2021山东省烟台市初三二模数学试卷答案

这是一份2021山东省烟台市初三二模数学试卷答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. −2021的倒数是( )
A.2021B.−2021C.12021D.−12021

2. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为( )
A.22×10−8×10−7C.2.2×10−9D.2.2×10−8

3. 在图形：①角；②线段；③等腰三角形；④平行四边形；⑤矩形；⑥圆形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A.2B.3C.4D.5

4. 如图，直线a // b，∠1=85∘，∠2=35∘，则∠3=( )

A.35∘B.50∘C.60∘D.85∘

5. 下列计算正确的是( )
A.−2a2b33=−6a6b9B.8+2=32
C.a2+a3=a5D.a−b2=a2−b2

6. 已知一组从小到大排列的数据2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是( )
A.9B.11C.2D.5

7. 若关于x的不等式组x−a≥0,2x+1>3的解集为x>1，则a的取值范围是( )
A.a<1B.a≤1C.a>1D.a≥1

8. 若函数y=(a−1)x2−4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为( )
A.−1B.2C.−1或2或1D.−1或2

9. 如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A=60∘，CD=2，BD=4．则△DBC的面积为( )

A.2B.4C.23D.43

10. 已知x1，x2是方程x2−2x−7=0的两根，则x12−x1+x2的值为( )
A.9B.7C.5D.3

11. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx与y= −2x的图象交于A、B两点，过A作y轴的垂线，交函数y=4x的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为( )

A.2B.4C.6D.8

12. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45∘，AE，AF分别交BD于M，N，连接EN，EF，有以下结论：①AN=EN，②当AE=AF时，BEEC=2−2，③BE+DF=EF，④存在点E，F，使得NF>DF，其中正确的结论有( )

A.①③④B.①②③④C.①③D.①②④
二、填空题

一次函数y=2x−1的图像经过第________象限.

在△ABC中，若∠A，∠B满足|csA−12|+(sinB−22)2=0，则∠C=________．

已知反比例函数y=4x，当y<2时，自变量x的取值范围是________.

如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180∘)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α=________度．


在△ABC中，AB=4，∠C=60∘，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．

在平面直角坐标系中，直线l:y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，⋯，点A1，A2，A3，A4，⋯在直线l上，点C1，C2，C3，C4，⋯在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是________.

三、解答题

先化简，再求值：x2x2−1÷(1−2xx−1−x+1)，其中x满足x2+7x=0．

目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利．某校九年级某数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．

(1)根据图中信息求出m=________，n=________；

(2)请将这两个统计图补全；

(3)求“支付宝”所在扇形的圆心角的度数；

(4)已知A，B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两名同学最认可的新生事物不一样的概率．

如图，已知△ABC，∠BAC=90∘ .

(1)尺规作图：过点A作一条直线交BC于D，使其将△ABC分成两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)若AD=4，tan∠BAD=43，求CD的长 .

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交AC于点E，交AB的延长线于点F．

(1)求证：DE⊥AC；

(2)如果⊙O的半径为5，cs∠DAB=45，求BF的长．

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mxx>0的图象交于点Pn,2，与x轴交于点A−4,0，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的一动点，当DE−PE最大时，求点E的坐标．

探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A(1, 3)、B(2, 5)、C(4, 9)，有kAB=5−32−1=2，kAC=9−34−1=2，发现kAB=kAC，兴趣小组提出猜想：若直线y=kx+b(k≠0)上任意两点坐标P(x1, y1)，Q(x2, y2)(x1≠x2)，则kPQ=y2−y1x2−x1是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y=kx+b(k≠0)中的k，叫做这条直线的斜率．
请你应用以上规律直接写出过S(−2, −2)、T(4, 2)两点的直线ST的斜率kST=________．
探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D(2, 2)，E(1, 4)，F(4, 3)．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．
综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M(1, 2)，N(4, 5)，请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．


如图，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=−38x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为W，求W与m之间的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；

(3)点D是抛物线对称轴上的一动点，连结OD，CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．
参考答案与试题解析
2021山东省烟台市初三二模数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
倒数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由倒数的定义可知，−2021的倒数为−12021.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
科学记数法--表示较小的数
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10−8．
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
轴对称与中心对称图形的识别
【解析】
本题根据轴对称图形与中心对称图形的定义，直接得出答案。
【解答】
解：①角是轴对称图形，不是中心对称图形；
②线段是轴对称图形，也是中心对称图形；
③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
④平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
⑤矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
⑥圆形是轴对称图形，也是中心对称图形；
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是3个.
故选B.
4.
【答案】
B
【考点】
三角形的外角性质
平行线的判定
【解析】
先利用三角形的外角性质，求出∠4的度数，再利用平行线的性质得∠3=∠4=50∘
【解答】
解：如图，在△ABC中，
∵∠1=85∘，∠2=35∘，
∴∠4=85∘−35∘=50∘，
∵ a//b，
∴∠3=∠4=50∘.
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
幂的乘方与积的乘方
二次根式的加法
合并同类项
完全平方公式
【解析】
本题根据幂的乘方，二次根式的加法，合并同类项，完全平方公式可直接判断。
【解答】
解：A，−2a2b33=−8a6b9，故A错误；
B，8+2=22+2=32，故B正确；
C，a2与a3不是同类项，不能合并，故C错误；
D，a−b2=a2−2ab+b2，故D错误.
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
中位数
众数
算术平均数
【解析】
根据平均数与中位数的概念求出x,y的值，即可得到这组数据，再根据众数的概念即可求解．
【解答】
解：∵ 这组数据的中位数为7，
即x+y2=7,2+5+x+y+2x+116=7,即x+y=14,3x+y=24,
解得x=5,y=9,
∴ 这组数为2,5,5,9,10,11，
∴ 这组数据的众数是5.
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
一元一次不等式组的整数解
解一元一次不等式组
【解析】
先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集和已知即可得出答案.
【解答】
解：x−a≥0,①2x+1>3,②
由不等式①x≥a，
由不等式②x>1，
∵ 一元一次不等式组x−a≥0,2x+1>3的解集为x>1，
∴ a≤1.
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
抛物线与x轴的交点
根的判别式
【解析】
讨论：当a−1＝0，即a＝1，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当a−1≠0时，利用判别式的意义得到△＝(−4)2−4(a−1)×2a＝0，然后解两个关于a的方程即可．
【解答】
解：当a−1=0，即a=1时，函数为一次函数y=−4x+2，它与x轴有且只有一个交点；
当a−1≠0时，根据题意得Δ=(−4)2−4(a−1)×2a=0，解得a=−1或a=2.
综上所述，a的值为−1或2或1．
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
三角形的面积
三角形的内切圆与内心
三角形内角和定理
【解析】
过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60∘，得∠BDC=120∘，则∠BDH=60∘，由BD=4，BD：CD=2:1得BH=23，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【解答】
解：过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，如图，
∵ 点D为△ABC的内心，∠A=60∘，
∴ ∠DBC+∠DCB=12(∠ABC+∠ACB)
=12(180∘−∠A)，
∴∠BDC=90∘+12∠A=90∘+12×60∘=120∘，
则∠BDH=60∘，
∵BD=4，
∴ DH=2，BH=23.
∵ CD=2，
∴ △DBC的面积为：12CD⋅BH=12×2×23=23.
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
根与系数的关系
一元二次方程的解
【解析】
x1，x2是方程x2−2x−7=0的两根，可得x1−2x1−7=0，x1+x2=2，即可得出．
【解答】
解：∵x1，x2是方程x2−2x−7=0的两根，
则x12−2x1−7=0，x1+x2=2，
∴x12−x1+x2=x12−2x1+x1+x2，
=7+2=9.
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
反比例函数系数k的几何意义
三角形的面积
【解析】
连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积．
【解答】
解：连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，如图，
则O为AB的中点，S△AOC=S△COB，
由题意得A点在y=−2x上，C点在y=4x上，
∴ S△AOD=12AD×OD=1，S△COD=12CD×OD=2，
∴ S△AOC=S△AOD+S△COD=3，
则S△ABC=S△AOC+S△COB=6.
故选C．
12.
【答案】
C
【考点】
正方形的性质
相似三角形的性质与判定
直角三角形全等的判定
全等三角形的性质与判定
【解析】
①如图1，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，可得∠NAE＝∠AEN＝45∘，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；
②先证明CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1−x，表示AC的长为AO+OC可作判断；
③如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90∘得到△ABH，证明△AEF≅△AEH(SAS)，则EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，可作判断；
④在△ADN中根据比较对角的大小来比较边的大小．
【解答】
解：①∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45∘.
∵ ∠MAN=∠EBM=45∘，∠AMN=∠BME，
∴ △AMN∼△BME，
∴ AMBM=MNEM，
又∵ ∠AMB=∠EMN，
∴ △AMB∼△NME，
∴ ∠AEN=∠ABD=45∘
∴ ∠NAE=∠AEN=45∘，
∴ △AEN是等腰直角三角形，
∴ AN=EN，故①正确；
②∵ ∠ABE=∠ADF=90∘，
∴ △ABE和△ADF是直角三角形.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=AD，AE=AF，
∴ Rt△ABE≅Rt△ADF(HL)，
∴ BE=DF.
∵ BC=CD，
∴ CE=CF，
假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1−x，
如图2，连接AC，交EF于O，
∵ AE=AF，CE=CF，
∴ AC是EF的垂直平分线，
∴ AC⊥EF，OE=OF，
Rt△CEF中，OC=OE=12EF=22x，
在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5∘=∠BAE=22.5∘，
在△ABE和△AOE中，
∵ ∠ABE=∠AOE=90∘，∠BAE=∠OAE，AE=AE，
∴ Rt△ABE≅Rt△AOE(AAS)，
∴ BE=OE，
即1−x=22x，
解得，x=2−2，
∴ BEEC=1−(2−2)2−2=(2−1)(2+2)2=22，故②不正确；
③如图3，
∴ 将△ADF绕点A顺时针旋转90∘得到△ABH，
则AF=AH，∠DAF=∠BAH，
∵ ∠EAF=45∘=∠DAF+∠BAE=∠HAE，
∠ABE=∠ABH=90∘，
∴ H，B，E三点共线，
在△AEF和△AEH中，
AE=AE，∠FAE=∠HAE，AF=AH，
∴ △AEF≅△AEH(SAS)，
∴ EF=EH=BE+BH=BE+DF，故③正确；
④△ADN中，∠FND=∠ADN+∠NAD>45∘，
∠FDN=45∘，
∴ FN故不存在点E，F，使得NF>DF，故④不正确.
故选C.
二、填空题
【答案】
一、三、四
【考点】
一次函数图象与系数的关系
【解析】
根据一次函数的性质一次项系数大于0，则函数一定经过一，三象限，常数项−1<0，则一定与y轴负半轴相交，据此即可判断．
【解答】
解：∵ 一次函数y=2x−1中，k=2>0，b=−1<0，
∴ 一次函数y=2x−1的图象经过一、三、四象限．
故答案为：一、三、四.
【答案】
75∘
【考点】
特殊角的三角函数值
非负数的性质：绝对值
非负数的性质：偶次方
三角形内角和定理
【解析】
首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知csA−12=0，sinB−22=0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180∘算出∠C的度数即可．
【解答】
解：∵ |csA−12|+(sinB−22)2=0，
∴ csA−12=0，sinB−22=0，
∴ csA=12，sinB=22.
∵ A∈(0,π)，B∈(0,π)，
∴ ∠A=60∘，∠B=45∘，
则∠C=180∘−∠A−∠B=75∘.
故答案为：75∘.
【答案】
x<0或x>2
【考点】
反比例函数的性质
【解析】
根据题目中的函数解析式个反比例函数的性质，可以得到x的取值范围，也可以画草图从图中可以更好的看出对应关系，本题得以解决。
【解答】
解：当y=2时，x=2，函数y=4x的图象如图所示：
由图象可得：当y<2时，自变量x的取值范围是：x<0或x>2．
故答案为：x<0或x>2．
【答案】
90
【考点】
旋转的性质
【解析】
作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即∠AEA1＝α＝90∘．
【解答】
解：如图，连接CC1，AA1，
作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，
∵ CC1，AA1的垂直平分线交于点E，
∴ 点E是旋转中心，
∵ ∠AEA1=90∘，
∴ 旋转角α=90∘.
故答案为：90.
【答案】
4【考点】
三角形三边关系
含30度角的直角三角形
圆周角定理
三角形的外接圆与外心
【解析】
作△ABC的外接圆，求出当∠BAC=90∘时，BC是直径最加=833；当∠BAC=∠ABC时，△ABC是等边三角形
BC=AC=AB=4，而∵BAC>∠ABC，即可得出答案．
【解答】
解：作△ABC的外接圆，如图所示：
∠BAC>∠ABC，AB=4，
当∠BAC=90∘时，BC是直径最长，
∵ ∠C=60∘，
∴ ∠ABC=30∘，BC=2AC，AB=3AC=4，
∴ AC=433，BC=833.
当∠BAC=∠ABC时，△ABC是等边三角形，
此时BC=AC=AB=4，
∵ ∠BAC>∠ABC，
∴ BC长的取值范围是：4故答案为：4【答案】
2 × (2n−1)
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
规律型：点的坐标
【解析】
根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，
点A1的坐标为(0, 1)，点A2的坐标为(1, 2)，点A3的坐标为(3, 4)，点A4的坐标为(7, 8)，⋯，
∴ OA1=1，C1A2=2，C2A3=4，C3A4=8，⋯，
∴ 前n个正方形对角线长的和是：
2(OA1+C1A2+C2A3+C3A4+⋯+Cn−1An)
=2(1+2+4+8+...+2n−1)，
设S=1+2+4+8+...+2n−1，
则2S=2+4+8+...+2n−1+2n，
则2S−S=2n−1，
∴ S=2n−1，
∴ 1+2+4+8+...+2n−1=2n−1，
∴ 前n个正方形对角线长的和是：2 × (2n−1).
故答案为：2 × (2n−1).
三、解答题
【答案】
解：原式=x2(x+1)(x−1)÷[1−2xx−1−(x−1)2x−1]
=x2(x+1)(x−1)÷1−2x−(x2−2x+1)x−1
=x2(x+1)(x−1)×x−1−x2=−1x+1，
又∵ x2+7x=0，
∴ x(x+7)=0，
∴ x1=0，x2=−7，
当x=0时，原式无意义，
故当x=−7时，原式=−1−7+1=16．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
由x满足x2+7x=0，可得到x=0或−7；先将括号内通分，合并；再将除法问题转化为乘法问题；约分化简后，在原式有意义的条件下，代入计算即可．
【解答】
解：原式=x2(x+1)(x−1)÷[1−2xx−1−(x−1)2x−1]
=x2(x+1)(x−1)÷1−2x−(x2−2x+1)x−1
=x2(x+1)(x−1)×x−1−x2=−1x+1，
又∵ x2+7x=0，
∴ x(x+7)=0，
∴ x1=0，x2=−7，
当x=0时，原式无意义，
故当x=−7时，原式=−1−7+1=16．
【答案】
100,35
(2)网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为40100×100%=40%，
补全图形如下：
(3)由(1)可得支付宝占比为35%，
所以“支付宝”所在扇形的圆心角的度数为35%×360∘=126∘.
(4)列表如下：
共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，
所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为1012=56．
【考点】
扇形统计图
条形统计图
列表法与树状图法
【解析】
(1)样本中，认可“共享单车”的有10人，占调查人数的10%，可求出调查人数，即m的值，进而求出“网购”的人数，“支付宝”的人数和所占的百分比，确定n的值；
(2)总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；
由(1)可得支付宝占比为35%，即可得“支付宝”所在扇形的圆心角的度数.
列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得
【解答】
解：(1)10÷10%=100(人)，即m=100，
n%=35÷100×100%=35% ，
∴ n=35.
故答案为：100；35.
(2)网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为40100×100%=40%，
补全图形如下：
(3)由(1)可得支付宝占比为35%，
所以“支付宝”所在扇形的圆心角的度数为35%×360∘=126∘.
(4)列表如下：
共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，
所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为1012=56．
【答案】
解：(1)如图，AD即为所求作．
(2)∵ △ABD∽△CAD，
∴ ∠BAD=∠C .
∵ tan∠BAD=43，AD=4，
∴ BDAD=ADCD=43 .
∴ CD=3 .
【考点】
作图—复杂作图
相似三角形的判定
相似三角形的性质
锐角三角函数的定义
【解析】


【解答】
解：(1)如图，AD即为所求作．
(2)∵ △ABD∽△CAD，
∴ ∠BAD=∠C .
∵ tan∠BAD=43，AD=4，
∴ BDAD=ADCD=43 .
∴ CD=3 .
【答案】
(1)证明：连接OD，
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ADB=90∘，
∵ AB=AC，
∴ ∠1=∠2，
∵ OA=OD，
∴ ∠1=∠3，
∴ ∠2=∠3 ，
∴ OD//AC，
∵ DE是⊙O的切线，
∴ OD⊥DE，
∴ DE⊥AC.
(2)解：∵ OA=5，
∴ AB=10，cs∠DAB=45，
∴ AD=8，
∵ ∠1=∠2，
∴ cs∠2=45，
∴ AE=6.4，
∵ OD//AC，
∴ △FOD∽△FAE，
∴ FO:FA=OD:AE，
即FB+5:FB+10=5:6.4，
解得：BF=907 .
【考点】
切线的性质
平行线的判定与性质
相似三角形的性质与判定
锐角三角函数的定义
【解析】


【解答】
(1)证明：连接OD，
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ADB=90∘，
∵ AB=AC，
∴ ∠1=∠2，
∵ OA=OD，
∴ ∠1=∠3，
∴ ∠2=∠3 ，
∴ OD//AC，
∵ DE是⊙O的切线，
∴ OD⊥DE，
∴ DE⊥AC.
(2)解：∵ OA=5，
∴ AB=10，cs∠DAB=45，
∴ AD=8，
∵ ∠1=∠2，
∴ cs∠2=45，
∴ AE=6.4，
∵ OD//AC，
∴ △FOD∽△FAE，
∴ FO:FA=OD:AE，
即FB+5:FB+10=5:6.4，
解得：BF=907 .
【答案】
解：(1)∵ AC=BC，
∴ OA=OB，
∵ 点A的坐标为−4,0，
∴ 点B的坐标为4,0，
∴ 点P的坐标为4,2，
将A−4,0与P4,2代入y=kx−b，得−4k+b=0,4k+b=2,
解得k=14,b=1,则一次函数解析式为y=14x+1，
将P4,2代入反比例函数解析式得m=8，
即反比例函数的解析式为y=8x.
(2)如图所示，
∵ 点C0,1，B4,0，
∴ BC=42+12=17，PC=17，
以BC、PC为边构造菱形，
∵ 四边形BCPD为菱形，
∴ PB垂直且平分CD，
∵ PB⊥x轴，P4,2，
∴ 点D8,1，
连接PD交y轴于点E，点E即为所求，
设yDP=kx+b，
将D8,1，P4,2代入得：8k+b=1,4k+b=2,
解得：k=−14,b=3,
∴ yDP=−14x+3，令x=0，则y=3,
∴ E0,3.
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求反比例函数解析式
【解析】
(1)先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx−b求出比的值，故可得出一次函数的解析式，把点P4,2代入反比例函数y=mxx>0即可得出m的值，进而得出结论.
(2)根据题意确定点P、点D坐标，求直线PD解析式，求其于y轴交点即为点E.
【解答】
解：(1)∵ AC=BC，
∴ OA=OB，
∵ 点A的坐标为−4,0，
∴ 点B的坐标为4,0，
∴ 点P的坐标为4,2，
将A−4,0与P4,2代入y=kx−b，得−4k+b=0,4k+b=2,
解得k=14,b=1,则一次函数解析式为y=14x+1，
将P4,2代入反比例函数解析式得m=8，
即反比例函数的解析式为y=8x.
(2)如图所示，
∵ 点C0,1，B4,0，
∴ BC=42+12=17，PC=17，
以BC、PC为边构造菱形，
∵ 四边形BCPD为菱形，
∴ PB垂直且平分CD，
∵ PB⊥x轴，P4,2，
∴ 点D8,1，
连接PD交y轴于点E，点E即为所求，
设yDP=kx+b，
将D8,1，P4,2代入得：8k+b=1,4k+b=2,
解得：k=−14,b=3,
∴ yDP=−14x+3，令x=0，则y=3,
∴ E0,3.
【答案】
解：探究活动一：S−2,−2，T4,2，
kST=2−−24−−2=23.
探究活动二：∵ D2,2，E1,4，F4,3，
∴ kDE=4−21−2=−2，kDF=3−24−2=12，
∴ kDE×kDF=−2×12=−1，
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于−1．
综合应用：设经过点N与⊙M相切的直线为PQ，解析式为y=kPQx+b，
∵M1,2，N4,5，
∴kMN=5−24−1=1，
∵PQ为⊙M的切线，
∴PQ⊥MN，
∴kPQ×kMN=−1，
∴kPQ=−1，
∵ 直线PQ经过点N4,5，
∴ 5=−1×4+b，解得b=9，
∴直线PQ的解析式为：y=−x+9.
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
待定系数法求一次函数解析式
切线的性质
【解析】
（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出kDE和kDP的值，再计算kDE×kDF即可；
（3）先求直线MN的斜率kMN，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．
【解答】
解：探究活动一：S−2,−2，T4,2，
kST=2−−24−−2=23.
探究活动二：∵ D2,2，E1,4，F4,3，
∴ kDE=4−21−2=−2，kDF=3−24−2=12，
∴ kDE×kDF=−2×12=−1，
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于−1．
综合应用：设经过点N与⊙M相切的直线为PQ，解析式为y=kPQx+b，
∵M1,2，N4,5，
∴kMN=5−24−1=1，
∵PQ为⊙M的切线，
∴PQ⊥MN，
∴kPQ×kMN=−1，
∴kPQ=−1，
∵ 直线PQ经过点N4,5，
∴ 5=−1×4+b，解得b=9，
∴直线PQ的解析式为：y=−x+9.
【答案】
解：(1)在y=−34x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，
∴ A(4, 0)，B(0, 3)．
把A(4, 0)，B(0, 3)代入y=−38x2+bx+c，得
−38×42+4b+c=0，c=3， 解得b=34，c=3．
∴ 抛物线的解析式为y=−38x2+34x+3．
(2)如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，
则△PEQ∼△OBQ，
∴ PQOQ=PEOB．
∵ PQOQ=W，OB=3，
∴ W=13PE．
∵ P(m, −38m2+34m+3)，E(m, −34m+3)，
则PE=(−38m2+34m+3)−(−34m+3)=−38m2+32m，
∴ W=13(−38m2+32m)=−18m2+12m=−18(m−2)2+12．
∵ 0∴ 当m=2时，W最大值=12．
∴ PQ与OQ的比值的最大值为12．
(3)由抛物线y=−38x2+34x+3易求C(−2, 0)，对称轴为直线x=1．
∵ △ODC的外心为点M，
∴ 点M在CO的垂直平分线上．
设CO的垂直平分线与CO交于点N，连结OM、CM、DM，如图，
则∠ODC=12∠CMO=∠OMN，MC=MO=MD．
∴ sin∠ODC=sin∠OMN=NOMO=1MO．
又∵MO=MD，
∴ 当MD取最小值时，sin∠ODC最大．
此时⊙M与直线x=1相切，MD=2．
∴MN=OM2−ON2=3．
∴ M(−1, −3)．
根据对称性，另一点(−1, 3)也符合题意．
综上所述，点M的坐标为(−1, 3)或(−1, −3)．
【考点】
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
本题主要考查二次函数的综合问题．
【解答】
解：(1)在y=−34x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，
∴ A(4, 0)，B(0, 3)．
把A(4, 0)，B(0, 3)代入y=−38x2+bx+c，得
−38×42+4b+c=0，c=3， 解得b=34，c=3．
∴ 抛物线的解析式为y=−38x2+34x+3．
(2)如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，
则△PEQ∼△OBQ，
∴ PQOQ=PEOB．
∵ PQOQ=W，OB=3，
∴ W=13PE．
∵ P(m, −38m2+34m+3)，E(m, −34m+3)，
则PE=(−38m2+34m+3)−(−34m+3)=−38m2+32m，
∴ W=13(−38m2+32m)=−18m2+12m=−18(m−2)2+12．
∵ 0∴ 当m=2时，W最大值=12．
∴ PQ与OQ的比值的最大值为12．
(3)由抛物线y=−38x2+34x+3易求C(−2, 0)，对称轴为直线x=1．
∵ △ODC的外心为点M，
∴ 点M在CO的垂直平分线上．
设CO的垂直平分线与CO交于点N，连结OM，CM，DM，如图，
则∠ODC=12∠CMO=∠OMN，MC=MO=MD．
∴ sin∠ODC=sin∠OMN=NOMO=1MO．
又∵MO=MD，
∴ 当MD取最小值时，sin∠ODC最大．
此时⊙M与直线x=1相切，MD=2．
∴MN=OM2−ON2=3．
∴ M(−1, −3)．
根据对称性，另一点(−1, 3)也符合题意．
综上所述，点M的坐标为(−1, 3)或(−1, −3)．
A
B
C
D
A
−
A,B
A,C
A,D
B
A,B
−
B,C
B,D
C
A,C
B,C
−
C,D
D
A,D
B,D
C,D
−

A
B
C
D
A
−
A,B
A,C
A,D
B
A,B
−
B,C
B,D
C
A,C
B,C
−
C,D
D
A,D
B,D
C,D
−