理科数学2022届高考考前冲刺卷（一）教师版

这是一份理科数学2022届高考考前冲刺卷（一）教师版，共11页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知，记，则的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
2022届高考考前冲刺卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，可得集合，又由集合，可得，所以，故选D．2．年月日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言渠道，为中国女排加油．现该平台欲利用随机数表法从编号为、、…、的号码中选取个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第行第列的数字开始，从左往右依次选取个数字，则第个被选中的号码为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意及随机数表可得5个被选中的号码依次为16，06，09，13，23，所以第5个被选中的号码为23，故选C．3．已知角的终边过点，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】角的终边过点， ，，故选C．4．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为在上单调递增，由得到，由在定义域上单调递增，又，即，所以；故由能够推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立，故是的充分不必要条件，故选A．5．已知，记，则的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选A．6．设实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（    ）A．40 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数的几何意义是点到区域内一个点的距离的平方，由图知此最小值为以点为圆心，与直线相切的圆的半径的平方，根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，故最小值为4，故选C．7．设的内角、、所对的边分别为、、，若，且的面积为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以由正弦定理可得，可得，可得，可得，因为的面积为，可得，又，所以，故选C．8．已知双曲线，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：由双曲线的定义可知，，又双曲线方程为，故，又点坐标为，双曲线的渐近线为，故点到渐近线的距离为，故，故选B．9．已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为，故选C．10．如图，已知、分别为正方体的棱、的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）A．平面平面 B．截面是直角梯形C．直线与直线异面 D．直线平面【答案】D【解析】分别延长，交于点，连接交于点，∵分别为正方体的棱的中点，∴是的中点，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，则，，，，设平面的法向量，则，令，则，，即；设平面的法向量，则，令，则，，即，∵间没有倍数关系，∴平面和平面不平行，故A错误；，且与相交，∴截面是梯形，又∵，∴与不垂直，∴截面是梯形但不是直角梯形，故B错误；∵、分别为正方体的棱、的中点，∴，∴，，，四点共面，∴直线与直线共面，故C错误；由，，可知，则，，∴，，，∴直线平面，故D正确，故选D．11．若复数z满足，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C．5 D．6【答案】C【解析】设，则表示复平面点到点的距离为3，则的最大值为点到的距离加上3，即，故选C．12．已知函数，关于x的不等式的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以不是不等式的一个解，当时，，则，不等式有且只有一个整数解等价于只有一个整数解，即的图象在直线的上方只有一个整数解，，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，作出的图象，由图象可知的取值范围为，即，故选B． 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知，，则__________．【答案】0【解析】，，，故答案为．14．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著．该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有_________种．【答案】126【解析】据题意，甲可收集1种或2种资料．第一类，甲收集1种，则乙、丙、丁中有一人收集2种，另两人各收集1种，有种；第二类，甲收集2种，则乙、丙、丁每人各收集1种，有种，所以不同的分工收集方案种数共有种，故答案为126．15．已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则______．【答案】9【解析】令，则有，若，则有，显然矛盾；若，则有，显然与已知矛盾，当大于3的整数时，与已知函数是单调递增相矛盾，故，所以有；令时，；令时，；根据函数的性质可知：；令时，；令时，；令时，；令时，；根据函数的性质可知：；令时，；根据函数的性质可知：；令时，；根据函数的性质可知：，令时，；令时，；令时，；令时，；所以归纳得到当时，，所以，故答案为9．16．已知数列满足，且前项和为，则_______．【答案】【解析】当为奇数时，，，，…，，各式相加得，；当为偶数时，，，解得，故答案为． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且满足．（1）求角A；（2）点P为内一点，当时，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，所以，即．因为，所以，所以．因为，所以．（2）在中，由余弦定理得．在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，则，即面积的最大值为．18．（12分）下图甲是由直角梯形ABCD和等边三角形CDE组成的一个平面图形，其中，，，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），在四棱锥中，若．（1）证明：平面平面ABCD；（2）若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取中点为，连接，，由题得，，得，，，，，∴，∴，∴，∴，，∴平面，平面，所以平面平面．（2）如图，延长和交于点，连接，则为平面与平面的交线，即为，取中点为，连接，，∵，，∴，，，如图，以O为坐标原点，OF，OD，OP分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量为，，，令，解得，设与平面的所成角为，则，即l与平面PAD所成角的正弦值为．19．（12分）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，与轴正半轴相交于点，若，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意，，又，解得，故椭圆方程为．（2）根据题意，直线的斜率一定存在，故设其方程为，则，联立与椭圆方程，可得，因直线与椭圆相切，故可得，整理得，设点的坐标为，则，又的坐标为，且，则，，则，整理得，当时，点与点重合，不满足题意；故，代入，解得（点在轴的正半轴，故舍去）或，故所求直线的方程为．20．（12分）某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？【答案】（1）分布列见解析，；（2）7次．【解析】（1）据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，当时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则，当时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则，当时，前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”，则，当时，前3次亮灯的颜色为“红红红”，则，所以的分布列为：0123．（2）记第次亮灯时，亮起红灯的概率为，由题设，，则，因为，则，所以是首项为，公比为的等比数列，则，所以，由，得，所以为奇数．由，得，因为为奇数，则，即，则．当时，，9，11，13，15，17，19，因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌．21．（12分）已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在有唯一的零点，求实数的取值范围．【答案】（1）的极小值为2，无极大值；（2）．【解析】（1）当时，，，令，得；令，得，则单调递增区间为，单调递减区间为，∴存在极小值为，无极大值．（2），则，令，则，由，得，，则，故在单调递增，，①当，即时，即时，，∴在上单调递增，又，∴当时，函数没有零点，②当，即时，由，得，∴，∴，，又∵，∴存在，使得，当时，，单调递减，又∵，∴当时，，在内，函数没有零点，又∵时，，∴单调递增，又∵，令，，，∴在上单调递增，又∵，∴时，，在上单调递增，∴，∴，又∵，∴由零点的存在定理可知存在，∴在内，函数有且只有1个零点，综上所述，实数的取值范围是． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）分别求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于A，B两点，线段的中点为Q，点，求的值．【答案】（1）曲，；（2）．【解析】（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为普通方程为，直线l的极坐标方程为，得，即，也就是．（2）∵点在直线l上，转换为参数方程为（t为参数），代入，得到，即，设A，B两点对应的参数为，∴，，故．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设、、为正实数，且．（1）证明：；（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）证明：因为、、为正实数，由基本不等式可得，所以，当且仅当时，等号成立，故．（2）证明：由柯西不等式可得，所以，当且仅当时，即当，，时，等号成立，故．