初中几何添加辅助线规律+模型大全+经典题型

初中几何添加辅助线规律+模型大全+经典题型几何辅助线规律规律1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。规律2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。规律3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。规律4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。规律5有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。规律6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。规律7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。规律8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。规律9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。规律10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。规律11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。规律12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。规律13在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。02规律14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。规律15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。规律16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。规律17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。规律18三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半。规律19从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半。注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力。规律20在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题。规律21有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形。规律22有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形。规律23在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形。规律24截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等。这两种方法统称截长补短法。当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：①a＞b    ②a±b=c    ③a±b=c±d　规律25证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等。③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形。规律26在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等。规律27三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等。规律28条件不足时延长已知边构造三角形。规律29连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题。规律30有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”。规律31当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形。规律32当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件。规律33有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题。规律34有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线⑵有底边中点时，常作底边中线⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形规律35有二倍角时常用的辅助线⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角⑵平分二倍角⑶加倍小角规律36有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来。规律37有垂直时常构造垂直平分线。规律38有中点时常构造垂直平分线。规律39当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题。规律40条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中。03规律41平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半。规律42平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差。规律43有平行线时常作平行线构造平行四边形。规律44有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段。规律45平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等。规律46平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半。规律47平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半。规律48任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等。规律49平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形。规律50有垂直时可作垂线构造矩形或平行线。规律51直角三角形常用辅助线方法：⑴作斜边上的高⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：①有斜边中点时②有和斜边倍分关系的线段时规律52正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等。规律53有正方形一边中点时常取另一边中点。规律54利用正方形进行旋转变换。旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法。旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中。规律55有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形。规律56从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。规律57从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形。规律58从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形。规律59延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形。规律60有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形。规律61有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形。规律62梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线。规律63任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半。规律64有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题。规律65有下列情况时常作三角形中位线。⑴有一边中点；⑵有线段倍分关系；⑶有两边（或两边以上）中点。规律66有下列情况时常构造梯形中位线⑴有一腰中点⑵有两腰中点⑶涉及梯形上、下底和规律67连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形。规律68连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形。规律69连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形。规律70连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形。规律71连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形。规律72等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）。规律73等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形。规律74如果矩形对角线相交所成的钝角为120o，则矩形较短边是对角线长的一半。规律75梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积。规律76若菱形有一内角为120°，则菱形的周长是较短对角线长的4倍。 04规律77当图形中有叉线（基本图形如下）时，常作平行线。规律78有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形。规律79当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形。⑴有特殊角时，如有30°、45°、60°、120°、135°角时。⑵涉及有关锐角三角函数值时。构造直角三角形经常通过作垂线来实现。05规律80当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题。规律81两圆相交时，常连结两圆的公共弦。规律82任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。规律83任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。规律84三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半。规律85等腰直角三角形斜边的长等于直角边的√2倍。规律86在含有30°角的直角三角形中，60°角所对的直角边是30°角所对的直角边的√3倍。规律87直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的2倍，则斜边是较短直角边的√5倍。规律88圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题。规律89有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角。规律90有弦中点时常连弦心距。规律91证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。规律92有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径⑵连结等弧所对的弦⑶连结等弧所对的圆心角规律93圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半。规律94圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半。规律95有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题。规律96有垂直弦时也常作直径所对的圆周角。规律97有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角规律98有弦中点时，常构造三角形中位线。规律99圆上有四点时，常构造圆内接四边形。初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。旋转最值(共线有最值)说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型三角形→四边形四边形→四边形说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。 矩形→正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形→正方形面积等分旋转相似模型说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。相似模型说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）AFGCEBOD2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．APCDB 求证：△PBC是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDMB4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．　（1）求证：AH＝2OM；·ADHEMCBO　（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）·GAODBECQPNM2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．·OQPBDECNM·A求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．PCGFBQADE求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．AFDECB求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）EDACBF3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．DFEPCBA求证：PA＝PF．（初二）ODBFAECP4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．APCB求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）PADCB3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）CBDA4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）FPDECBA经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．ACBPDAPCB　　　　ACBPD3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．EDCBA4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1= FB2 ，EB2=AB=BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ，可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,从而可得∠A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200， 从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于， 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。 又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。 由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。 从而可得PQ= = ，从而得证。经典难题（三）1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350 从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH， 可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 。经典难题（四）顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。可得△PQC是直角三角形。所以∠APB=1500 。2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得： =，即AD•BC=BE•AC， ① 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得 =，即AB•CD=DE•AC， ② 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。4.过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由==，可得： =，由AE=FC。 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。经典难题（五）1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L= ； （2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP ①又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④ 由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：≤L＜2 。 2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF= = = = = = 。3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长L = = 。4.在AB上找一点F，使∠BCF=600 ， 连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形， 可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。 推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ， 既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。