辽宁省葫芦岛市2022届高三下学期第二次模拟考试数学试题

辽宁省葫芦岛市2022届高三下学期第二次模拟考试数学试题

第I卷（选择题）

1．已知集合，，（       ）

A． B． C． D．

2．设z=i(2+i)，则=

A．1+2i B．–1+2i

C．1–2i D．–1–2i

3．某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：

由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（       ）

A． B． C． D．

4．朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第二个音的频率为，第八个音的频率为.则（       ）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为                                                                                                 

A． B． C． D．

6．若，则（       ）

A． B． C．-3 D．3

7．若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）

A． B． C． D．

8．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．

9．已知某厂生产一种产品的质量指标值X服从正态分布，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有（       ）

参考数据：，，，，.

A．1586件 B．1588件 C．156件 D．158件

10．设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（       ）

A．0 B．1 C．99 D．100

11．已知，，则下列不等式成立的是（       ）

A． B．

C． D．

12．已知，将向量绕原点O逆时针旋转到的位置，M，N为平面内两点，使得，，，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

13．已知函数是奇函数，则___________.

14．能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

15．展开式中的系数为________．

16．设函数（且）满足以下条件：①，满足；②，使得；③，则___________.关于x的不等式的最小正整数解为___________.

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求C；

(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.

18．如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，为等腰直角三角形，且，，.

(1)求；

(2)求二面角的余弦值.

19．2022年初，新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发，市某慈善机构为筹措抗疫资金，在民政部门允许下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动，任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖.在线上捐款后，屏幕上会弹山抽奖按钮，每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一个.规定：若出现“利”字，则抽奖结束.否则重复以上操作，最多按4次.获奖规则如下：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，获一等奖；不按顺序出现这四个字，获二等奖；出现“抗”“疫”“胜”三个字为三等奖.

(1)求获得一､二､三等奖的概率；

(2)设按下按钮次数为，求的分布列和数学期望.

20．已知数列是等差数列，且，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项.

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列通项公式为，求的前100项和.

21．已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，坐标原点O与A点关于直线l：对称，l与椭圆第二象限的交点为C，且.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过A，O两点的圆Q与l交于M，N两点，直线BM，BN分别交椭圆C于异于B的E，F两点.求证：直线EF恒过定点.

22．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)设函数在处的切线与x轴平行，若有一个绝对值不大于4的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于4.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

解不等式求出，从而求出交集.

【详解】

由得：，所以，

所以

故选：A

2．D

【解析】

【分析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．

【详解】

，

所以，选D．

【点睛】

本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．

3．C

【解析】

【分析】

结合散点图的特点，选择合适的方程类型作为回归方程类型.

【详解】

由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的增长速度越来越快，

所以最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型.

故选：C

4．A

【解析】

【分析】

先设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，得出通项公式，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第八个音的频率与第二个音的频率的比值．

【详解】

解：设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，那么，

根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，

所以.

故选：A

5．D

【解析】

【详解】

由题意得 ,选D.

6．C

【解析】

【分析】

利用诱导公式，弦化切进行计算.

【详解】

，

分子分母同除以，

，

解得：

故选：C

7．B

【解析】

【分析】

设切点为，其中，利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，分析得出，可知直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性，可得出，即可得解.

【详解】

设切点为，其中，因为，则，故切线斜率为，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

将点的坐标代入切线方程可得，

设，则直线与曲线有两个交点.

①若，则，即函数在上单调递增，不合乎题意；

②若，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，所以，.

由题意可知，即.

故选：B.

8．A

【解析】

【分析】

根据题意作出如下示意图，设为外接圆的圆心，所以为外接圆的半径，为球体的半径，根据球的性质得平面，所以即为到平面的距离，所以，再分别求出所需数据即可.

【详解】

根据题意作出如下示意图，设为外接圆的圆心，所以为外接圆的半径，

为球体的半径，根据球的性质得平面，所以即为到平面的距离，

所以，因为是面积为的等边三角形，

所以底边的高为：，

所以面积为：，所以，

所以底边高为：，所以，

因为球的体积，解得，即，

所以到平面的距离为：.

故选：A.

9．AB

【解析】

【分析】

根据正太分布的对称性进行求解.

【详解】

因为，而，

所以质量指标值不低于81.91的产品约有，

故选：AB

10．BC

【解析】

【分析】

首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到，再根据函数单调性求解即可.

【详解】

如图所示：

因为关于的方程有四个实数解，且，

所以.

的对称轴为，所以.

因为，所以，即，.

因为，所以.

所以，

因为，为减函数，

所以.

故选：BC

11．AB

【解析】

【分析】

AB选项，利用基本不等式进行求解；CD选项，利用作差法比较大小.

【详解】

，即，所以，

因为，所以由基本不等式得：，所以，

解得：，A正确；

，当且仅当时等号成立，故B正确；

，

因为，所以，所以，C错误；

，

因为，而可能比1大，可能比1小，所以符号不确定，所以D错误，

故选：AB

12．ABC

【解析】

【分析】

根据平面向量的性质，建立平面直角坐标系，利用数形结合，以及圆与圆的位置关系的性质，逐个选项进行计算和验证，进而可得答案.

【详解】

由已知得，，得，向量绕原点O逆时针旋转到，则为等边三角形，，故B正确；

且，过作轴，得，所以，，，

得，得，故A正确；

以为圆心，半径为作圆，以为圆心，半径为2作圆，则圆和圆相交的点就是，联立两圆的方程：，

两圆方程作差，可得点在直线上，整理得，

，化简得，，

所以，，解得其中一个有效的，根据对称性，取该点进行运算即可.

又因为，则点在的垂直平分线上，而的中点坐标为，所以，点在直线上，上，

所以，，，

对于C，因为，所以，

，化简得，

，当且仅当时，，故C正确；

对于D，，故D错；

故选：ABC

13．1

【解析】

【分析】

根据奇函数的定义可得.

【详解】

由题知，的定义域为R，因为是奇函数，所以，

所以，

所以，

所以恒成立

所以.

故答案为：1.

14．

【解析】

【详解】

试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.

【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．

15．30

【解析】

【分析】

先将问题转化为二项式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令的指数分别等于2，4，求出特定项的系数．

【详解】

由题可得：展开式中的系数等于二项式展开式中的指数为2和4时的系数之和，

由于二项式的通项公式为，

令，得展开式的的系数为，

令，得展开式的的系数为，

所以展开式中的系数，

故答案为30.

【点睛】

本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题．

16．          2

【解析】

【分析】

根据题干条件得到，，，进而解不等式得到或，由得到最小正整数为3，由得到最小正整数为2，综上求出答案.

【详解】

由①得：，则，①

由②得：，则，②

由②③得：，即，

联立①②得：，

因为，所以，

解得：，，

所以，

所以，

将代入得：，

因为，所以，

所以，

，

，

则或，

当，解得：，，

，，

当时，，故最小正整数为3，

当，解得：，，

，，

当时，，故最小正整数为2，

比较得到答案为2

故答案为：，2

【点睛】

三角函数相关的参数取值或取值范围问题，要能够结合题目信息，从奇偶性，周期性，对称性入手，得到等量关系或不等式，进而求出参数的值或取值范围.

17．(1)

(2)4

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理得到，从而求出C；（2）利用面积公式得到，进而用余弦定理和基本不等式求出BD的最小值.

(1)

由正弦定理得：，

即，

所以，

因为，

所以，

(2)

由面积公式得：，解得：，

在三角形BCD中，由余弦定理得：，

因为，当且仅当时，等号成立，经检验，符合要求.

所以，故，

所以BD的最小值.为4.

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形的三线合一及面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再结合向量垂直的条件即可求解；

（2）根据（1）得出相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出二面角的余弦值.

(1)

取的中点为，连接，如图所示

因为为等腰直角三角形，，是的中点，

所以，，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，过点，作交于，

因为底面是矩形，是的中点，所以是的中点，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

设，因为，所以，

所以，

则，

因为，，解得，所以.

即.

(2)

由（1）知.

则，，

设为平面的一个法向量，则

，即，

令，则，，

设为平面的一个法向量，则

，即，

令，则，，

设二面角所成角为，则

.

所以二面角的余弦值为.

19．(1)获得一､二､三等奖的概率分别为，，

(2)分布列见解析，数学期望为.

【解析】

【分析】

（1）利用排列组合的知识求解获得一､二､三等奖的概率；（2）求出的可能取值及对应的概率，求出分布列和数学期望

(1)

一等奖：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，每个字出现概率均为，

所以概率为，

二等奖：最后一个字为“利”字，前面三个字“抗”“疫”“胜”，不能按顺序出现，

故概率为，

三等奖：“抗”“疫”“胜”三个字有一个字出现了两次，

故概率为

(2)

的可能取值为1,2,3,4

其中，，，，

分布列为：

数学期望为

20．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）设出的首项为，公差为，根据条件得到方程组，求出首项和公差，从而求出，进而得到的首项，得到通项公式；（2）写出，从而写出前100项和，观察得到为等比数列的和，利用公式求出答案.

(1)

设数列的首项为，公差为，

则，，

，

因为，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项，

所以，解得：，

所以的通项公式为：，、

因为，又是公比为2的等比数列，

所以的通项公式为：；

(2)

，

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先求出，设，利用向量数量积求出，将代入椭圆中，求出，得到椭圆方程；（2）先根据得到，进而设出直线方程，联立后得到两根之和，两根之积，利用及求出，得到定点坐标.

(1)

点O与A关于直线对称，

可知，故点，，

由题意可设，，

于是，解得：，

将代入椭圆方程中，，解得：，

所以椭圆方程为

(2)

证明：，，直线l：，

由题意得：圆心在直线l：上，设，

且，

所以，故，

则，

设直线EF：，，

由，得：，

则，

，，

所以，

则

，

即，解得：（舍去）或，

所以直线EF为：，恒过定点

【点睛】

圆锥曲线中直线过定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件得到方程，求出定值.

22．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)证明过程见解析

【解析】

【分析】

（1）求定义域，求导，由导函数的正负求解单调区间；（2）利用切线斜率为0，求出，设的一个零点为，且，得到，看作函数后研究其单调性，最值，得到，设除外任一个零点为，根据，求出.

(1)

当时，，定义域为R，

所以，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

，

，

因为在处的切线与x轴平行，

所以，解得：，

设的一个零点为，且，

，

所以，

对于，

，

当时，，单调递增，

当或，，单调递减，

由于，，，，

所以，

设除外任一个零点为，

则，

由于，

所以，

即，

整理得：，解得：

所以，命题得证.

【点睛】

含有参数的函数零点问题，要结合函数特征，对函数中的参数进行取值范围进行求解，本题难点就是求出后，将看作关于的函数，研究其单调性，极值和最值情况，从而求出的取值范围.