2022届湖南省湘赣皖长郡十五校高三下学期第一次联考数学理试卷含解析

这是一份2022届湖南省湘赣皖长郡十五校高三下学期第一次联考数学理试卷含解析，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


湘赣皖长郡十五校2022届高三下学期第一次联考
理数试卷
一、单选题
1．已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．复数z的实部为3 B．复数z的模为5
C．复数z的虚部为 D．复数z的共轭复数为
2．设全集，集合，集合，则是（　　）
A． B． C． D．
3．等差数列中，，其前n项和为，则（　　）
A．33 B．78 C．99 D．66
4．“”是“直线与直线平行”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．我国人口老龄化加剧，出现劳动人口不断减少，生育率降低等问题．为了缓解人口压力，我国陆续开放二胎、三胎政策．为了解户籍和性别对生育多胎（二胎或三胎）选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人．绘制不同群体中倾向选择生育多胎与倾向选择不生育多胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育多胎的对应比例，则下列叙述中正确的是（　　）

A．是否倾向选择生育多胎与户籍无关
B．是否倾向选择生育多胎与性别有关
C．倾向选择生育多胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
6．已知动点满足不等式组，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（　　）
A．72种 B．36种 C．12种 D．60种
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数是奇函数．若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于x的方程在有两个不相等实根，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．长方体的体积
11．已知定义为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．在三棱锥中，为正三角形，，，E为AB的中点，F为PC的中点，，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．52π B． C． D．16π
二、填空题
13．已知是的极值点，则　 　．
14．的展开式中的常数项为　 　.
15．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，于点，与抛物线的焦点不重合，且，，则　 　．
16．如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和　 　．

三、解答题
17．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京隆重开幕，这是继2008年北京成功举办夏季奥运会后，再次举办奥运盛会，中国举办冬季奥运会，大大激发了国人对冰雪运动的关注，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，现随机抽取该市50人进行调查统计，得到如下列联表，


关注冰雪运动
不关注冰雪运动
合计
男
25
5
30
女
10
10
20
合计
35
15
50
（1）是否有99%的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”？
（2）此次冬奥会共设七个大项，其中滑雪、雪车、雪橇、冬季两项（滑雪加射击两者相结合）四项为雪上运动项目，滑冰、冰球、冰壶三项为冰上运动项目．小明想从中挑选三个大项观看比赛，设挑选的这三个大项中含冰上运动项目的数量为X，求X的分布列与数学期望．
参考公式，其中．
附表

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若，且，求；
（2）若，D是边AC上一点，，，且．求BD的长．
19．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，G为线段PC上一点，若平面平面．

（1）若G为线段PC的中点，求证：．
（2）若平面平面ABCD，为等边三角形，若二面角的余弦值，求的值．
20．设椭圆，点，为E的左、右焦点，椭圆的离心率，点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）M是直线上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA，MB，（A，B为切点）．
①求证：；
②求面积的最小值．
21．已知函数．
（1）当时，判断并证明在上的单调性；
（2）若在内无极值，求a的取值范围．
22．平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，将射线l绕点逆时针旋转后，得到射线，若射线l，分别与曲线C相交于点A，点B．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）求的最小值．
23．
（1）求不等式的解集；
（2）已知，，，且，求的最小值．

答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】因为，
故复数z的实部为 ．A不符合题意；
．B不符合题意；
z的虚部为 ，C不符合题意；
复数z的共轭复数为 ，D符合题意．
故答案为：D．

【分析】由复数的基本概念，逐项判断即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】，解得：，故集合，，解得：，集合，则，
故答案为：C．

【分析】由集合的交集运算即可求解。
3．【答案】B
【解析】【解答】设等差数列的公差为d，因为，
所以 ，整理得 ，
所以 .
故答案为：B．

【分析】由通项公式可得 ，即可求解。
4．【答案】A
【解析】【解答】“直线与直线平行”
因为 ，所以直线 ，直线 ， 与 平行，故充分条件成立；
当直线 与直线 平行时， ，
解得 或 ，
当 时，直线 与直线 重合，
当 时，直线 ，直线 平行，故充要条件成立．
故答案为：A．

【分析】由两直线平行，求出m的取值范围，即可求解。
5．【答案】D
【解析】【解答】城镇户籍倾向选择生育多胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例80%，
∴是否倾向选择生育多胎与户籍有关，A不符合题意；
男性倾向选择生育多胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，
∴是否倾向选择生育多胎与性别无关，B不符合题意；
男性倾向选择生育多胎的比例为60%，人数为 人，
女性倾向选择生育多胎的比例为60%，人数为 人，
∴倾向选择生育多胎的人员中，男性人数比女性人数多，C不符合题意；
倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数为 人，
城镇户籍人数为 人，
∴倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D符合题意．
故答案为：D．

【分析】由条形图，逐项判断即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】动点的可行域如图阴影部分所示，由于，

的最小值为原点O到直线 距离 ．
，
故答案为：B．

【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。
7．【答案】A
【解析】【解答】如下表
顶点
V
A
B
C
D
种数
4
3
2
C与A同色1
2
C与A不同色1
1
总计

故答案为：A．

【分析】由分类加法和分步乘法计数原理即可求解。
8．【答案】C
【解析】【解答】作轴于M，依题意，，

则 ，则 为等腰直角三角形，令 ，则 ，由双曲线定义知 ．而 ，在 中， ，
解得： ，双曲线离心率 ，则 ．
故答案为：C．

【分析】如图做 轴于M，易知为等腰直角三角形，结合双曲线定义可得，结合，由勾股定理即可求解。
9．【答案】C
【解析】【解答】因为函数是奇函数，
所以 ，解得 ，即 ，
则 ，
向左平移 个单位长度后，得到 ，
向上平移 个单位长度，得到 ，
当 时， ，结合正弦函数对称性可知，
在 有两个不相等实根，则 且 ，
此时 ，实数m的取值范围是 .
故答案为：C．

【分析】由f(x)为奇函数，可得 ，进而可得，结合正弦函数的对称性即可求解。
10．【答案】C
【解析】【解答】解法一：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系，
且 ，所以A不符合题意；
根据右手系知： 与 反向，所以 ，B不符合题意；
因为 ，
且 与 同向共线；
又因为 ，且 与 同向共线，
， 与 同向共线，
所以 ，且 与 同向共线，
，C符合题意；
因为长方体 的体积为 ．
又因为由右手系知向量 方向垂直底面向上，与 反向，所以 ，D不符合题意；
故答案为：C．
解法二：如图建立空间直角坐标系：

， ， ，
则 ，所以A不符合题意；
，则 ，D不符合题意；
，B不符合题意；
，则 ，
， ，则 ．
所以 ，C符合题意；
故答案为：C．

【分析】如图建立空间直角坐标系，由叉乘的定义逐项判断即可。
11．【答案】D
【解析】【解答】方程在上恰有三个根，
即直线 与函数 的图象有三个交点．
由 是R上的奇函数，则 ．
当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上递减， 在 上递增．
结合奇函数的对称性和“周期现象”得 在 上的图象如下：

由于直线 过定点 ．
如图连接A， 两点作直线 ，
过点A作 的切线 ，
设切点 ．其中 ， ，则斜率 ，
切线 过点 ．
则 ，即 ，则 ，
当直线 绕点 在 与 之间旋转时，直线 与函数 在 上的图象有三个交点，故 ．
故答案为：D．

【分析】由题意可将问题转换成 与函数的图象有三个交点．做出f(x)的图像，如图，找到临界位置，即可求解。
12．【答案】B
【解析】【解答】如图，在中，设，，

，则 ，所以 ，即 ，
，E为AB中点，则 ，则 ，因此 平面PAB．
如图将三棱锥 补全为正三棱柱，即求正三棱柱外接球的表面积．

底面正三角形 外接圆半径r满足： ，则 ．
三棱锥 外接球半径 ．
.
故答案为：B．

【分析】由题意可将三棱锥 补全为正三棱柱，如图所示，即可求解。
13．【答案】1
【解析】【解答】由题可得，由于是的极值点，
则 ，
故 ，经检验适合题意．
故答案为：1.

【分析】由 ，列方程即可求解。
14．【答案】10
【解析】【解答】的展开式的第项为，当时，，此时，当时，，此时，
∴常数项为。
故答案为：10。

【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
15．【答案】
【解析】【解答】如图所示，设抛物线的焦点为，连接，

由抛物线的定义知 ，因为 ，所以 ，
又由 及 ，得 ，所以 为正三角形，
可得 ，所以点 的坐标为 ，
代入抛物线 ，可得 ，
即 ，解得 或 （舍去）．
故答案为：

【分析】如图，连接 ，易知为正三角形，即可确定的坐标，代入抛物线方程即可求解。
16．【答案】
【解析】【解答】由于D是AC边上一点，且，
则 ，
由于 为直线AB上一点列，则 ．
因为 ，则 ，
故 ，
整理 ，即 ，
故 ，
令 ，则 ，即 ，
因此 ， ，
所以 为等比数列， ，
则 ，
故
．
故答案为：

【分析】由 为直线AB上，可得，再结合，由平面向量基本定理可得：化简可得，进而可求 得通项公式，即可求解。
17．【答案】（1）解：，
故没有99%的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”．
（2）解：由题可知X的所有可能取值为：0，1，2，3．
；；；
．
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




X的数学期望．
【解析】【分析】（1）由计算得出结果，比较附表即可求解；
（2） 由题可知X的所有可能取值为：0，1，2，3． 由古典概型概率计算公式求出概率，即可求解。
18．【答案】（1）解：，
所以，
故．
（2）解：方法一：，，则，，
，，则，即，
在中，，则．
故，则．
在中，，则．

方法二：设，则．
所以，则，则，
因为，则，
故．
，，则，．
设，则．
在中，，则．故．
又，则，因此．
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角即可求解；
（2）由正弦定理可得 ， 进而 中 ，由正弦定理求得BC,进而在 中 ，由余弦定理即可求BD.
19．【答案】（1）证明：连AC交BD于点E，连EG．

因为底面ABCD为正方形，则E为AC中点，
又G为线段PC的中点，则，
又平面BDG且平面BDG，
所以平面BDG，
因为平面PAD且平面平面，
所以．
（2）解：取AD中点O，连PO，为等边三角形，则
又平面平面ABCD，平面平面，
平面PAD，则平面ABCD．如图建立直角坐标系，

设，则，，，，
令，则．
，，．
设平面PBD的法向量，
则，
令，则，．即．
设平面GBD的法向量，
则
令，则，，即．
则，
解得，（舍），
即．
【解析】【分析】(1)如图， 连AC交BD于点E，连EG． 易得 ， 进而说明 平面BDG， 即可证。
（2）如图建立空间直角坐标系，设 ， ，由面面夹角的计算公式列出方程，求出即可。
20．【答案】（1）解：由题可得，，
解得
∴椭圆E的标准方程为．
（2）解：①先求在椭圆上一点的切线方程，
设椭圆上一点为，切线方程为，
联立方程组，可得，
∴，
∴，即，
∴，
故切线方程为，即，
设，，．
椭圆E在点的切线AM的方程为：，
在点处的切线BM方程为：．
又直线AM，BM过点，即，即，
故点，，在直线上，故直线AB方程为：，
当，即时，直线AB方程为：，则．
当时，直线AB方程为：．
右焦点，则，所以，即．
②直线AB方程为：与椭圆E联立得；，
，，
令，，
则在上单调递增，
所以当时，取最小值．
【解析】【分析】（1）由题意易得，即可求解。
（2）设椭圆上一点为，切线方程为， 联立椭圆方程，由 ，可得，设，， 易得椭圆E在点 的切线AM的方程为：，在点处的切线BM方程为：．从而得到 AB方程为： ，即可求证 ；
②直线AB方程为：与椭圆E联立得；由弦长公式求得 ,再由即可求解。

21．【答案】（1）解：由题知 ， ，
令 ，则 在 上恒成立，
则 在 上的单调递减，则 ，
所以 在 上恒成立．
即 在 上单调递减．
（2）解：由题可得 ，
令 ，
①当 时， 在 上恒成立．
即 在 上恒成立，则 在 内单调递减，
所以 在 内无极值．
②当 时， 在 内无极值，则 或 在 上恒成立．
， ，
由开口向上的二次函数图象可知，必存在 ，使得 ，
故 ．
所以 在 内无极值，则 在 上恒成立．
即 在 上恒成立．
故 ，则 ，
下证；当 时， 在 上恒成立．
，
令 ，
，
（i）当 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增，则 ，
故 在 上恒成立．
（ii）当 时， ，
则方程 在 内存在两个根 ， ，
当 或 时， ，当 时， ．
则 在 和 上单调递增， 在 上单调递减，
则 ， ，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 内单调递增，在 内单调递减，
则当 时， ，当 时， ，
即 在 上恒成立，故 在 上恒成立．
综合（i）（ii）得 在 上恒成立．
综合①②得a的取值范围为 ．
【解析】【分析】（1）求出导函数，构造 ，由 在上恒成立， 即可说明 在上单调递减．
（2）求出导函数，令 ，①当时，由（1）易知在内单调递减 ， ②当时， 由题意可知 或在上恒成立． 构造 ， 可将问题转化成 当时，在上恒成立． 再构造函数 ， 求出导函数，确定单调性即可求证。
22．【答案】（1）解：曲线C的参数方程为，（为参数），
则曲线C的直角坐标方程为：．
所以曲线C的极坐标方程为，即；
（2）解：设A、B两点极坐标方程分别为，，

，
当，即时，取最小值．
【解析】【分析】（1）直接消参，利用直角坐标与极坐标的转化公式即可求解；
（2） 设A、B两点极坐标方程分别为，， ，由 化简可得 ：，进而可求最值。
23．【答案】（1）解：
①当时，，则；
②当时，，则；
③当时，恒成立，则．
综合①②③得不等式的解集为．
（2）解：因为，则，
∴，
，，，则，，
所以，
当即时，等号成立．
即，
故的最小值为．
【解析】【分析】（1）分段去绝对值，即可求解；
（2）由 ， 借助基本不等式即可求解。