠ABF＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE；
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∵AB＝8，BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴CE＝AF，
∵AF＝AE，
∴CE＝AE，
∵AE+CE＝AC＝2，
∴AE＝，
∴AF＝AE＝．

11．（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．

【解析】解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）设AG＝2a，∵，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
∵AE＝4，
∴BC＝16．
12．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．
（1）求AM的长．
（2）tan∠MBO的值为 　　．

【解析】解：（1）在菱形ABCD中，
AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEM∽△CBM，
∴＝，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC，
∴＝＝，
∴AM＝CM＝AC＝1．
（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，
∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，
∴tan∠MBO＝＝．
故答案为：．
13．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．

【解析】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝AC，
∴＝
由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，
故：＝（）2＝（）2＝．
14．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．

【解析】（1）证明：连接OC，

∵PC2＝PA•PB，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，PO＝2.5PA，
∵OC⊥PC，
∴PC＝＝2PA，
∵△PAC∽△PCB，
∴＝＝＝．
15．（2021•山西）阅读与思考
请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法
图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．
再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．
图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；
②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．

【解析】解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．
（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，
，
∴R＝3．
②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图

∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．
∵AM∥CO，
∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．
∴∠MAO＝∠M＝60°．
∴OA＝OM．
∴△OAM为等边三角形．
∴OM＝OA＝AM＝7.5．
∵AM∥CO，
∴△BCO∽△BAM．
∴．
∴．
∴OC＝3．
综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．
16．（2021•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．

【解析】证明：（1）∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE是直径，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
又∵EF∥BC，
∴EF⊥AE，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，

∵AE⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝1，
∴HG＝HC+CG＝4，
∴AG＝＝＝5，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得：r＝，
∴AE＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴＝，
∴EF＝，
∵AH＝3，BH＝1，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDG＝180°，
∴∠B＝∠CDG，
又∵∠DGC＝∠AGB，
∴△DCG∽△BAG，
∴，
∴＝，
∴CD＝．
17．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．

【解析】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
18．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若＝，求cos∠ABD的值．

【解析】（1）证明：连接OC交BD于点G，
∵点C是的中点，
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，设FG＝x，OB＝r，
∵＝，
设DF＝t，DC＝t，
由（1）得，BC＝CD＝t，BG＝GD＝x+t，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠FCG＝90°，
∵∠DGC＝90°，
∴∠CFB+∠FCG＝90°，
∴∠BCG＝∠CFB，
∴Rt△BCG∽Rt△BFC，
∴BC2＝BG•BF，
∴（t）2＝（x+t）（2x+t）
解得x1＝t，x2＝﹣t（不符合题意，舍去），
∴CG＝＝＝t，
∴OG＝r﹣t，
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2，
∴（r﹣t）2+（2t）2＝r2，
解得r＝t，
∴cos∠ABD＝＝＝．
方法二、设CF＝n，
由△CBF∽△CAB，可得CB2＝CF•CA，
则AF＝＝，
∵BF＝＝，
∵△FDA∽△FCB，
∴，
∴＝，
∴n＝t或t（舍去），
∴BF＝3t，
∴BD＝4t，
∵△FDA∽△FCB，
∴＝，
∴AD＝t，
∴AB＝3t，
∴cos∠ABD＝＝．

19．（2021•黄冈）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．

【解析】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
（2）∵△ABC∽△DEC；
∴＝（）2＝，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
20．（2021•青海）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA；
（2）求证：直线MN是⊙O的切线．

【解析】证明：（1）∵MN⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD＝∠DMA＝90°，
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴∠ADM+∠CDM＝90°，
∵∠DBG+∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠ADM，
∴△BGD∽△DMA；
（2）连接OD．
∴BO＝OA，BD＝DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵MN⊥AC，
∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线．

三．相似三角形的应用（共2小题）
21．（2021•宁夏）阅读理解：
如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF∥BC，可以得到以下结论：＝．
拓展应用：
（1）如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？
（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．
①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：
排数/排
0
1
2
3
…
隔板长度/厘米
160
　　
　　
　80　
…
若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？


【解析】解：（1）如图2，过点A作AD⊥BC于D，交EF于H，

由阅读理解的结论可得：，
设正方形的边长为x，
∴，
∴x＝，
∴正方形的边长为；
（2）①如图3﹣1，过点A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝80cm，
∴AD＝＝＝60（cm），
分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，
由阅读理解的结论可得：，，
解得：y1＝，y2＝，y3＝80，
故答案为：，，80；
∴，
∴y＝﹣n+160；
②当n＝1时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数＝÷10≈13（个），
当n＝2时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数＝÷10≈10（个），
当n＝3时，隔板长80cm，
∴可以作正方体的个数＝80÷10≈8（个），
当n＝4时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数＝÷10≈5（个），
当n＝5时，隔板长cm，
∴可以作正方体的个数＝÷10≈2（个），
当n＝6时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0个，
∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒，
∴13+10+8+5+2＝38（瓶），
综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒．
22．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？

【解析】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
四．作图-相似变换（共1小题）
23．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．

【解析】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，点E即为所求．

五．作图-位似变换（共2小题）
24．（2021•黑龙江）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

【解析】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；

（3）CB＝＝，
所以点B所经过的路径长＝＝π．
25．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．

【解析】解：（1）如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．

（2）如图，△OA1B1即为所求．OB＝＝2，
线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2+＝4+π．
六．相似形综合题（共9小题）
26．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现和∠HBF为定值．
（1）①＝　　；
②∠HBF＝　45°　；
③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，＝k，∠BDA＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．
求①＝　　；（用k的代数式表示）
②＝　　．（用k、θ的代数式表示）

【解析】解：①；②45°；
③由正方形的性质得：，O为AC的中点，
又∵H为CE的中点，
∴OH∥AE，OH＝，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝，
∴，
∵OH∥AE，
∴∠COH＝∠CAE，
∴∠BOH＝∠BAF，
∴△BOH∽△BAF，
∴，
∴∠HBF＝∠HBO+∠DBF＝∠DBA＝45°；
（2）①如图2，连接AC交BD于点O，连接OH，

由（1）中③问同理可证：△DOH∽△DAF，
∴，
②由①知：△DOH∽△DAF，
∴∠HDO＝∠FDA，
∴∠HDF＝∠BDA＝θ，
在△HDF中，，
设DF＝2t，HD＝kt，
作HM⊥DF于M，
∴HM＝DH×sinθ＝ktsinθ，DM＝ktcosθ，
∴MF＝DF﹣DM＝（2﹣kcosθ）t，
在Rt△HMF中，由勾股定理得：
HF＝，
∴．
27．（2021•荆州）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．

【解析】（1）如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴＝tan∠DAC＝＝，
∴DG＝CD＝×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴，
∴tan∠GHC＝＝．
（2）不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝＝，
∵∠GCF＝90°，
∴＝tan∠DAC＝，
∴CG＝AC＝×2＝，
∴AG＝＝5，
∴EA＝AG＝，
∴EF＝EA•tan∠DAC＝＝，
∴AF＝＝，
∴CF＝2＝，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．


28．（2021•达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　1　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．
【解析】解：（1）如图1，设DE与CF交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴，
∴，
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝9，
∴AB＝3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，
∴，
设AH＝a，则DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝92，
∴a＝（负值舍去），
∴AH＝，DH＝，
∴AC＝2AH＝，
∵S△ADC＝AD•CG，
∴×9CG，
∴CG＝，
∴；
②∵AC＝，CG＝，∠AGC＝90°，
∴AG＝＝＝，
由①得△DEA∽△CFG，
∴，
又∵，AE＝1，
∴FG＝，
∴AF＝AG﹣FG＝＝，
∴BF＝＝＝．
29．（2021•广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．
【解析】（1）证明：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，EF＝EB，∠BEF＝90°，
∴∠CBA＝∠EBF＝45°，AB＝BC，BF＝BE，
∴∠CBE＝∠ABF，＝＝，
∴△ABF∽△CBE．

（2）解：如图2中，延长PM交AF于T．

∵BE⊥CF，
∴∠CEB＝90°，
∵△ABF∽△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，＝＝，
∴AF＝EC，
∵∠EFB＝45°，
∴∠AFC＝45°，
∵AP＝PC，AM＝ME，
∴PT∥CF，PM＝EC，
∵AM＝ME，EN＝NF，
∴MN∥AF，MN＝AF，
∴四边形MNFT是平行四边形，MN＝PM，
∴∠TMN＝∠AFC＝45°，
∴∠PMN＝135°，
∴＝．

（3）解：∵MN＝PM，∠PMN＝135°，PM＝EC，
∴当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，
∵当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为，
此时PM＝，MN＝PM＝1，
∴△PMN的面积的最大值为××1×＝．
30．（2021•武汉）问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

【解析】解：（1）如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，
而△CDE为等腰直角三角形，
故DE＝EF＝CF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AF+CF；
即BF﹣AF＝CF；

（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GF＝CF，
则BF＝BG+GF＝AF+CF，
即BF﹣AF＝CF；

（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，

由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴＝，
则BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF＝＝＝•FC，
则BF＝BG+GF＝kAF+•FC，
即BF﹣kAF＝•FC．
31．（2021•常德）如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
（1）求证：BN＝CN；
（2）在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PD∥CM，PD＝CM．

【解析】证明：（1）∵AT∥BC，
∴∠ATD＝∠BCD，
∵点D是AN的中点，
∴AD＝DN，
在△ATD和△NCD中，
，
∴△ATD≌△NCD（AAS），
∴CN＝AT，TD＝DC，
∵AT＝BN，
∴BN＝CN；
（2）①∵AT＝BN，AT∥BN，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∵AB＝AC，BN＝CN，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAN＝90°，
∵点M，点N关于AC对称，
∴CN＝MC，∠ACN＝∠ACM，
∴AT＝CM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠ACN＝90°，
∴∠OCA+∠ACM＝90°＝∠OCM，
∴∠OCM＝∠TAN，
又∵AT＝CM，OA＝OC，
∴△TAO≌△MCO（SAS），
∴OT＝OM，∠TOA＝∠COM，
∴∠TOM＝∠AOC，，
∴△TOM∽△AOC；
②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，

∴EM＝CM＝AT，
∴∠MEC＝∠MCE，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，
∴∠TAN+∠NAC+∠ACM＝180°，
∴∠TAC+∠ACM＝180°，
又∵∠AEM+∠CEM＝180°，
∴∠TAC＝∠AEM，
∴AT∥EM，
∴四边形ATEM是平行四边形，
∴TP＝PM，
又∵TD＝DC，
∴PD∥CM，PD＝CM．
32．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．

【解析】（1）①证明：如图1，

∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
②解：如图2，若BE⊥CD，

在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．
过点D作DH⊥BC于点H，
设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，
在Rt△DCH中，DC＝2m，
∴CH＝m，
∴BC＝BH+CH＝3m，
∴；
（2）①如图3，当点E在AD上时，

∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠BCO，∠AEO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COB（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形．
设AD＝CD＝x，
∵DE＝2，
∴AE＝x﹣2，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
在Rt△ACE和Rt△DCE中，CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CD2﹣DE2，
∴62﹣（x﹣2）2＝x2﹣22，
解得x＝1+，或x＝1﹣（舍去）．
∴CD＝1+．
②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2，

设OB＝OC＝m，
∵OE＝3，
∴EB＝m+3，
∵△DAC∽△OBC，
∴，
∴，
∴．
又∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，
∴△EOC∽△ECB，
∴，
∴，
∴，
∴m＝，
将m＝代入，
整理得，x2﹣6x﹣10＝0，
解得x＝3+，或x＝3﹣（舍去）．
∴CD＝3+．
综合以上可得CD的长为1+或3+．
33．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 　＝　四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．

【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形PFCH为矩形，
同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形EBHP的面积＝PE•PH＝2ab，四边形GPFD的面积＝PG•PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知PE•PH＝2ab，PG•PF＝2ab，
∴PP2•PH＝PP1•PF，
即＝，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2、FH，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴＝＝，＝（）2＝，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得＝，
∴＝，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴＝（）2＝，
∵S1＝+，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝S△CFH+S△FQH＝S2，
∴＝．

34．（2021•乐山）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝　30°　；
（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．
①在图2中补全图形；
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．

【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴DE⊥AB，
∴∠BDE＝180°﹣60°﹣90°＝30°；
故答案为：30°；
（2）①补全图形如下：

②CD＝BE，证明如下：
∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠EAD＝60°，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴CD＝BE；
（3）AC＝k（BD+BE），证明如下：
连接AE，如图：

∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC，＝，
∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AD，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴CD＝BE，
∴BC＝BD+CD＝BD+BE，
而＝＝k，
∴＝k，即AC＝k（BD+BE）．