2021-2022学年广东省东莞市三校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省东莞市三校联考八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 如图，，分别是的边，上的中点，若，则是

A.
B.
C.
D.

5. 菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形、、、的边长分别是，，，，则最大正方形的面积为

A.  B.  C.  D.

7. 本学期学校开展了“品读古典名著，传承中华文化”比赛活动，小华统计了班级名同学月份阅读古典名著的数量，具体数据如表所示：那么这名同学四月份阅读古典名著数量的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 对于一组数据，，，，，用算式计算方差，其中“”是这组数据的

A. 最小值 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数

9. 如图，正的数为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点有下列结论：
    ≌；
    ；
    四边形的面积为正方形面积的；
    ．
    其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 要使式子有意义，则的取值是______．
12. 化简：______．
13. 若，则 ______ ．
14. 我区“引进人才”招聘考试分笔试和面试．其中笔试按、面试按计算加权平均数作为总成绩．吴老师笔试成绩为分，面试成绩为分，那么吴老师的总成绩为______分．
15. 如图，在平行四边形中，，，的角平分线，则的值为______．
     

16. 已知一个直角三角形的两边长分别为，，则第三边的长为______．
17. 如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；；依此类推，则平行四边形的面积为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都为．
    求边长，，；
    判断的形状，并说明理由．
    
    
     

20. 如图，为▱的对角线，点、在上，且，求证：．

21. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加金国比赛，对他们进行了六次测试，成绩单位：环如下表：

分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数和方差；
你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由．






 

22. 如图，在中，，点是的中点，过点作，连，使得，连接，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合．
    求证：；
    求的长；
    折痕的长．
    
     

24. 小芳在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
    ，，
    ，，，
    ．
    请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
    计算：．
    若．
    化简，求的值；
    求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，四边形是正方形，点是边上任意一点，于点，且交于点．
    求证：；
    若，，求的长；
    如图，连接、，判断线段与的位置关系并证明．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
利用二次根式的性质分别化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【解答】
解：、，故不能构成三角形，此选项错误；
B、，故不能构成直角三角形，此选项错误；
C、，故能构成直角三角形，此选项正确；
D、，故不能构成直角三角形，此选项错误．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：，分别是的边，上的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：设另一条对角线长为，
则，
解得．
故选：．
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求解即可．
此题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可知




；
故选：．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：这组数据中首出现的次数最多，有次，
所以这名同学四月份阅读古典名著数量的众数首，
一共有个数据，其中位数为第、个数据的平均数，而第、个数据分别为、，
这名同学四月份阅读古典名著数量的中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

8.【答案】
 

【解析】解：方差中“”是这组数据的平均数，
故选：．
根据方差的定义可得答案．
本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题意：，
，
点在正半轴上，对应的数为，
故选：．
利用数轴，结合图形解答即可．
本题主要考查了数轴，算术平方根，利用数形结合解答是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，故正确；
≌，
，
四边形为正方形，
，
，故正确；
由全等可得四边形的面积与面积相等，
四边形的面积为正方形面积的，故正确；
在中，，根据勾股定理，得：
，故正确；
综上所述，正确的是，
故选：．
利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出≌，属于选择压轴题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负．
 

12.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的乘法，化简即可得解．
本题考查二次根式的乘法：，注意结果要化为最简形式．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，而，，
，，
解得，，，
则，
故答案为：．
根据非负数的性质列出方程，解方程求出、的值，计算即可．
本题考查了算术平方根和完全平方的非负数性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，
老师的总成绩为：

分，
故答案为：．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出吴老师的总成绩．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
 

15.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据平行四边形的性质可得，，，然后证明，进而可得长，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；证出是解决问题的关键．
 

16.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】

解：设第三边为，
若是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得：
，
；
若是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得：
，
；
第三边的长为或．
故答案为或．
 

17.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，

故答案为：．
根据矩形的性质求出的面积等于矩形的面积的，求出的面积，再分别求出、、、的面积，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．
 

18.【答案】解：原式

．
 

【解析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

19.【答案】解：，，，
，，；
是直角三角形，理由如下：
，，，
，
是直角三角形．
 

【解析】利用勾股定理计算求解；
利用勾股定理的逆定理即可作出判断．
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是求边长，，．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，再证≌，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：甲的平均成绩：，
乙的平均成绩是：；
，
；

选乙，因为甲乙两人平均数相同，且乙的方差小，成绩比较稳定．
 

【解析】先计算出数据的平均数，再计算方差，一般地设个数据，，，的平均数为，，则方差；
根据方差和平均数两者进行分析．
此题主要考查了计算平均数和方差，关键是掌握方差的计算公式．一般地设个数据，，，的平均数为，，则方差
 

22.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
解：在中，，，
，，
，，
，
，
．
 

【解析】首先证明，，推出四边形是平行四边形，再根据，推出四边形是菱形；
求出菱形的对角线的长即可解决问题．
本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：过点作于，
是直角梯形的折痕，
，．
又，
，
；
解：将长方形纸片折叠，使点与点重合，
，
，
，
，
即，
；
解：设，，，
在中，，
解得．
在中，，，
．
 

【解析】先过点作于利用勾股定理可求出，再利用翻折变换的知识，可得到，，再利用平行线可得，故有根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论
先求出，再使用勾股定理可求出的长．
本题考查了翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：



；
，
，
，
，
，




；
由知，




．
 

【解析】根据平方差公式可以求出所求式子的值；
根据平方差公式可以化简，然后即将变形，即可得到的值，再整体代入化简后的式子计算即可；
根据中的值，将所求式子变形，再整体代入计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式和平方差公式解答．
 

25.【答案】解：证明：，，
，
，
四边形是正方形，
且，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
在中，，，根据勾股定理得，，
，
，
，
∽，
，
，
；
．
理由如下：，，
，
≌，
，
又四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
 

【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，判断出≌是解本题的关键．
先判断出，再判断出，进而利用“角角边”证明和全等，即可得出结论；
先求出，再判断出∽，得出比例式即可得出结论；
先判断出，然后利用“边角边”证明和全等，得出，即可得出结论．