初中平面几何之半角模型，附练习题含参考答案学案

半角模型

半角模型在中考数学试题中，属于非常火的几何模型，相关的题目以选择题、填空题为主，以多选项问题为主流，相关的结论也有诸多变化.与半角模型相关的结论较多，要在考场上有限的时间内判断4-5个结论，明显对多数同学有相当的困难.提前熟悉半角模型及相关结论的证明，对解决此类问题有巨大的帮助.

1.   问题背景

如图，在ABC中，BAC=45，BD=2，CD=3，求AD的长.

方法一：构造相似

在CB延长线上取一点G，使DG=DA，则△CAB~△CGA，设AD=x,则GC=x+2,AG=x,AC=于是,x=6,故AD=6另法：在BC的延长线上取一点，构造相似

方法二：构相似

在AD上取点N、M，使DN=DB,DM=DC，∠BAD+∠ABN=45°，∠BAD+∠CAD=45°故∠ABN=∠CAD，得△ABN~△CAM设AD=x,则AN=x-2,AM=x-3，，,x=6，AD=6

方法三：构全等

过点B作BE⊥AB交AC延长线于点E，作EF⊥BF则△ABD≅△BEF则BF=AD，EF=BD设CF=x,则AD=x+5,又△ACD~△ECF故，得x=6,故AD=6

方法四：（高中）正切和差公式

，，,x=6,故AD=6

方法五：翻折构45°半角模型

将△ABD和△ACD分别沿AB、AC翻折则∠EAF=90°，分别延长EB、FC交于点G则AEGF为正方形，设AD=x,则BG=x-2,CG=x-3,(x-2)2+(x-3)2=52,x=6，AD=6

后面接着深入探究此模型及结论

半角模型相关的系列结论：

结论一系列：①BE+DF=EF②△ADF≅△ABG③△AEF≅△AEG④∠AEG=∠AEF⑤∠AFD=∠AGB=∠AFE

简证：在CB延长线上取一点G，使BG=DF又AD=AB，∠ABG=∠ADF，故△ADF≅△ABG同时∠1=∠3，∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°AF=AG，AE=AE，故△AEF≅△AEG于是结论4，5可同步得出

结论二系列：1.△BEN~△AMN~△DMF~△AEF

简证：∠EBN=∠MAN=∠MDF=45°∠BEN=∠AEF，∠MFD=∠AFE

结论三系列：

①△ADM~△ACE②△ABN~△ACF③④⑤

简证：∠DAF+∠FAC=45°∠FAC+∠EAC=45°得∠DAF=∠EAC而∠ACM=∠ACE

结论四系列：连接ME、NF①△ABN~△MEN②△ADM~△NFM③AM⊥EM，AN⊥FN④AM=ME，AN=NF⑤△AEM、△ANF为等腰直角三角形

简证：由系列二△BEN~△AMN可知→，又∠ANB=∠MNE

故△ABN~△MEN，结论2证法类似；∠MEN=∠ABN=45°=∠EAM，故△AME为等腰直角三角形，AM=ME

结论系列五：1.MN2=BN2+DM2

结论系列六：∠MAN=∠B=45°，∠AMN=∠AMN故△AMN~△BMA，同理可得△AMN~△DAN

得△AMN~△BMA~△DAN推广半角模型：同理可得△ABC~△NBA~△MCA

结论系列七：共圆①A、B、E、M四点共圆②A、N、F、D四点共圆③C、E、N、M、F五点共圆

结论系列八：①AE平分∠BEF，AF平分∠DFE②点A为△EFC的旁心③AM-MD=BE④AD+DF=DN⑤|BE-DF|=|BN-DM|上述结论均可由结论系列证出，

练习题

1．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（　　）

A．4 B．5 C．10 D．5

2．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的点，且BE＝CF＝2，连接DE、AF交于点O，过点F作AF的垂线段FG，连接CG使得∠GCF＝135°，连接AG交DE于点M，则△GFM的面积为（　　）

A．24 B．25 C． D．26

3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（　　）

A．2.4 B．3.4 C． D．

4.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.如图，在正方形ABCD中，M为边BC上的一点，MN⊥BC交BD于点N，连接AM交BD于点E，F为DN中点，连接AF．有下列说法：①BN=BM；②∠BAF＝∠AEF；③BE2+DF2＝EF2；④AB﹣MN＝DF．其中正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、AF分别交BD于点M、N连接CN、EN且CN=NE，下列结论：1.AN=EN，AN⊥EN;2.BE+DF=EF;3.;4.图中只有4对相似三角形，其中正确的结论个数是(  )

A.1              B.2          C.3                  D.4

7.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE=1，∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF=，过点F作AD的平行线交BA延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF下列结论：1.△ECF的面积为；2.△AEG的周长为8；3.EG2=DG2+BE2.其中正确的是______

8.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，DG⊥EF于点H，交BC于点G，点P在线段BG上，若∠PEF=45°，AE=CG=5，PG=5，则EP=_______

9.如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AD、BC上的点，点G、H分别为AB、CD上的点，线段GH与EF的夹角为45°，GH=，则EF=_______

10.如图，正方形ABCD中，AB=2，E是CD的中点，将正方形ABCD沿AM折叠，点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为______

11.如图，四边形ABCD中，AD||BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°，若CD=4，则△ABE的面积为_____

12.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE=3且∠ECF=45°，则CF的长为_____

13.如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O且∠EAF=45°，AE、AF分别交对角线BD于点M、N，则有以下结论：1.△AOM~△ADF；2.EF=BE+DF; 3.∠AEB=∠AEF=∠ANM; 4.S△AEF=2S△AMN,正确的个数有___个.

14.如图，正方形ABCD中，H为CD上一动点（不含C、D），连接AH交BD于G，过点G作GE⊥AH交BC于E，过E作EF⊥BD于F，连接AE，EH．下列结论：①AG＝EG；②∠EAH＝45°；③BD＝2GF；④GE平分∠FEC．正确的是 　   　（填序号）．

15.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 　   　（填入正确的序号即可）．

16．如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则MC＝；其中正确结论的有　   　．

17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．G为对角线BD的延长线上一点，E为线段CD的中点，BF⊥AE，连接OF．已知∠DAG＝15°，下列说法正确的是　   　．（将正确答案的序号填写下来）

①AG＝BD；②BF＝；③；④S△POF＝；⑤若E点为线段CD上一动点，当AE＝EC+CQ时，AQ＝4．

18．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是 　   　．

19．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝　   　．

20.如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连接AK、MK．下列结论：①EF＝AM；②AE＝DF+BM；③BK＝AK；④∠AKM＝90°．其中正确的结论有　   　个．

21.如图，在ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D、E在BC上且满足BD=2EC，∠DAE=60°，求DE.

22.如图，梯形ABCD中，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线相交于点F，若AE=10，求

参考答案

1.   B   2.D   3.B    4.D    5.D    6.B    7.C     8.5       9.     10.2-4       

11.        12.2       13.4         14.①②③        15.①②③ ⑤      16.①②③⑤

17.①③⑤      18.①②④      19.6     20.3    21.3-3      22.30或48