2021淮安高一下学期期末数学试题含答案

淮安市2020─2021学年度第二学期期末调研测试

高一数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若复数，则z在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（　　）

A．20家 B．10家 C．15家 D．25家

3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角A的大小为（　　）

A． B． C． D．

4．已知α为第二象限角，，则（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，（　　）

A． B． C． D．

6．已知m，n，l是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则（　　）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，，则

7．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（　　）

A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈

8．已知点P是边长为1的正方形的对角线上的一点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．下列说法中正确的是（　　）

A．若，，则

B．对于向量，，，有

C．向量，能作为所在平面内的一组基底

D．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件

10．某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数（　　）

A．众数为2和3 B．标准差为 C．平均数为3 D．第85百分位数为4.5

11．正六角星形是人们普遍知道的犹太人标志，凡是犹太人所到之处，都可看到这种标志．正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图一）．如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（　　）

A．向量，的夹角为120°

B．若，则

C．

D．若，则

12．如图，点M是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（　　）

A．二面角的大小为45°

B．存在点，使得异面直线与所成的角为30°

C．点M存在无数个位置满足

D．点M存在无数个位置满足面

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若向量，写出一个与向量方向相反且共线的向量__________．

14．若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且，，则该平面图形的面积为__________．

15．已知，，，，则__________．

16．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，正四棱锥的高与蛋黄半径的比值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

设复数，，i为虚数单位）．

（1）若为实数，求m的值；

（2）若，且，求m的值．

18．（本小题满分12分）

4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

（2）若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

19．（本小题满分12分）

《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．在直四棱柱中，E，F分别为线段与上的中点．

（1）求证：平面；

（2）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：__________⊥__________，使得三棱锥为“鳖臑”；并证明你的结论．

20．（本小题满分12分）

某企业生产两种如下图所示的电路子模块R，Q：

要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型．假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响．在电路子模块R中，当号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．

（1）若备选电子元件A，B型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；

（2）若备选电子元件A，B，C型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大，并说明理由．

21．（本小题满分12分）

从①；②；③这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．

已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且__________．

（1）求角A的大小；

（2）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，，，，且，，两两夹角都为．

（1）若，求三棱锥的体积；

（2）若，求三棱锥的体积．

淮安市2020—2021学年度第二学期期末调研测试

高一数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【答案】A

【解析】坐标为（1，1）

2．【答案】A

【解析】三种店的比例为20：100：15=4：20：23故抽20家粮食加工店．

3．【答案】D

【解析】由题意知，则．

4．【答案】B

【解析】，

5．【答案】C

【解析】，，

6．【答案】C

【解析】A错误，还可以在平面内．B错误，，可以互相垂直．D错误，，可以相交．

7．【答案】B

【解析】设上底半径为r，下底半径为R，，，，

8．【答案】C

【解析】如图

，

，，此时P与B重合．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．【答案】CD

【解析】A：不能为；B：两向量方向未必相同．

10．【答案】AC

【解析】众数为2和3，平均数为；

标准差，

这组数按照从小到大排为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，8．5非整数，则第85百分位数为第九个数5．

11．【答案】ABC

【解析】由两个小正三角形，为．

C：有平行四边形法则可知，，

则

D：由平行四边形法则可知，若以，为基底分解，则系数和应该为复制，否则方向与不一致，故错误．

12．【答案】A：这个二面角的大小即为的二面角大小为45°

B：∵平行∴为异面直线与所成角当M在线段，移动时，M取中点，

最小，正弦值为，错误．

C：当M在上时，满足条件．∵，，∴平面

∵平面∴|

，平面，平面

∴平面，

∵，平面，平面

∴平面

∵

∴平面平面

当M在时，平面

∴平面

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．【答案】（1，2）

【解析】，时，方向相反且共线，所以．

14．【答案】

【解析】作，，因为，，

所以，．因此．

又根据斜二测画法的特征可得，在原图中

，，即原图为直角梯形，且高为直观图中的2倍，

所以该平面图形的面积为

．

15．【答案】

【解析】因为，，所以．

．

，因为，所以．

16．【答案】

【解析】设正四棱锥的棱长均为，球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切．

正四棱锥的高，设球半径为r，四棱锥的面积，

，

，，所以．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1）由于，

所以，解得；

（2）由于，所以，解得．

18．【解析】（1）由可得；

这1000名学生每日的平均阅读时间，分钟；

（2）由于，因此，［60，80）抽取了3人a，b，c，抽取了2人d，e，

则再从中抽取2人共有10种不同的抽取方法，

抽取的2人来自不同组共有6种可能，因此抽取的2人来自不同组的概率为．

19．【解析】（1）证明：在直四棱柱中，因为E，F分别为边与的中点，

所以，又因为，所以，因为平面，平面

所以平面；

（2）若，则三棱锥为“鳖臑”；且为直角三角形；证明：在直四棱柱

中，平面，所以，，所以，均为直角三角形；因为，，，，平面，所以平面；

又因为平面，所以，所以为直角三角形．

因此，三棱锥的四个面均为直角三角形，三棱锥为“鳖儒”．

20．【解析】（1）假设事件A，B，C分别表示电子元件A，B，C正常工作，电路子模块R不能正常工作的概率为，由于事件A，B互相独立，所以，

因此电路子模块R能正常工作的概率为

（2）由于当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块Q才能正常工作，因此①若1号位元件为电子元件A，则电路子模块Q正常工作的概率为

；

②若1号位元件为电子元件B，则电路子模块Q正常工作的概率为

；

③若1号位元件为电子元件c，则电路子模块Q正常工作的概率为

；

因此，1号位接入正常工作概率最大的元件C时，电路子模块Q正常工作的概率最大．

21．【解析】（1）若选①，在中，由正弦定理得：，

因为，A，B，，所以且，因此，；

若选②，在中，由余弦定理得．，

所以，因为，

因此，且，故；

若选③，在中，，且

由正弦定理得：，故，；

（2）因为为锐角三角形，所以，，因此

由正弦定理得：，

因为，，

所以的周长为，

，

由于，所以的周长取值范围为．

22．【解析】（1）因为，，，，平面

所以平面，因此，

（2）解法一，在线段上取点D，使得，连接，，

因为，，，

由于余弦定理可得：，所以

同理可得：，又因为，，平面，

所以平面，在等腰三角形中，

因为，，

所以，所以三棱锥的体积为．

由于，因此．

解法二：过点B作面的垂线，垂足为H，

过点B作的垂线，垂足为M，

连接，，，因为，，，

由于余弦定理可得：，所以，

，，，

所以与全等，故，

又因为，所以直角三角形与全等，

，因为，，，平面，

，所以平面．

又因为平面，所以﹔

同理可得：，在直角三角形，中，

因为，，所以与全等，

，点H在的平分线上，

因为为直角三角形，，，

，所以，

因此，．