2021-2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解指数不等式可求得集合，由补集和交集定义可直接求得结果.

【详解】，，.

故选：A.

2．，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用幂函数的单调性判断，再利用对数函数的单调性、对数的换底公式即可求解．

【详解】幂函数在上单调递增，

，，

，

，

故选：C．

3．已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，求出向量的坐标，分析可得，由向量平行的坐标表示可得答案．

【详解】根据题意，已知，，则，

若、、点共线，则，则有，解得：，

故选：D．

4．下列函数中，值域是且为偶函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项.

【详解】的值域为，不符合题意，A选项错误.

，当时等号成立，不符合题意，B选项错误.

的定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意，C选项错误.

令，其定义域为，，所以是偶函数，

且，即的值域为，符合题意，D选项正确.

故选：D

5．“”是“关于的不等式（）有解”的（        ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用基本不等式求得当时，的最小值为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意知，可得，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以当时，的最小值为，

当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立，

反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立，

所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.

故选：A.

6．已知定义在上的偶函数，若正实数、满足，则的最小值为（        ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由偶函数定义可构造方程求得，由此得到解析式；由已知等式可得到，根据，配凑出基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果.

【详解】为上的偶函数，，即，

即，整理得：，，

，，即；

（当且仅当，即时取等号）；

的最小值为.

故选：B.

7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（       ）

A．10% B．20% C．30% D．50%

【答案】C

【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升了多少即可．

【详解】由题意可知，，

，

故提升了，

故选：C．

8．已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据对称性求得，然后求得和在区间上的值域，再结合包含关系来求得的取值范围.

【详解】由于，所以关于直线对称，

所以，即，

解得，

所以

.

当时，，，

令，则在区间上递减，

，所以，

所以当时，.

依题意，，当时，，

函数在上递减，在上递增，

，

所以在区间上，，

所以在区间上，.

由于对，，使，

所以.

故选：B

二、多选题

9．恩格尔系数是指食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达59%以上为贫困，50~59%为温饱，40~50%为小康，30~40%为富裕，低于30%为最富裕.2020年，某地居民人均可支配收入32189元，2020年某地居民人均消费支出及构成如下图，则下列说法正确的是（       ）

A．2020年某地居民人均消费各项支出的中位数是1937.5元

B．2020年某地居民人均消费支出中食品烟酒约是教育文化娱乐的3倍

C．根据恩格尔系数可知，2020年某地居民平均处于富裕阶段

D．2020年某地居民人均可支配收入中消费支出所占比约是65.9%

【答案】ABCD

【分析】根据扇形图逐项分析即可.

【详解】A项，人均消费各项支出从小到大排序为462、1238、1260、1843、2032、2762、5215、6397，处于中间的两个数为1843、2032，平均值为，故A正确；

B项，2020年某地居民人均消费支出中食品烟酒支出6397元，教育文化娱乐支出2032元，，故B正确；

C项，由图知食品烟酒支出占，而为富裕，所以2020年某地居民平均处于富裕阶段，故C正确；

D项，2020年消费支出总额为元，，2020年某地居民人均可支配收入中消费支出所占比约是，故D正确．

故选：ABCD．

10．若实数，则下列不等关系正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．

【答案】AC

【分析】直接利用不等式的性质、构造函数、作差法等进行逐项判断即可．

【详解】对于A：由于，∴，故A正确；

对于B：由于，且，则b－a＞0，∴不一定大于0，故B错误；

对于C：设，由于函数在上单调递增，故f(b)＞f(a)，可得成立，故C正确；

对于D：当时，，故D错误．

故选：AC．

11．给出下列命题，其中正确的命题有（       ）

A．已知函数的定义域是，则函数的定义域是

B．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时．

C．已知函数是定义在R上的偶函数，若对于且，不等式恒成立，则不等式的解集为

D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据函数的定义域、奇偶性、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，的定义域为，所以，

所以，即的定义域为，A选项错误.

B选项，当时，，，B选项正确.

C选项，是偶函数，所以关于直线对称，

对于且，不等式恒成立，即在上递增.

所以在上递减，所以，

即，，解得或，

所以不等式的解集为，C选项正确.

D选项，，，

，

构造函数，在上递减，

所以，D选项正确.

故选：BCD

12．已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则下列说法正确的是（        ）

A．

B．

C．

D．函数的零点为

【答案】BCD

【分析】由解析式可得函数图象，由方程有四个不等实根可得到与有四个不同的交点，从而确定四个根的范围和的取值范围；

由可化简知A错误；由与关于直线对称知B正确；

根据与是方程的根，结合韦达定理和的取值范围可知C正确；

由可得或，由此可确定零点知D正确.

【详解】由解析式可得图象如下图所示：

若有四个不同的实数根，则与有四个不同的交点，

由图象可知：，；

对于A，，即，

，，，

整理可得：，A错误；

对于B，，与关于直线对称，，B正确；

对于C，与是方程的两根，

，又，，C正确；

对于D，，

由得：或，

的根为；的根为，

的零点为，D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，乙队每场获胜的概率为．且各场比赛互不影响．若采用五局三胜制进行比赛，则乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率为______．

【答案】

【分析】设，2，3，4，表示乙队在第场比赛获胜，则所求概率为，然后代入计算即可．

【详解】设，2，3，4，表示乙队在第场比赛获胜，

采用五局三胜制进行比赛，则乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率为：，

故答案为：．

14．已知在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用复合函数单调性可知，在上为减函数且在上恒成立，从而得到其等价条件并求出的范围.

【详解】解：令．

在上为增函数，

应在上为减函数且在上恒成立．

因此，即．

解得，

故实数的取值范围是．

【点睛】主要考查了对数，不等式以及复合函数单调性，属于中档题.对于对数型函数，一定要注意保证真数大于零，而复合函数单调性，主要利用“同增异减”即可判断和转化.

15．设函数的定义域为R，满足，且当时，，则当时，函数的零点是______．

【答案】3，，

【分析】由可知，函数的图像每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍，画出函数的大致图像，由图像可知，方程的根共有3个，1个是，另外2个在区间内，当时，可求得，令即可求出另外2个零点．

【详解】由可知，函数的图像每向右平移2个单位长度，函数值变为原来的3倍，

当时，，

作出函数的大致图像，如图所示：

当时，函数的零点，即方程的根，

由图像可知，方程的根共有3个，1个是，另外2个在区间内，

当时，则，

，

又，，即，

，即，

令得，解得，

当时，函数的零点是3，，．

故答案为：3，，．

16．已知一条直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且满足，，点M在直线l上，，则的值为______．

【答案】

【分析】根据条件得到，又由、、共线，对应得到，的关系，再代入进行指对数运算即可．

【详解】因为，，，

又因为在直线上，

，

因为、、共线，所以，即，

则，

则．

故答案为：．

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的解析式及定义域；

(2)求函数在时的值域．

【答案】(1)，的定义域为

(2)

【分析】（1）利用换元法求得函数的解析式，根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.

（2）结合的取值范围来求得在时的值域．

【详解】(1)对于，需；对，需；

则，

令，则，，

，

所以，即的定义域为.

(2)当时，，

.

当时，，

.

所以在时的值域为.

18．已知集合．

(1)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)设命题，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式求得集合，结合重复不必要条件求得的取值范围.

（2）根据是真命题来求得的取值范围.

【详解】(1)依题意，

，

，，所以.

由于是的充分不必要条件，

所以.

(2)由于命题为假命题，

所以为真命题，

即为真命题，

构造函数，是开口向上的二次函数，

所以，即.

19．新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考物理的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值并估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数.

(2)根据调查，本次物理测试成绩不低于60分的学生，高考将选考物理科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考物理科目.按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.

【答案】(1)，中位数为；

(2).

【分析】（1）由频率和为1求参数a，根据直方图及中位数的性质求中位数即可.

（2）首先由分层抽样原则求选取的5人在、的人数分布情况，再应用列举法求古典概型的概率即可.

【详解】(1)由图知：，解得.

学生成绩在的频率为；

学生成绩在的频率为.

设这100名学生本次物理测试成绩的中位数为，则，解得，

故估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数为.

(2)由（1）知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为.

按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，.

从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，

其中至少有1人高考选考物理科目的选法有，，，，，，，，这9种，

∴这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.

20．已知函数对任意，都有，且当时，．

(1)求证：在上是增函数；

(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；

(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)详见解析

【分析】（1）根据单调性的定义证得在上递增.

（2）先求得的值，然后求得的值.

（3）根据已知条件化简不等式，对进行分类讨论，解一元一次不等式求得不等式的解集.

【详解】(1)依题意，且时，，

令，则，

，

任取，

，

由于，所以，

所以，所以在上递增.

(2)由（1）知，在上递增，

，

.

(3)依题意，在上递增，.

，，

，

当时，不等式的解集为空集.

当时，不等式的解集为.

当时，不等式的解集为.

21．已知函数(常数)．

(1)当时，函数的最小值为−1，求a的值；

(2)当时，设，若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)－1；

(2).

【分析】(1)依题意，令，原函数转化为，其对称轴方程为，根据，，与对称轴的位置关系分类讨论，可求得的值；

(2)当时，，令，由，运用换元法，参数分离，得，再利用二次函数和对勾函数的单调性，可求得实数的范围．

【详解】(1)，

可令，当，时，，，

则，其对称轴方程为，

①当，即时，在，上递增，，解得，不符合题意；

②当，即时，在，上递减，

(3)，不符合题意；

③当，即时，，解得．

综上，a＝－1；

(2)当时，，

令，∵，则，

∵的对称轴为，

∴在，递增，即在，递增，

∵和在时均为增函数，

∴，，

∵，∴，

∵，∴，即，

∵，∴，

∵，在x＞1时为增函数，

∴根据复合函数的单调性知在x≥2时为增函数，

∴，故，

∵，∴的取值范围是．

22．已知函数为奇函数，.

(1)求实数a的值；

(2)若存在，，使得在区间上的值域为.求实数t的取值范围.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）利用列方程，化简求得的值.

（2）求得的表达式、单调性，由此求得在闭区间上的值域，结合已知条件列方程组，结合二次函数零点分布来求得的取值范围.

【详解】(1)∵为奇函数，∴，

∴在定义域内恒成立，

即在定义域内恒成立

整理，得在定义域内恒成立，∴解得．

当时，的定义域关于原点对称．

∴．

(2)化简，得，它在定义域上是减函数．

所以，在闭区间上的值域为．

从而得到，即，

整理，得，

这表明：方程在内有两不等实根，．

令，当时，，以上结论等价于

关于u的方程在内有两个不等实根．

设函数，

其图象的对称轴为．

可得或

化简得或，

即或．

所以，实数t的取值范围．