2021届辽宁省葫芦岛市高三下学期第一次模拟考试数学试题

2021年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试

数 学

注意事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号用2B铅笔涂在答题卡上．

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 纸上。写在本试卷上无效。

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 已知集合U={x|−1≤x≤3}，A={x|x2−2x−3<0}，则=

A. {−1}      B.{3}         C.{ −1,3}       D.

2.

A. −1−3i       B. −1+3i          C. −1+3i          D. 1−3i

3. 以点(3，－1)为圆心，且与直线x－3y＋4＝0相切的圆的方程是

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝10  B．(x－3)2＋(y＋1)2＝100

C．(x＋3)2＋(y－1)2＝10  D．(x＋3)2＋(y－1)2＝100

4. 在 (2x)6展开式中，x2的系数为

   A. 240        B. 240      C. 160        D. 160

5. 已知sinα+cosα=,且α∈(0,π),sinα-cosα=

A. ±      B.        C.        D.

6. 已知抛物线C:y2＝2px(p＞0)上一点M（x0,）到焦点F的距离|MF|x0,则p＝

A．1 B． 2 C． 4 D．5

7. 某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新

鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区 

输送氮气从而实现保鲜功能）.如图所示，该装置外层上部分是

半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，

内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆

锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多

物品，充氮区空间最小可以为

A．4π   B．   C．   D．

8. 已知函数.若曲线存在两条过(2,0)点的切线，则a的取值范围是

A．        B． 

C．        D．

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)

9. 如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）. 根据对比图，其中正确的为

数学近三年难易程度对比

A. 近三年容易题分值逐年增加

B. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年

C. 2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上

D. 近三年难题分值逐年减少

10. 设正实数a,b满足a+b=1,则

A. 有最小值4    B. 有最大值

C. 有最大值   D. 有最小值

11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点.若函数y=f(x)的图像能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f(x)为这个圆的“和谐函数”.给出下列命题中正确的有

A. 对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个

B. 函数f(x)=ln(x+)可以是某个圆的“和谐函数”

C. 正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“和谐函数”

D. 函数f(x)=2x+1不是“和谐函数”

12．已知，则下列有关函数

在上零点的说法正确的是

A．函数g(x)有5个零点    B．函数g(x)有6个零点 

C．函数g(x)所有零点之和大于2  D．函数g(x)正数零点之和小于4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．写出两个与终边相同的角                .

14. 2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系,让乡村医生“下得去、留得住”.为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为         .

15. 在边长为2的正三角形ABC 中，D是BC的中点，=2,CE交AD于F．

①若=x+y，则 x +y =           ;   ②·＝            .

(第一空3分，第二空2分)

16. 已知数列满足：a1=1,an+1=2an+1,若bn+1=(n2t)(an+1),b1= t,且数列{bn}是单调递增数列，则实数t的取值范围是_____________.  

四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分10分）

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, cos2B+cos2C－cos2A＝1－sinBsinC

（1）求A；

（2）若a=,求△ABC的面积的最大值.

18. （本小题满分12分）

已知首项为2的数列中， 前n项和Sn满足Sn=tn2+n（t∈R）.

（1）求实数t的值及数列的通项公式；

（2）将①，②，③三个条件任选一个补充在题中，求数列的前n项和

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19. （本小题满分12分）

目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作. 吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为, m, .若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为 .

(1)      求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值;

(2)      三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望.

20.  （本小题满分12分）

正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.

（1）求新多面体的体积；

（2）求二面角A―BF―C的余弦值；

（3）求新多面体为几面体？并证明.

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)=.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若对于x∈[0,]，f(x)≤kx恒成立.求实数k的取值范围.

22. （本小题满分12分）

已知椭圆C：的焦距为，经过点P(-2,1).

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM，PN分别交椭圆于A，B．PQ⊥AB，Q为垂足.是否存在定点R，使得|QR|为定值，说明理由．

2021年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试

数         学

参考答案及评分标准

一 、单项选择题

1—4：CDAA       5—8：CBBD

二、多项选择题

9 AC     10 ACD    11BC  12 BC

三、填空题

13部分答案：, ,,（任写对一个给3分，两个都对给5分）

14         15  (3分) ；- (2分)             16．t<

  四 、解答题

17.（本小题满分12分）

(1)由已知得：

， …………………………………………3

由余弦定理得：     ……………………………………5

(2)由余弦定理得：

，即, …………………………………………………7

当且仅当时，等号成立

面积最大值为……………………………………………………………………………10

18. （本小题满分12分）

令得，所以………………………………………………………2

………………………………………………………………4

当时，经验证符合上式

……………………………………………………………………………………………………6

若选①，，…………………………9
所以……12

若选②：

若选③，，
，
则，……………………………………………………8
两式相减得：
 

，…………………10
故…………………………………………………………12

19.（本小题满分12分）

 (1)设吉利研究所出成果为A，北汽科研中心出成果为B，长城攻坚站出成果为C.

所求事件概率

p= p(A)p() +p()p(C)+p(A)p(C)= × +×+×=………………………3

若三个团队中只有长城攻坚站出成果，则p()p()p(C)= ，即

(1-)(1-m)× =   

解得m=. ……………………………………………………………………………………………………6

 (2) X=0,1,2,3

P(X=0)=p ()p()p()= ×× = = …………………………………………………7

P(X=1)= p (A)p()p()+p ()p(B)p()+p ()p()p(C)

=××+×× +×× = ………………………………………………………8

P(X=2)= p (A)p(B)p()+p ()p(B)p(C)+p (A)p()p(C)

=××+××+××==…………………………………………………………9

P(X=3)= ××=………………………………………………………………………………10

所以X的分布列为：

E(X)= 0×+1×+2×+3×==……………………………………………………12

20. （本小题满分12分）

（1）由题意可知新多面体体积为原真四面体体积V1与正八面体体积V2之和.

V1=××=，

V2= 2××a2×=,………………………………………………………………………2

……………………………………………………………………………………4

（2）如图，在正八面体AC中，连结AC交平面BE于点O．设正八面体的棱长为1，BF的中点为D，连结AD、CD，易得∠ADC为二面角A―BF―C的平面角。………7

AD=DC=,AC=2AO=由余弦定理得，……………………………………10

（2）方法二： 建立如图所示坐标系

A(,,),C(,,- ),B(a,a,0),F(a,0,0)

=(,,- ),=(0,-a,0),

=(,,)……………………………………………6

设平面ABF法向量n1=(x,y,z),于是

,,令z=1,有n1=(,0,1)

同理可得n2=(-,0,1)，…………………………………………………………………………8

cos< n1, n2>=-

经分析，两个法向量夹角与二面角A―BF―C相等，故余弦值为-…………………10

（3）由（2）可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为，设此角为。同（2）方法，可求得正四面体相邻面所构成的二面角的余弦值为，………11

由上可知，因此新多面体是七面体。………………………………………12

21.（本小题满分12分）

(1)，…………………………………………………………………………2

令得

令得

在单调递增，………………………………………………4

在单调递减， ………………………………………………6

（2）设，

设‘

所以在上单调递减……………………………………………………………………………8

又

①           当时，，在上单调递减

恒成立，

②             当时，令

因此在单调递增，在单调递减

所以不合题意，舍去.………………………………………10

③             当时，在单调递增

不合题意，舍去

综上所述，实数的取值范围是…………………………………………………12

（2）方法二：由

当时，恒成立  …………………………………………………………………………………………8

当时，

令，

令

当时，，单调递减，

单调递减  …………………………………………………10

由洛必达法则得

当

综上所述，实数的取值范围是……………………………………………………………12

22. （本小题满分12分）

（1）由题意可知c=b ,又椭圆经过点P（-2,1）知+ =1……………………2

解得a2=8,b2=2,所以  ；……………………………………………………………………4

（2）设直线AB方程为与椭圆G交于

，

  ………………………………………………………………………6

直线PA：，     即

因此M坐标为

同理可知…………………………………………………………………………8

由知

化简整理得

则

整理：

若则直线AB：，过点P不符合题意

若则直线AB：符合题意

直线AB过点……………………………………………………………………………………10

于是为定值且为直角三角形且为斜边

所以PD中点R满足为定值

此时点R的坐标为……………………………………………………………………………12