2022届河南省洛阳市第一高级中学高三数学终极猜题卷 数学（理）试卷及答案

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2022届高考数学终极猜题卷全国卷（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数为，则（    ）A.  B.  C. 6 D. 8【答案】A【解析】【分析】由复数乘方运算及共轭复数概念写出，进而求模.【详解】由题意，，而，所以，则.故选：A.2. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）A. –4 B. –2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由指、对、幂的性质知：，，，比较它们大小即可得出答案.【详解】因为，，，所以.故选：B.4. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白判断框中可填入的条件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，直到时满足判断框要求输出结果，由此可确定判断框内的条件.【详解】模拟执行程序框图，输入，，不满足，则，，需不满足判断框，循环；不满足，则，，需不满足判断框，循环；不满足，则，，需不满足判断框，循环；不满足，则，，需不满足判断框，循环；满足，则，，需满足判断框，输出；判断框中的条件应为：.故选：C.5. 已知 则 A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】,,故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.6. 如图，正方形ABCD中灰色阴影部分为四个全等的等腰三角形，已知，若在正方形ABCD内随机取一点，则该点落在白色区域的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求出白色区域的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求解即可【详解】由题易知四边形EFGH为正方形，且由得，所以的高为，故白色区域的面积为又正方形ABCD的面积为8，所以若在正方形ABCD内随机取一点，该点落在白色区域的概率为，故选：A.7. 已知，当时，向量与的夹角为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题可得，利用向量的夹角公式即得.【详解】∵，，，即，，，又由，向量与的夹角为.故选：D.8. 印制电路板(PCB)是电子产品的关键电子互联件，被誉为“电子产品之母”.印制电路板的分布广泛，涵盖通信设备、计算机及其周边、消费电子、工业控制、医疗、汽车电子、军事、航天科技等领域，不可替代性是印制电路板制造行业得以始终稳固发展的要素之一.下面是PCB主要成本构成统计图(单位：%)，则下列结论错误的是（    ）A. 覆铜板成本占PCB材料成本的50%B. 钢箔成本占材料成本的15%C. 磷铜球成本占材料成本的6%D. 防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列【答案】C【解析】【分析】首先求出材料成本占总成本的百分比，即可得到其他材料占比，再一一判断即可；【详解】解：由图中数据可得，材料成本占总成本的，所以覆铜板成本占材料成本的，故A正确；钢箔成本占材料成本的，故B正确；磷铜球成本占材料成本的，故C错误；其他材料占比为，所以防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列，故D正确.故选：C.9. 在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如，某种“信号净化器”可产生形如的波，只需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干扰.现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图象），应将波形净化器的参数分别调整为（    ）A. ，， B. ，，C. ，， D. ，，【答案】B【解析】【分析】由题图得，求得，再由函数的最大值求得A，将代入，可解得，由此求出非标准正弦波对应的函数，取A的相反数即可得答案.【详解】解：设干扰信号对应的函数解析式为.由题图得，（T为干扰信号的周期），解得，所以.∵函数的最大值为，∴.将代入，解得，，∵，∴∴.所以欲消除的波需要选择相反的波，即，所以，，，故选：B.10. 已知双曲线（）的左､右焦点分别为，，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P若的面积为，则该双曲线的离心率为（    ）A.  B.  C. 3 D. 【答案】B【解析】【分析】易知渐近线的垂线方程为，求得垂足P的坐标，然后由的面积为求解.【详解】解：设过右焦点且与渐近线垂直的直线为l，则直线l的方程为.由，得，，即.则的面积为，∴，∴，∴.故选：B11. 已知函数，若函数有三个极值点，则实数的取值范围为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】要使有三个极值点，则有三个变号实根，转化为方程有两个不等于1的变号实根，令，通过研究的最小值可得的取值范围.【详解】，求导，得，令，得，或.要使有三个极值点，则有三个变号实根，即方程有两个不等于1的变号实根.，令，则，令，得.易知，且，；，.所以，当时，方程即有两个变号实根，又，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于把“有三个极值点”转化为方程“方程有两个不等于1的变号实根”.12. 如图，在正方体中，点E，F，G分别是棱，，的中点，过E，F，G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（    ）A. 在平面内存在直线与平面平行B. 在平面内存在直线与平面垂直C. 平面平面D. 直线与所成角为【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理及平面与平面平行的判定定理、异面直线所成的角等相关知识分别判断各选项，可得答案.【详解】解:由线面平行判定定理可得，当O为的中点时，平面，由线面垂直判定定理可得，平面，选项A，B都对.因为，，所以平面平面，选项C正确，易得：,为等边三角形，故直线与所成角为,即直线与所成角为，故D不正确，故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理及平面与平面平行的判定定理、异面直线所成的角等，考查空间想象能力和运算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数x，y满足，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意作出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分（含边界）所示，作出直线并平移，易知当平移后的直线经过点A时，目标函数z取得最大值.【详解】根据题意作出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分（含边界）所示，作出直线并平移，易知当平移后的直线经过点A时，目标函数z取得最大值，由，得，即点，所以目标函数的最大值.故答案为：. 14. 在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为___________.【答案】45【解析】【分析】由题意利用二项式系数的性质求得的值，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于6，求出的值，即可求得含的项系数．【详解】解：的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，，再令，可得所有项的系数和为，．故二项展开式的通项公式为，令，求得，可得含的项系数为，故答案为：45．15. 三角形中，是边上一点，，，且三角形与三角形面积之比为，则__________.【答案】【解析】【分析】根据角平分线定理可得，再两次利用余弦定理即可得答案；【详解】因为为的平分线，故.又，整理得，所以，故.又，则.故答案：.【点睛】本题考查角平分线定理和余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16. 已知函数，若在区间上函数图象恒在直线的图象的下方，则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】【分析】先把图象位置关系转化为不等关系，即，然后利用导数求解最值可得.【详解】设，由题意可知，在区间上恒成立；，当时，，，所以为增函数，所以有，即；当时，总存在，使得，即为减函数，不合题意；综上可得.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数图象之间的位置关系，通常是转化为不等关系，求解最值，侧重考查数学建模的核心素养.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；    （2）见解析﹒【解析】【分析】(1)利用公式法(与关系)即可求的的通项公式；(2)分析的通项公式可知其前n项和可以用错位相减法求得﹒【小问1详解】∵∴当n≥2时，∴∴∴为从第二项开始的等比数列，公比为q＝3，又，∴，∴(n≥2)，n＝1时也满足上式，∴)；【小问2详解】∵，∴   ①∴   ②①－②得， ∴ ∵，∴，∴．18. 为了弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，大力营造校园冰雪运动文化氛围，助力2022年冬奥会和冬残奥会，某校组织全校学生参与“激情冰雪，相约冬奥”冰雪运动知识竞赛.为了了解学生竞赛成绩，从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生，将其成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，，，，已知成绩在内的有60人.（1）求样本容量，并估计该校本次竞赛成绩的中位数.（2）将成绩在内的学生定义为“冰雪达人”，成绩在内的学生定义为“非冰雪达人”.请将下面的列联表补充完整，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关？ 男生女生合计冰雪达人  40非冰雪达人 3060合计60   （3）根据（2）中数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取2人，记被抽取的2人中“冰雪达人”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.附：0.050.010.0013.8416.63510.828，.【答案】（1）容量为100，中位数为76.875    （2）列联表答案见解析，有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关    （3）分布列答案见解析，数学期望：【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图进行数据分析，求出样本容量；根据中位数的定义求出中位数；（2）进行数据分析，完成列联表，套公式计算，对着参数下结论；（3）判断出，直接求出对应的概率，求出分布列和数学期望.【小问1详解】设样本容量为n，则，解得，所以样本容量为100.由频率分布直方图可知，，，，对应的频率分别为0.08，0.20，0.32，0.28，0.12，所以前三组的频率之和为0.6，所以中位数在中.设中位数为x，则，解得，所以估计该校本次竞赛成绩的中位数为76.875.【小问2详解】完成列联表如下： 男生女生合计冰雪达人301040非冰雪达人303060合计6040100，故有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关.【小问3详解】根据（2）可得随机抽取一人为“冰雪达人”的概率，根据题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以X的分布列为X012P所以X的数学期望.19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，是正三角形，，．（1）求证：平面平面PBD；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，平面PAB与平面PCD的交线为l，求二面角A-l-C的余弦值．【答案】（1）证明见解析；    （2）.【解析】【分析】(1)根据给定条件推出，再证得，即可借助线面垂直与面面垂直的判定定理得证.(2)由条件可得，，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，借助空间向量即可计算二面角A-l-C的余弦值.【小问1详解】在四棱锥P-ABCD中，因为平面ABCD，平面ABCD，则．因是正三角形，即，又，则BD为AC的垂直平分线，因此，，而平面PAC，且，于是得平面PAC，又平面PBD，所以平面平面PBD.【小问2详解】因平面ABCD，则为直线PC与平面ABCD所成的角，即，而，，则有，因为，有，即，则，即，以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，设平面PCD的法向量为，则，取，得，显然为平面PAB的一个法向量，则有，由图可知二面角A-l-C为锐二面角，所以二面角A-l-C的余弦值为.20. 已知椭圆，，分别为椭圆的右顶点、上顶点，为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求实数的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率、三角形的面积求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）根据直线的斜率是否为进行分类讨论，结合根与系数关系以及列方程，求得关于的不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】由题意得，则，．的面积为，则．将，代入上式，得，则，，故椭圆的标准方程为．【小问2详解】由（1）知，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，将代入椭圆方程得，化简得，则，所以①，②．由得，即，则．得，所以，即，易知，故，易知恒成立，由，得，解得．当直线的斜率等于0时，，或，，则或．综上，实数的取值范围为．21. 设函数，其中.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）设，证明：对任意，都有.【答案】（1）；    （2）证明见解析；【解析】【分析】通过构造函数，求解导函数，通过判断单调性与最值求解（1），（2）问.【小问1详解】由在上恒成立，得，即，.令，，则当，即时，，所以函数在上单调递增，，故恒成立，满足题意；当，即时，设，则函数的对称轴，，，所以在上存在唯一实根，设为，则当时，，即，所以在上单调递减，则，此时，不符合题意.综上，实数a的取值范围是【小问2详解】由题意得，当时，，.由得，即，令，则，所以在上单调递增，，即，所以，从而.由（1）知，当时，在上恒成立，整理得.令，则要证，只需证，因为，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立.综上可得，对任意，都有成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4 – 4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于A，两点，若点的坐标为(-1，2)，求.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）利用直线的参数方程消去参数即得普通方程，由曲线的极坐标方程，利用代换即得直角坐标方程；（2）先写出的参数方程(为参数)，与曲线联立，再结合韦达定理，根据参数的几何意义计算即可.【详解】解：（1）直线的参数方程，消去参数，得直线的普通方程为；由曲线的极坐标方程，得，所以曲线的直角坐标方程为；（2）直线的参数方程可写为(为参数)，代入，得，设A，两点的参数为，则.所以.[选修4 – 5：不等式选讲]23. 设函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的性质直接求解即可；（2）根据题意，得到，然后根据，化简得到，进而根据不等式恒成立的性质得到或恒成立，进而求出的取值范围【详解】（1）由得，，整理得，，解得，，则原不等式解集：（2）在区间上恒成立，即为，即，可得，，，所以，或，解得或恒成立，化简得或恒成立，由，可得，所以，或，即的取值范围是：【点睛】关键点睛：解题关键在于根据，进而化简绝对值不等式，得到，最后利用绝对不等式的性质以及不等式的恒成立关系转化为求或成立的问题，进而求解，属于中档题