2021潍坊高一下学期期中考试数学试题含答案

试卷类型：A

潍坊市2020-2021学年高一下学期期中考试数学

2021.5

本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．2021°角的终边所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

3．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．若某种信号的波形对应的函数解析式为，则其部分图像为（    ）

A． B．

C． D．

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

5．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在矩形中，，，为的中点，与交于点，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（    ）

A．  B．当时，

C．当角越大时，用力越省 D．当时，

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．

9．下列四个三角关系式中正确的是（    ）

A．    B．

C． D．

10．下列命题中的真命题是（    ）

A．若，，则向量在向量方向上的投影的数量为

B．若，则是与向量方向相同的单位向量

C．若向量，不共线，则与一定不共线

D．若平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为

11．已知，是函数的图像与直线的两个不同的交点，若的最小值是，则（    ）

A． B．函数在区间上单调递增

C．是奇函数 D．函数的图像关于点中心对称

12．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（    ）

A．设，，若，则，

B．设，则

C．设，，若，则

D．设，，若与的夹角为，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，，是平面上四个点，则______．

14．已知（，）的图像过点，要使该函数解析式为，还应该给出的一个条件是______．

15．已知函数（）满足的的最小值为，则______，直线与函数在上的图像的所有交点的横坐标之和为______．

16．潍坊的传统民间工艺有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．为弘扬民族文化，潍坊某中学开展劳动实习，学生到一个铸造厂学习铁皮裁剪技术，如图所示，铁皮原料的边界由一个半径为的半圆弧（点为圆心）和直径围成，甲班学生决定将该铁皮原料裁剪成一个矩形，则当该矩形的周长最大时，______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

如图所示，在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为，其中．

（1）求和，，的值；

（2）求的值．

18．（12分）

已知向量，向量，向量（其中），且．

（1）求的值和；

（2）若，，且，，三点共线，求实数的值．

19．（12分）

三角函数中有许多形式简洁，含义隽永的数学等式．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：

甲：；

乙：；

丙：；

丁：．

（1）请从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，请将结论推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．

20．（12分）

将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且．

（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由；

（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．

21．（12分）

潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．

下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据：

（1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，（，，），（，，）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；

（2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：，）

22．（12分）

已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值；

（3）若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．

高一数学参考答案及评分标准

2021.5

一、单项选择题

1-4  CDBD    5-8  CAAB

二、多项选择题

9．BD    10．BC    11．AC    12．ACD

三、填空题

13．    14．或周期    15．4，    16．

四、解答题

17．（1）解：由题意，，所以，

所以，

又因为，

所以，

则，，

所以．

（2）．

18．解：（1）因为，，

所以，

，

因为，

所以，

所以，

故，．

（2）因为，，，

所以，

又因为，，三点共线，

所以，

即，

所以

解得：，

故的值为．

19．解：（1）选甲时：

．

（2），

证明：左边，

，

．

20．解：（1）由题意得，，

所以，即，

则，

所以，

因为为钝角，所以，

故，

故与不可能垂直．

（2）因为，所以，

所以，

当时，，

所以，

此时，

因为，

所以，

又因为

所以．

21．解：（1）可选择以下6个点：，，，，，，其图像如下：

选法一：设选取的函数解析式为：（，，），

由题意得：，所以，，

又因为，

解得，，

所以，

由，得，

所以，，

又，所以当时，，

所以，（参照解法一相应给分）．

选法二：设选取的函数解析式为：（，，），求解过程同上，可得，．

（2）根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到12.8米，

由，

解得：，

即

所以，，

故，

又因为，所以，

所以可安排货轮在0时到5时之间进港．

货轮安全离港的水深要求至少达到12米，

根据表中数据可知最早在晚上22时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为17个小时．

综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．

22．解：（1）由题意得，

．

由，，得，，

可得函数的单调递增区间为，．

（2）因为，所以，

所以，

所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，

所以．

由题意得，，所以对一切恒成立，

所以，解得，

所以整数的最大值为4．

（3）由题意知，，

将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），

得，

再向右平移个单位得，

因为关于的方程在区间上有解，整理得：

，

即（*）在区间上有解，

令，

（*）式可转化为：在内有解，

所以，，

又因为和在为增函数，

所以在为增函数，

所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，

所以，

综上所述：的取值范围为．