2022年广西南宁市兴宁区三美学校中考数学模拟试卷（二）（含解析）

2022年广西南宁市兴宁区三美学校中考数学模拟试卷（二）

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其左视图是

A.
B.
C.
D.

3. 为抗击新冠肺炎疫情，今年月日我国口罩日产能已达到只将用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中任意抽取张卡片，则恰好抽到冰墩墩卡片的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，已知函数的图象过点，则该函数的图象可能是

A.  B.
C.  D.

7. 一个正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和是

A.  B.  C.  D.

8. 我国古代孙子算经记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每人共乘一辆车，最终剩余辆车；每人共乘一辆车，最终有人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”设共有辆车，人，则下面方程组正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 二次函数的图象如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，，，以为边作正方形，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在矩形中，，，以为直径作将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，正方形的对角线与相交于点，将绕点顺时针旋转，设旋转角为，角的两边分别与，交于点，，连接，，，下列四个结论：；；；；其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是______．
14. 数据，，，，的中位数是______．
15. 在中，，且，则的值为______．
16. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______．
17. 如图，在中，平分，于点，过作交于点若，，则线段的长度为______．

18. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交反比例函数的图象于点，点在的左上方，分别交轴，轴于点，，轴于点，交于点若图中四边形与的面积差为，则与的面积差为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

20. 先化简，再求值：，然后从，，中选择适当的数代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，．
    作出向右平移个单位得到的；
    作点绕点顺时针旋转得到的点，并写出其坐标；
    在轴上存在点，使得最大，在轴上描出点的位置．

22. 某中学为推动“时刻听党话永远跟党走”校园主题教育活动，计划开展四项活动：：党史演讲比赛，：党史手抄报比赛，：党史知识竞赛，：红色歌咏比赛．校团委对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图，图两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
    
    本次共调查了______名学生；将图的条形统计图补充完整；
    扇形统计图中______，表示“”类的扇形的圆心角是______度；
    已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的个学生中只有名女生，现从这名学生中任意抽取名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某市某商场销售女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件．
    求平均每次降价盈利减少的百分率；
    为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，要使商场每天盈利最大，每件应降价多少？
    
    
    
    
    
    
     
24. 【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：
    ；；
    ．
    利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，
    如．
    【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
    求的值；
    如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高；
    疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是．

25. 如图，为半圆的直径，是的一条弦，为弧的中点，作，交的延长线于点，连接．
    求证：为半圆的切线；
    若，，求的半径．
    若，求阴影区域的面积．结果保留根号和
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，已知二次函数的图象经过点，且与轴交于原点及点，点为抛物线的顶点．
    求二次函数的表达式；
    在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标．如果不存在，请说明理由；
    若点为上的动点，且的半径为，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
依据相反数的定义回答即可．
本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从左面看是有公共边的等腰三角形和正方形．如图所示：

故选：．
找到从左面看所得到的所有图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的三种不同的观察角度．
 

3.【答案】
 

【解析】解：  ．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，故A错误；
B.，故B正确；
C.，故C错误；
D.，故D错误；
故选：．
根据完全平方公式，合并同类项的法则，乘方运算逐一判断即可．
本题考查了完全平分公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握乘法公式与法则并灵活运用是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：张图片中有张冰墩墩，
从中任意抽取张，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率是；
故选：．
直接由概率公式求解即可．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．把的坐标代入，求出的值，从而求得解析式即可判断．
【解答】
解：函数的图象过点，
，解得，
，
直线交轴的正半轴，且过点，
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】解：该正多边形的边数为：，
该正多边形的内角和为：．
故选：．
根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
本题考查多边形的内角与外角，解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．
 

8.【答案】
 

【解析】解：若每人共乘一辆车，最终剩余辆车，
；
若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“若每人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：函数的最小值是，最大值是，
函数的取值范围是，
故选：．
函数的最小值从图象的最低点可以看出来，是顶点坐标的纵坐标，最大值从最高点可以看出来，即当时，，从而得到的取值范围．
本题考查了二次函数的图象和性质，考查数学形结合的数学思想，从图中得到函数的最小值和最大值是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：过点作轴于点，如图所示：

则，
，
在正方形中，，，
，
，
≌，
，，
，，
，，
，，
，
故选：．
过点作轴于点，根据正方形的性质，易证≌，可得，，即可求出点坐标．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理，切线的性质，旋转的性质和矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相关知识．
连接并延长交于点，可证四边形是矩形，再根据勾股定理和垂径定理即可求得的长．
【解答】
解：如图，连接并延长交于点，

矩形绕点旋转得矩形，
，，
，
边与相切，切点为，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
．
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，，
将绕点顺时针旋转，
，且，，
≌，
，
故正确；
，，
≌，
，
，
，
，
故正确；

若，
，
，
，
，
，
不可能，
故错误，
，，
，
，
；
故正确
故选：．
由“”可证≌，≌，可得，，由余角的性质可判断，由可判断，由“”可证≌，由勾股定理可判断．
本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：将组数据从小到大排列排在最中间的数是，
所以中位数为，
故答案为：．
将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，注意求中位数的时候首先要排序．
 

15.【答案】
 

【解析】解：解法：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
在中，，，
设，，则，
．
故答案为．

解法：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
又，
．
又，
．
、互为余角，
．
故答案为．
本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
本题考查了求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
 

16.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
则的取值范围是．
故答案为：．
根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，弄清一元二次方程解的情况与根的判别式的关系是解本题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：延长交于点，如图，
平分，于点，
，，
，
为等腰三角形，，
，
，
，
∽，
，即，
．
故答案为：．
延长交于点，如图，先证明，则可判断为等腰三角形，，根据等腰三角形的性质得到，接着证明∽，然后利用相似比求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了等腰三角形的性质．
 

18.【答案】
 

【解析】解：作于点，
由知，
．
于点，
．
由反比例函数面积性质可知，
，
四边形与的面积差为，
即面积为．
．
点、在反比例函数上，
，，
设，则，
，
，舍去，
，
与的面积等于与的差，
即为．
故答案为：．
作于点，由一次函数性质可得，根据反比例函数面积性质及四边形与的面积差为推出面积为，可求出，，设，则，列方程求解后，与的面积转换为与的差，即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉以上知识点是解题的必备条件，本题关键在于推出面积为．
 

19.【答案】解：原式

．
 

【解析】首先化简绝对值，求零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，再按顺序进行加减运算．
本题主要考查了化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握实数的运算法则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：原式


，
且，
取，
则原式．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式有意义的条件及分式混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：如图所示；

由图可知，点的坐标为；
点如图所示．
因为三角形两边之差小于第三边，
所以当点，，在同一条直线上时，
最大等于．
 

【解析】根据平移的性质即可作出向右平移个单位得到的；
根据旋转的性质即可作点绕点顺时针旋转得到的点，进而写出其坐标；
根据三角形两边之差小于第三边可得当点，，在同一条直线上时，最大等于．
本题考查了作图旋转变换，轴对称最短路线问题，作图平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

22.【答案】解：；

；
列表如下：

由表可知总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有种，所以抽到一名男生和一名女生的概率为．
 

【解析】

【解答】
解：本次调查的学生总人数为人，
项活动的人数为，
补全统计图如下：

故答案为：；
，即；
表示“”类的扇形的圆心角是，
故答案为：、；
见答案．

【分析】
根据活动的人数及其百分比可得总人数，总人数减去、、的人数求出活动的人数，据此补全统计图可得；
用活动项的除以总人数可得的值，用乘以所占的百分比可得；
列表得出所有等可能结果，再从中找到恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而根据概率公式计算可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．  

23.【答案】解：设平均每次降价的百分率为，
由题意可得：，
解得，不合题意，舍去，
答：平均每次降价的百分率是；
设商场降价元，商场每天盈利为元，
由题意可得：，
该函数图象开口向下，当时，取得最大值，
答：当商场降价元时降价金额为整数，获得的利润最大．
 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元二次方程，然后求解即可，注意下降率不能超过；
设商场降价元，商场每天盈利为元，根据题意，可以写出与下降的钱数之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以求得当为何值时，取得最大值．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和写出相应的函数解析式．
 

24.【答案】解：

；
如图，过点作于点，

，，
 ，
，，
，
 ．
答：建筑物的高为；
延长交于点，作交于点，并使，

，
由得 ，
，
，
，
答：飞机再飞可使点看飞机的仰角为．
 

【解析】根据给出的公式计算即可得出答案；
过点作于点，求出和的长即可得出答案；
延长交于点，作交于点，并使，根据角的正切可得，再计算即可．
本题考查俯角的定义，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形并解直角三角形．
 

25.【答案】证明：连接，，

为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是圆的半径，
为半圆的切线；
解：连接，，，

是圆的直径，
，
，
，
，
由得，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
圆的半径是；
解：连接，

，
，
，
又，
，，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
在中，，
，
在中，，，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
故，
．
 

【解析】直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出，即可得出答案；
连接，，，根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理得到，求得，解直角三角形即可得到结论；
直接利用得出，再利用，求出答案．
此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出是解题关键．
 

26.【答案】解：由题意，
解得：，
二次函数的表达式为；
过点作直线轴于点，
由得，
抛物线的顶点，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
在点处，是等腰直角三角形，此时为，
，
由得是等腰直角三角形，，
，
为或，
，
，，
，
为，
综上所述，为，或或；
如图，以为圆心，为半径作圆，则点在圆周上，
在上取点，使，连接，
则在和中，
满足：，，
∽，
，
从而得：，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
过点作于点，由于，且为等腰直角三角形，
则有，，
的最小值为：．
 

【解析】运用待定系数法即可求出答案；
分三种情况：当，时，点与重合；当时，在上方和下方两种情况；当时，由等腰三角形“三线合一”即可求出；
如图，以为圆心，为半径作圆，则点在圆周上，在上取点，使，连接，根据相似三角形的判定定理得到∽，根据相似三角形的性质得到，从而得：，当、、三点共线时，取得最小值，过点作于点，由于，且为等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，配方法，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，圆的性质等，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．