2022年人教版八年级数学下学期期末复习模拟试卷+答案 (一)

这是一份2022年人教版八年级数学下学期期末复习模拟试卷+答案 (一)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版八年级数学下学期期末模拟试卷（一）
（本试题满分120分，用时120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．的值等于（　　）
A．4 B．±4 C．±2 D．2
2．数据2，4，3，4，5，3，4的众数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
4．菱形ABCD中，已知AC=6，BD=8，则此菱形的周长为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．40
5．下列给出的点中，在函数y=﹣2x+1的图象上的点是（　　）
A．（1，3） B．（﹣2.5，﹣4） C．（2.5，﹣4） D．（﹣1，1）
6．在某样本方差的计算公式s2= [（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x10﹣8）2]中，数字10和8依次表示样本的（　　）
A．容量，方差 B．平均数，容量 C．容量，平均数 D．方差、平均数
7．甲、乙两班学生人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：甲=乙=80，s甲2=240，s乙2=180，则成绩较为稳定的班级是（　　）
A．甲班 B．乙班
C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
8．将函数y=﹣3x+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（　　）
A．y=﹣3x+3 B．y=﹣3x﹣1 C．y=﹣3（x+2）+1 D．y=﹣3（x﹣2）+1
9．对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　）
A．若两点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
10．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是　　　　　　．
12．已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而　　　　　　（增大或减小）．
13．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了　　　　　　cm．

14．已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为　　　　　　．
15．如果一组数据1，11，x，5，9，4的中位数是6，那么x=　　　　　　．
16．如图，函数y=ax和y=bx+c的图象相交于点A（1，2），则不等式ax＞bx+c的解集为　　　　　　．

　
三、解答题（共9小题，满分66分）
17．化简：（4﹣6）÷﹣（+）（﹣）






18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=10cm，求EF的长度．











19．如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD=1，DC=3，BC=，AD=，求DE的长．









20．如图，已知直线y=2x+4与直线y=﹣2x﹣2相交于点C．
（1）求两直线与y轴交点A、B的坐标；
（2）求△ABC的面积．






21．某校学生会向全校1900名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答系列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　　　人，图1中m的值是　　　　　　．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．



22．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．

水银柱的长度x（cm）
4.2
…
8.2
9.8
体温计的读数y（℃）
35.0
…
40.0
42.0
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；
（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．






23．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租费的收费方式是　　　　　　（填①或②），月租费是　　　　　　元；
（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
（3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．







24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．
（1）判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）若将平行四边形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，得到的四边形BPCO是什么四边形，并说明理由；
（3）若得到的是正方形BPCO，则四边形ABCD是　　　　　　．（选填平行四边形、矩形、菱形、正方形中你认为正确的一个）

25．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8）．点P是y轴正半轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线OA'交于点F．
（1）当点P在y轴正半轴，且∠OAP=30°时，求点O′的坐标；
（2）当O′落在直线BC上时，求直线O′A的解析式；
（3）当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．的值等于（　　）
A．4 B．±4 C．±2 D．2
【分析】直接利用算术平方根的定义求出即可．
【解答】解： =2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
　
2．数据2，4，3，4，5，3，4的众数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据求解即可．
【解答】解：这组数据的众数为：4．
故选B．
【点评】本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
　
3．若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】将点（m，n）代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可解答．
【解答】解：将点（m，n）代入函数y=2x+1得，
n=2m+1，
整理得，2m﹣n=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，一次函数图象上的点的坐标符合函数解析式．
　
4．菱形ABCD中，已知AC=6，BD=8，则此菱形的周长为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．40
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O．则AC⊥BD．
则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4．
所以，在直角△ABO中，由勾股定理得AB===5．
则此菱形的周长是4AB=20．
故选C．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
　
5．下列给出的点中，在函数y=﹣2x+1的图象上的点是（　　）
A．（1，3） B．（﹣2.5，﹣4） C．（2.5，﹣4） D．（﹣1，1）
【分析】将A，B，C，D分别代入一次函数解析式y=﹣2x+1，根据图象上点的坐标性质即可得出正确答案．
【解答】解：A．将（1，3）代入y=﹣2x+1，x=1时，y=﹣1，此点不在该函数图象上，故此选项错误；
B．将（﹣2.5，﹣4）代入y=﹣2x+1，x=﹣2.5时，y=6，此点不在该函数图象上，故此选项错误；
C．将（2.5，﹣4）代入y=﹣2x+1，x=2.5时，y=﹣4，此点在该函数图象上，故此选项正确；
D．将（﹣1，1）代入y=﹣2x+1，x=﹣1时，y=3，此点不在该函数图象上，故此选项错误．
故选：C
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
　
6．在某样本方差的计算公式s2= [（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x10﹣8）2]中，数字10和8依次表示样本的（　　）
A．容量，方差 B．平均数，容量 C．容量，平均数 D．方差、平均数
【分析】方差计算公式：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．
【解答】解：由于s2= [（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x10﹣8）2]，所以样本容量是10，平均数是8．
故选C．
【点评】本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
　
7．甲、乙两班学生人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：甲=乙=80，s甲2=240，s乙2=180，则成绩较为稳定的班级是（　　）
A．甲班 B．乙班
C．两班成绩一样稳定 D．无法确定
【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵s甲2=240，s乙2=180，
∴s甲2＞s乙2，
∴乙班成绩较为稳定，
故选：B．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
　
8．将函数y=﹣3x+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（　　）
A．y=﹣3x+3 B．y=﹣3x﹣1 C．y=﹣3（x+2）+1 D．y=﹣3（x﹣2）+1
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：∵将函数y=﹣3x+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=﹣3x+1+2=﹣3x+3．
故选：A
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
　
9．对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　）
A．若两点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、若两点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2，所以A选项的说法正确；
B、函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，所以B选项的说法正确；
C、函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，所以C选项的说法正确；
D、函数的图象与y轴的交点坐标是（0，4），所以D选项的说法错误．
故选D．
【点评】本题考查了一次函数的性质：一次函数y=kx+b，k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
　
10．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可．
【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0≤x≤4时，y的值为0；
当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；
当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；
当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．
故选B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
　
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是　（0，4）　．
【分析】令1x=0，求出y的值即可．
【解答】解：∵令x=0，则y=4，
∴一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
　
12．已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而　减小　（增大或减小）．
【分析】首先利用待定系数法确定正比例函数解析式，再根据正比例函数的性质：k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小确定答案．
【解答】解：∵点（2，﹣3）在正比例函数y=kx（k≠0）上，
∴2k=﹣3，
解得：k=﹣，
∴正比例函数解析式是：y=﹣x，
∵k=﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，以及待定系数法确定正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数的性质．
　
13．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了　2　cm．

【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5cm；
∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
　
14．已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为　﹣2　．
【分析】由x、y的值直接代入x﹣y求解即可．
【解答】解：x﹣y=﹣﹣（+）
=﹣﹣﹣
=﹣2．

故答案为﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的化简并代入求值．
　
15．如果一组数据1，11，x，5，9，4的中位数是6，那么x=　7　．
【分析】根据求中位数的方法，可知加上一个数x，那么这组数据的个数就是6，所以处于最中间的两数的平均数就是此组数据的中位数；再根据中位数是6，求得x的值．
【解答】解：∵共6个数，
∴中位数是第3和第4个的平均数，
∵中位数为6，
∴=6，
解得：x=7，
故答案为：7．
【点评】此题考查中位数的意义及求解方法的灵活运用，关键是明确这组数据有奇数个，中位数是最中间的那个数字．
　
16．如图，函数y=ax和y=bx+c的图象相交于点A（1，2），则不等式ax＞bx+c的解集为　x＞1　．

【分析】观察函数图象，当x＞1时，直线y=ax都在直线y=bx+c的上方，由此可得不等式ax＞bx+c的解集．
【解答】解：当x＞1时，ax＞bx+c，即不等式ax＞bx+c的解集为x＞1．
故答案为x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
　
三、解答题（共9小题，满分66分）
17．化简：（4﹣6）÷﹣（+）（﹣）
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后根据二次根式的除法法则和平方差公式计算．
【解答】解：原式=（4﹣2）÷﹣（5﹣3）
=2÷﹣2
=2﹣2
=0．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
　
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=10cm，求EF的长度．

【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=10cm，BO=DO=BD=5cm，再根据三角形中位线定理可得EF=DO=2.5cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10cm，BO=DO=BD，
∴OD=BD=5cm，
∵点E、F是AO，AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=DO=2.5cm．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
　
19．如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD=1，DC=3，BC=，AD=，求DE的长．

【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形且∠BDC=90°，再利用勾股定理可求出AC的长，进而可求出DE的长．
【解答】解：∵BD=1，DC=3，BC=，
又∵12+32=（）2，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形且∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AC==4，
又∵E点为AC的中点
∴DE==2．
【点评】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，首先要证明三角形BCD是直角三角形且∠BDC=90°是解题的关键．
　
20．如图，已知直线y=2x+4与直线y=﹣2x﹣2相交于点C．
（1）求两直线与y轴交点A、B的坐标；
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据两直线解析式，分别令x=0求解即可得到点A、B的坐标；
（2）联立两直线解析式求出点C的坐标，再求出AB的长，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）对于直线y=2x+4，
令x=0，得到y=4，即A（0，4），
对于直线y=﹣2x﹣2，
令x=0，得到y=﹣2，即B（0，﹣2）；

（2）联立得：，
解得，，
即C（﹣，1），
∵A（0，4），B（0，﹣2），
∴AB=6，
则S△ABC=×6×=．
【点评】本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点坐标的求解方法，联立两直线解析式求交点是常用的方法之一，要熟练掌握．
　
21．某校学生会向全校1900名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答系列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　50　人，图1中m的值是　32　．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）根据统计图可以分别求得本次接受随机抽样调查的学生人数和图1中m的值；
（2）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【解答】解：（1）由统计图可得，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：4÷8%=50，
m%=1﹣8%﹣16%﹣20%﹣24%=32%，
故答案为：50，32；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数是： =16（元），
本次调查获取的样本数据的众数是：10元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；
（3）该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为：1900×=608，
即该校本次活动捐款金额为10元的学生有608人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
　
22．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．

水银柱的长度x（cm）
4.2
…
8.2
9.8
体温计的读数y（℃）
35.0
…
40.0
42.0
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；
（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．
【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可；
（2）当x=6.2时，代入（1）的解析式就可以求出y的值．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴y=x+29.75．
∴y关于x的函数关系式为：y=+29.75；

（2）当x=6.2时，
y=×6.2+29.75=37.5．
答：此时体温计的读数为37.5℃．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
　
23．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租费的收费方式是　①　（填①或②），月租费是　30　元；
（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
（3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．

【分析】（1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少；
（2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；
（3）求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可．
【解答】解：（1）①；30；

（2）设y1=k1x+30，y2=k2x，由题意得：将（500，80），（500，100）分别代入即可：
500k1+30=80，
∴k1=0.1，
500k2=100，
∴k2=0.2
故所求的解析式为y1=0.1x+30； y2=0.2x；

（3）当通讯时间相同时y1=y2，得0.2x=0.1x+30，解得x=300；
当x=300时，y=60．
故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；
当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；
当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
　
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．
（1）判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）若将平行四边形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，得到的四边形BPCO是什么四边形，并说明理由；
（3）若得到的是正方形BPCO，则四边形ABCD是　正方形　．（选填平行四边形、矩形、菱形、正方形中你认为正确的一个）

【分析】（1）根据两组对边互相平行，即可得出四边形BPCO为平行四边形；
（2）根据菱形的对角线互相垂直，即可得出∠BOC=90°，结合（1）结论，即可得出四边形BPCO为矩形；
（3）根据正方形的性质可得出OB=OC，且OB⊥OC，再根据平行四边形的性质可得出OD=OB，OA=OC，进而得出AC=BD，再由AC⊥BD，即可得出四边形ABCD是正方形．
【解答】解：（1）四边形BPCO为平行四边形，理由如下：
∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四边形BPCO为平行四边形．
（2）四边形BPCO为矩形，理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，则∠BOC=90°，
由（1）得四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为矩形．
（3）四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵四边形BPCO是正方形，
∴OB=OC，且OB⊥OC．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
∴AC=BD，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．

【点评】本题考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质以及矩形的判定，解题的关键是：（1）利用两组对比互相平行的四边形为平行四边形得出四边形BPCO为平行四边形；（2）利用有一个直角的平行四边形为矩形得出四边形BPCO为矩形；（3）找出AC=BD且AC⊥BD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记各特殊图形的判定与性质是解题的关键．
　
25．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8）．点P是y轴正半轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线OA'交于点F．
（1）当点P在y轴正半轴，且∠OAP=30°时，求点O′的坐标；
（2）当O′落在直线BC上时，求直线O′A的解析式；
（3）当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）连接O′O，作O′G⊥OA于点G，根据AO=AO′，∠O′AO=2∠OPA=60°，即可得出△O′AO是等边三角形，再结合点A的坐标即可得出点O′的坐标；
（2）设直线O′A的解析式为y=kx+b，根据勾股定理可得出BO′的长度，再根据O′在线段BC上和O′在CB延长线上分两种情况考虑，由此即可得出点O′的坐标，结合点AO′的坐标利用待定系数法即可得出直线O′A的解析式；
（3）假设存在，设点P（0，m），根据点O′在直线BC的上下两侧来分类讨论．根据平行线的性质找出相等的角从而得出两三角形相似，再根据相似三角形的性质（或等角的三角函数值相等）找出边与边之间的关系，由此即可列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】25．解：（1）连接O′O，作O′G⊥OA于点G，如图1所示．
∠O′AO=2∠OPA=60°，AO=AO′，
∴△O′AO是等边三角形，
∵点A的坐标为（10，0），
∴OA=10，OG=OA=5，O′G=OA=5，
∴点O′的坐标为（5，5）．
（2）设直线O′A的解析式为y=kx+b．
在Rt△ABO′中，AO′=10，AB=8，
∴BO′═6，
①当O′在线段BC上时，CO′=10﹣6=4，
∴点O′的坐标为（4，8），
则有，解得：，
∴此时直线O′A的解析式为y=﹣x+；
②当O′在CB延长线上时，CO′=10+6=16，
∴点O′的坐标为（16，8），
则有，解得：
∴此时直线O′A的解析式为y=x﹣．
（3）假设存在，由点O′的位置不同分两种情况：
①当点O′在BC的上方时，设点P（0，m），过点O′作O′G⊥OA于点G，过点P作PQ⊥O′G于点Q，如图2所示．
∵OP=CF，
∴BF=BC﹣CF=10﹣m，
∵点C（0，8），
∴AB=OC=8．
在Rt△ABF中，AB=8，BF=10﹣m，
∴AF==．
∵O′G⊥x轴，AB⊥OA，
∴O′G∥AB，
∴△O′GA∽△ABF，
∴，
∴O′G=，AG=，
∴O′Q=O′G﹣OP=﹣m，PQ=OA﹣AG=10﹣．
∵∠PO′Q+∠O′PQ=90°，∠PO′Q+∠AO′G=90°，
∴∠O′PQ=∠AO′G=∠FAB，
∴，
∴PQ==10﹣，
解得：m1=，m2=10，
经检验m1=是分式方程的解，
此时点P的坐标为（0，）；
②当点O′在BC的下方时，设AF与y轴的交点为M，如图3所示．
设点P（0，m），则CF=OP=m，
BF=10+m，AB=8，OA=10，AF==．
∵BC∥AO，
∴∠AFB=∠MAO，
∴，
∴OM=，
∴PM=OM﹣OP=﹣m，
∵∠MPO′与∠AMO互余，
∴∠MPO′=∠AFB，
∴，即，
解得：m3=，m4=﹣10（舍去），
经检验m3=是分式方程的解，
此时点P的坐标为（0，）．
综上可知：当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等，点P的坐标为（0，）或（0，）．



【点评】本题考查了等边三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式、平行线的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）得出△O′AO是等边三角形；（2）分两种情况求出点O′的坐标；（3）分情况找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，尤其在解决（3）时，往往只会考虑到第一种情况而忘记第二种情况造成失分，因此在日常练习中要注意培养考虑问题的全面性．