2021天津市耀华中学高一下学期期中形成性检测数学试题含解析

这是一份2021天津市耀华中学高一下学期期中形成性检测数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年天津市耀华中学高二（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．若随机变量ξ的分布列如表所示，则p1等于（　　）
ξ
﹣1
2
4
P


p1
A．0 B． C． D．1
2．在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（　　）
A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15
3．设曲线f（x）＝ax2在点（2，4a）处的切线与直线4x﹣y+4＝0垂直，则a＝（　　）
A．2 B．﹣ C． D．﹣1
4．f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（　　）

A． B．
C． D．
5．若（+）5的展开式中x的系数为15，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（　　）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
7．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．记（1﹣x）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a6（x+1）6，则a0+a2+a4+a6＝（　　）
A．81 B．365 C．481 D．728
9．设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
10．设函数f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）＝，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+]
C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]
二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分.
11．在（2+）6的展开式中，常数项等于　 　．
12．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别，任取3球，记其中黑球数为X，则E（X）＝　 　．
13．设甲乘汽车、火车前往目的地的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车正点达到目的地的概率分别为0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为　 　．
14．若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为　 　．
15．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有　 　种．
16．已知a，b∈R，直线y＝ax﹣b与函数f（x）＝x2的图象在x＝1处相切，设g（x）＝ex﹣bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m的最大值是　 　．
三、解答题：本大题共3小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题卡上.
17．某合资企业招聘夫学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为．
（Ⅰ）求该小组中女生的人数：
（Ⅱ）若该小组中每个女生通过测试的概率均为，每个男生通过测试的概率均为；现对该小组中女生甲、女生乙和男生丙、男生丁4人进行测试，记这4人中通过测试的人数为随机变量X．求X的分布列和数学期望．
18．函数f（x）＝x3+﹣6x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（2）函数g（x）＝f（x）+﹣ax（a∈R）在区间（﹣1，1）上是单调递减函数，求a的取值范围．
19．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R）．
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若g（x）＝af（x）+x2﹣2x﹣有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．


参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．若随机变量ξ的分布列如表所示，则p1等于（　　）
ξ
﹣1
2
4
P


p1
A．0 B． C． D．1
解：由随机变量ξ的分布列，知：
＝1，
解得p1＝．
故选：B．
2．在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（　　）
A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15
解：由（﹣）6的展开式的中间一项为第4项，
则其二项式系数为＝20，
故选：A．
3．设曲线f（x）＝ax2在点（2，4a）处的切线与直线4x﹣y+4＝0垂直，则a＝（　　）
A．2 B．﹣ C． D．﹣1
解：f（x）＝ax2，则f′（x）＝2ax，
因为在点（2，4a）处的切线与直线4x﹣y+4＝0垂直，
所以f′（2）＝4a＝﹣，
所以a＝﹣，
故选：B．
4．f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（　　）

A． B．
C． D．
解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；
﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；
x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．
则符合上述条件的只有选项A．
故选：A．
5．若（+）5的展开式中x的系数为15，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：（+）5的展开式通项公式Tk+1＝＝ak，
令＝1，解得k＝1，
∴a×＝15，则a＝3，
故选：B．
6．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（　　）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
解：因为6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有＝480种．
故选：C．
7．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，这时盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡，
这时，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ＝，
故选：D．
8．记（1﹣x）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a6（x+1）6，则a0+a2+a4+a6＝（　　）
A．81 B．365 C．481 D．728
解：∵（1﹣x）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a6（x+1）6，
令x＝0，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1 ①，
再令x＝﹣2，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝36＝729 ②，
②加①后再除以2，可得a0+a2+a4+a6＝365，
故选：B．
9．设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
解：设，则，
∵当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，
∴当x＞0时，g'（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，
∵f（x）是奇函数，∴是偶函数，
即当x＜0时，g（x）为增函数．
∵f（﹣1）＝0，∴g（﹣1）＝g（1）＝0，
当x＞0时，f（x）＞0等价为，即g（x）＞g（1），此时0＜x＜1，
当x＜0时，f（x）＞0等价为，即g（x）＜g（﹣1），此时x＜﹣1，
综上不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
故选：B．
10．设函数f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）＝，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+]
C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]
解：∵f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），
又∵g（x）＝，
∴函数g（x）至少存在一个零点可化为
函数f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；
即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx＝0有解，
则m＝＝﹣x2+2ex+，
m′＝﹣2x+2e+＝﹣2（x﹣e）+；
故当x∈（0，e）时，m′＞0，
当x∈（e，+∞）时，m′＜0；
则m＝﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，
在（e，+∞）上单调递减，
故m≤﹣e2+2•e•e+＝e2+；
又∵当x+→0时，m＝﹣x2+2ex+→﹣∞，
故m≤e2+；
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上.
11．在（2+）6的展开式中，常数项等于　160　．
解：（2+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝＝26﹣rx3﹣r，
令3﹣r＝0，可得r＝3，
所以常数项为23＝160．
故答案为：160．
12．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别，任取3球，记其中黑球数为X，则E（X）＝　　．
解：由题意可知，黑球数X服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布，
则E（X）＝＝＝．
故答案为：．
13．设甲乘汽车、火车前往目的地的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车正点达到目的地的概率分别为0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为　0.86　．
解：设事件A为甲正点到达目的地，
则P（A）＝0.6×0.9+0.4×0.8＝0.86．
故答案为：0.86．
14．若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为　　．
解：恰有两次击中目标的概率为••＝，恰有三次击中目标的概率为 •＝，
故至少有两次击中目标的概率为+＝，
故答案为：．
15．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有　144　种．
解：根据题意，分2步进行分析：
①先安排三名男生，将甲乙看成一个整体，与丙全排列，有A22A22＝4种排法，
男生排好后，有3个空位可选；
②将三名女生分为1、2的两组，将这两组安排在空位中，有C32A22A32＝36种排法，
则有4×36＝144种不同的站法；
故答案为：144．
16．已知a，b∈R，直线y＝ax﹣b与函数f（x）＝x2的图象在x＝1处相切，设g（x）＝ex﹣bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m的最大值是　e+1　．
解：∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴a＝f'（1）＝2，
又点（1，1）在直线y＝ax﹣b上，∴b＝1，
∴g（x）＝ex﹣x2+2，g'（x）＝ex﹣2x，
设m（x）＝ex﹣2x，则m'（x）＝ex﹣2，
当x∈[1，2]时，m'（x）＞m（1）＝e﹣2＞0，
∴g'（x）在[1，2]上单调递增，
∴g'（x）≥g'（1）＝e﹣2＞0，
∴g（x）在[1，2]上单调递增，
，解得m≤﹣e或e≤m≤e+1，
∴m的最大值为e+1．
故答案为：e+1．
三、解答题：本大题共3小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题卡上.
17．某合资企业招聘夫学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为．
（Ⅰ）求该小组中女生的人数：
（Ⅱ）若该小组中每个女生通过测试的概率均为，每个男生通过测试的概率均为；现对该小组中女生甲、女生乙和男生丙、男生丁4人进行测试，记这4人中通过测试的人数为随机变量X．求X的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）设该小组中有n个女生，
由题意，得＝，
解得n＝6或n＝4（舍），
所以该小组有6名女生；
（Ⅱ）由题意，X的取值为0，1，2，3，4
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝+＝，
P（X＝2）＝++＝，
P（X＝3）＝+＝，
P（X＝4）＝＝．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





所以EX＝0×+1×+2×+3×+4×＝
18．函数f（x）＝x3+﹣6x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（2）函数g（x）＝f（x）+﹣ax（a∈R）在区间（﹣1，1）上是单调递减函数，求a的取值范围．
解：（1）∵，
∴f′（x）＝3x2+3x﹣6，∴f′（0）＝﹣6，
因此，曲线 y＝f（x） 在点 （0，1）处的切线方程 y﹣1＝﹣6x，
即 6x+y﹣1＝0．
（2）∵，
g′（x）＝3x2+（a+3）x﹣（a+6）＝（3x+a+6）（x﹣1），
令 g′（x）＝0，得 或 x＝1，
由于函数 y＝g（x） 在区间 （﹣1，1）上是单调递减函数，
则 ，解得a≥﹣3，
因此，实数 a 的取值范围是[﹣3，+∞）．
19．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R）．
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若g（x）＝af（x）+x2﹣2x﹣有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）a＝1时，f（x）＝lnx+，定义域是（0，+∞），
∴f′（x）＝﹣＝，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故当x＝1时函数有极小值f（1）＝1，无极大值；
（2）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝﹣＝，
①a≤0时，x﹣a＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，
故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
（3）g（x）＝af（x）+x2﹣2x﹣
＝alnx+x2﹣2x，定义域是（0，+∞），
g（x）有2个极值点x1，x2（x1＜x2），
即g′（x）＝+2x﹣2＝＝0，
则2x2﹣2x+a＝0有2个不相等实根x1，x2（0＜x1＜x2），
∴△＝4﹣8a＞0，a＞0，解得：0＜a＜，且x1+x2＝1，a＝2x1﹣2
从而0＜x1＜＜x2＜1，
由不等式g（x1）≥mx2恒成立，
得m≤＝＝（1﹣x1）﹣+2x1lnx1恒成立，
令h（t）＝1﹣t﹣+2tlnt（0＜t＜），
当0＜t＜时，h′（t）＝1﹣+2lnt＜0恒成立，
故函数h（t）在（0，）上单调递减，
∴h（t）＞h（）＝﹣﹣ln2，
故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣﹣ln2]．