第5讲角含半角模型（原卷+解析）学案

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中考数学几何模型5：角含半角模型TH
名师点睛 拨开云雾 开门见山
角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
类型一：等腰直角三角形角含半角模型
（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（1） 作法1：将△ABD旋转90° 作法2：分别翻折△ABD,△ACE

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.
图示（2）

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..
任意等腰三角形
类型二：正方形中角含半角模型
（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.

图示（2） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.

图示（3） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　4　．

【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，
∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，
设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，
∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，
∴CF＝＝＝4，
故答案为：4．

变式练习>>>
1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．
∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCF是正方形，
∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADF＝90°，
∴△AFG≌△ADE，
∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，
∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，
∴△BAE≌△BAG，
∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，
设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，
在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，
∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．
在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，
∴BG＝BE＝，
∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．

例题2. 在正方形ABCD中，连接BD．
（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．
（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．
（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

【解答】解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
（2）①依题意补全图形，如图1所示，
②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2＝MN2，
将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠ADB＝∠FBA，∠BAF＝∠DAN，DN＝BF，AF＝AN，
∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠FBM＝∠FBA+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，
在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2＝FM2，
∵旋转△ANE得到AB1E1，
∴∠E1AB1＝45°，
∴∠BAB1+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，
∵∠BAF＝DAN，
∴∠BAB1+∠BAF＝45°，
∴∠FAM＝45°，
∴∠FAM＝∠E1AB1，
∵AM＝AM，AF＝AN，
∴△AFM≌△ANM，
∴FM＝MN，
∵FB2+BM2＝FM2，
∴DN2+BM2＝MN2，

变式练习>>>
2. （1）【探索发现】
如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为　3　．
（2）【类比延伸】
如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．

【解答】解：（1）如图1中，
∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，
∵DN＝BG，GM＝BG+BM，
∴MN＝BM+DN，
∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6，
∴BM+CM+CN+DN＝6，
∴BC+CD＝6，
∴BC＝CD＝3，
故答案为3．
（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．
延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠D＝∠ABE，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN，
∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，
∵∠BAD＝2∠MAN，
∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，
∴∠MAN＝∠EAM，
在△MAN和△MAE中，，
∴△MAN≌△MAE，
∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；

（3）解：如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AN．作NH⊥AD于H，在AH上取一点K，使得∠NKH＝30°
在Rt△DHN中，∵∠NDH＝60°DN＝5（﹣1），
∴DH＝DN＝，HN＝DH＝，
在Rt△KNH中，KN＝2HN＝15﹣5，HK＝HN＝，
∴AK＝AH﹣HK＝15﹣5，
∴AK＝KN，
∴∠KAN＝∠KNA，
∵∠NKH＝∠KAN+∠KNA，
∴∠NAK＝15°，
∴∠MAN＝75°＝∠BAD，
由（2）得，MN＝BM+DN＝10+5（﹣1）＝5+5．
例题3. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分别是AB，BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数.


变式练习>>>
3. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论.


例题4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．
（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；
（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．

【解答】解：（1）证明：延长MB到G，使BG＝DN，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADN．
∴AG＝AN，BG＝DN，∠1＝∠4．
∴∠1+∠2＝∠4+∠2＝∠MAN＝∠BAD．
∴∠GAM＝∠MAN．
又AM＝AM，
∴△AMG≌△AMN．
∴MG＝MN．
∵MG＝BM+BG．
∴MN＝BM+DN．
（2）MN＝BM﹣DN．
证明：在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝AB，
∴△ADN≌△ABG，
∴AN＝AG，∠NAD＝∠GAB，
∴∠MAN＝∠NAD+∠BAM＝∠DAB，
∴∠MAG＝∠BAD，
∴∠MAN＝∠MAG，
∴△MAN≌△MAG，
∴MN＝MG，
∴MN＝BM﹣DN．
（3）MN＝DN﹣BM．


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1. 请阅读下列材料：
问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；
（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．

【解答】解：（1）BM+DN＝MN；
（2）DN﹣BM＝MN．
理由如下：
如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．
∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，
∴△ABM≌△ADF （SAS）
∴AM＝AF，∠MAB＝∠FAD．
∴∠MAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°．
又∠MAN＝45°，
∴∠NAF＝∠MAN＝45°．
∵AN＝AN，
∴△MAN≌△FAN．
∴MN＝FN，
即 MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM；
（3）∵正方形的边长为16，DN＝4，
∴CN＝12．
根据（1）可知，BM+DN＝MN，
设 MN＝x，则 BM＝x﹣4，
∴CM＝16﹣（x﹣4）＝20﹣x．
在Rt△CMN中，
∵MN2＝CM2+CN2，
∴x2＝（20﹣x）2+122．
解得 x＝13.6．
∴MN＝13.6cm．
2. （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是　EF＝BE+FD　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF，
故答案为EF＝BE+FD.
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
理由：延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG．
∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∴AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG，
∴∠EAG＝∠EAF，
∵AE＝AE，AG＝AF，
∴△EAG≌△EAF，
∴EG＝EF，
∵EG＝BG+BE＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF．


3. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．
（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图（2）），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度．

【解答】解：（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∴AM＝HF，AN＝BC，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH
（2）结论：EG：FH＝3：2
证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∴AM＝HF，AN＝EC，在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
，
∵AB＝2，BC＝AD＝3，
∴．
（3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
∵．
∴在Rt△ABM中，BM＝．
将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB．
∵EG与FH的夹角为45°，
∴∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠MAB＝45°，即∠PAM＝∠MAN＝45°，
从而△APM≌△ANM，
∴PM＝NM．
设DN＝x，则NC＝1﹣x，MN＝PM＝．
在Rt△CMN中，解得．
∴．

4. 已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．
（1）填空：与△ABM相似的三角形是_________，BM•DN=_________；（用含a的代数式表示）
（2）求∠MCN的度数；
（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.